I :rt::N:ç

y=Nfl = N (a")sini',

en désignant par (/t*) le nombre de secondes du petit arc a (page 34] ; A désignant toujours le demi-grand axe, on a

ff ^1 — e* sin*/ = Art = A (a*) sin i", en mettant pour N sa valeur (6). Développons le radical.

<^>° Asini' ' ««(«-jsm.-,

(a") = — ?— . (i-i--c^ sin»/- i^* sin*/. . . V ^ ' Asmr\ a 8 /

ff = Xa(i-h ->« sin'/ -f- ^ e^ sin*/. . . ) •

ELUPSOÎDE DE RÉVOLUTION. I69

Comme é^ est une petite fraction, ces séries sont trèsnconvergentes ; elles iervent à traduire les arcs terrestres en secondes de degré,,et réciproque^ ment les nombres de secondes en distances itinéraires; a est la longueur do l'arc semblable à 7, mais décrit avec le rayon 1 .

182. Développons selon les puissances de ^ nos autres expressions. Le rayon R (Jîg. 78] s'obtient d'abord, en négligeant le cinquième ordre,

R = A\/(i— a ^«sin» /-+-<?* sin'/) (n-r*sin*/-hff*sin*/) = A /(i— e*8in*/-+-^* sin* /cos* /) .

= Ari— ie«sin«/H-gff*sin«/(4 — 5 8in«/)1

lot 1 / sin*/ 5 sin*9./\

en développant la puissance- du trinôme. Cette sériie exprime la longueur

du rayon terrestre pour le lieu dont la latitude est /; A est le rayon de

Téquateur, e l'excentricité, - l'aplatissement. Lorsqu'on néglige les <?* ou P*,ona

[équation (2)] et

9) A — R= = — (i — cosa/).

p ip^

C'est Vexcès du rayon de Véquateur sur totU autre rayon terrestre. On réduit aisément cette expression en Table, d'où l'on tire le rayon R à toute latitude /; mais il faut connaître A et p. En conservant />*, on trouve

(10) A-R = :^(sin«/-i4B!2/y

Au reste, ce dernier terme est ordinairement négligeable. 483. On développe de môme la normale N, le rayon x* de parallèle, le

170 GEOUORPIIIE.

rayon p de courbure [fig. 78^ :

(il ) N = A (i — <?« sin»/)"^ = A (i -h i^j^sin»/-!- |^8in*A , (la) af = Nco8/= Acos/( I -h -c« sin'/-+- ... ) ?

(13) p = A(i-^t)(i-^«sin«/r'==ii^=|^,

(i4) p = A(i— ef«) ri-h^c*sin«/-+-^<?*smWy

484. Observez que le zénith M est en Z [fig. 78) sur le prolongement de la verticale NM ; mais, si l'on suppose un spectateur placé au centre C, il voit le point M dans la direction CMH, et H est appelé zénith vrai oa géocentrifjue, pour le distinguer du point Z, qui est le zénith apparem. De même, Tangle MNV est la latitude /, qu'on distingue de Tangle MCAi qui est appelé la latitude géocentrique : l'angle GMN = HMZ ^ 1, que bit la verticale a»ec le rayon terrestre y est la différence entre œs deux latitudes. Ces grandeurs entrent dans les calculs astronomiques, et nous avons donné (n* 178) des relations analytiques entre elles.

185. Désignons par s la longueur d'un arc de méridien terrestre, portion d'une ellipse. En difTérentiant Péquation (4), on trouve

(.5) .Zr-=-A^'-"^^^^'"^^f

(i-ff«sinW)^

et comme, dans le triangle infinitésimal M mr>, on a

M/w ou as = :— ,9

sml

il vient

(.6) ■ rfv^A ^'-'^l-''L=fdl.

(1 — e«8in»/)ï

Développons en série la puissance , mais ne poussons d'abord les calculs que jusqu'aux e* ; nous avons

(17) (Is ^ Afll (i -- e* -h^e^s\n*iy