SIGNAUX DIS FEU. I

l'explosion des feux voisins. Do même, si les chronomètres intermédiaires marquent plus ou moins de 86400 secondes en vingt-quatre heures, les durées a^b^c^ ... devront aussi subir quelques corrections, comme on le verra (n** 419). Mais les heures absolues marquées par les chronomètres intermédiaires n*ont aucun rapport nécessaire avec leurs méridiens A, B, ..., puisqu'ils ne sont destinés qu'adonner les durées sidérales écoulées entre les observations des feux.

215. C*est ainsi qu'on a exécuté Topération qui a servi à mesurer Tamplitude de plusieurs arcs de parallèle. De firest à Strasbourg, on a établi deux stations entre Brest et Paris, et deux entre Paris et Strasbourg, avec un feu entre chacun de ces intervalles. Ces feux ont élé allumés sur des sommités, de manière à être visibles des deux slalions voisines. On a dû les espacer le plus possible, pour éviter les frais et les causes d'erreur; on peut apercevoir un feu à ao ou 3o lieues de distance, et plus. Lorsqu'on manque quelqu'une de ces apparitions, l'opération n'en est pas moins continuée, et il suffit de regarder comme nulle cette épreuve incomplète ; on réitère les expériences de cinq en cinq minutes, pour atténuer les erreurs d'observation, et l'on fait d'avance un tableau indicateur des moments d'explosion, d'après la marche connue des chronomètres, afin de ne pas fatiguer sans utilité l'attention des observateurs. La valeur des L est négative quand le calcul procède de l'ouest X à l'est Y,

Quand une montagne se trouve interposée entre un feu et une station, comme on ne peut compter sur l'apparition de l'éclair, on remplace les feux par des fusées volantes en carton, qu'on élève à 400 ou 600 mètres de hauteur, et dont l'explosion, dans les hautes régions de Tair, df^'termine le signal attendu.

216. Voici un exemple de ces calculs où nous n'indiquons qu'une seule série de feux, en trois points intermédiaires, avec deux stations À et B, et les deux extrémités X et Y, qui sont les villes de Paris et de Strasbourg, dont on demandait la différence des longitudes. En ces derniers points, on a déterminé les heures sidérales de l'apparition des feux voisins, qu'on trouve indiquées dans les colonnes extrêmes, toutes corrections faites; dans les deux autres colonnes, on a marqué les heures

196 GÉOllORPIItE.

moyennes qu'indiquaient les chronomètres aux instants d'explosion.

p.\nis y.

STATION A

STATIOJI B.

STRASBOCRti X.

Voici le calcul de cette expérienco :

Temps moyen -+-19.0,2

Réduction en temps sidéral ( n" 31)0 ) -h 3 , i

On opère de môme pour chaque série de feux ; et môme on voit qu'en combinant les diverses séries entre elles on peut en tirer des nnoyens do vériGcation. La moyenne de tous ces résultats est la valeur de la longitude relative en temps. C'est ainsi qu'on a trouvé — 21 '35', 48 pour la longitude de Strasbourg, par rapport au méridien de 1 Observatoire de Paris. Au reste, il convient de ne pas combiner entre elles des observations distantes de 3o minutes, et plus, pour que le résultat ne se trouve pas influencé par les erreurs de marche des chronomètres (voir un Mémoire de M. Bonne, tome UI du Mémorial du Dépôt de la Guerre),

Des azimuts ^ longitudes et latitudes,

217. Nous savons calculer tous les côtés des triangles du réseau géodésique (fig. 73). Connaissant, par l'observation directe, la longitude, la latitude d'un des sommets Â, ainsi que la direction d'un côté AC, c'est-

i-dire Fangle CAI qu'elle fait avec la méridienne AY du point A, on peut trouver, par le calcul, les mômes choses pour la station C. Et comme, de proche en proche, on peut opérer de môme pour chaque sommet de triangle, on trouve en définitive les longitudes et latitudes de toutes les stations, ainsi que les azimuts des côtés des triangles. Exposons cette théorie, mais supposons d'abord que la Terre soit sphérique ; nous corrigerons ensuite Terreur qu'entraîne cette hypothèse.

Soient P (fg. 79) le pôle terrestre; PM, PM' les méridiens des deux stations M et M'; l'arc MM' = a est connu en mètres, et par suite en secondes d'arc (n** 146 et 181). La latitude du point M est /; celle de M' est /'. La première est donnée, la deuxième inconnue, ainsi que l'angle MPM' s P des deux méridiens, différence des longitudes des stations

M et M',

PM = 9o»-/, PM'=.c)o"-/'.

Dans le triangle sphérique PMM', on connaît donc les côtés PM et MM', ainsi que l'angle compris M, supplément de l'azimut donné M' M ///sz, compté du sud vers Test ou l'ouest : on suppose cet angle z connu par l'observation astronomique ou par des calculs de l'espèce de ceux dont nous nous occupons actuellement. II s'agit de résoudre le triangle PMM" et d'en tirer PM' » 90° — /', l'angle P, et Tangle M', supplément de l'azimut MM'/7i' = z* compté vers l'ouest ou l'est, le côté MM' étant vu en M', sur l'horizon de cette station.

Comme les arcs a et P sont toujours fort petits, on veut résoudre un triangle sphérique dont un côté et V angle opposé sont très-petits, c'està-dire n'ont qu'un petit nombre de minutes. Il est plus exact de calculer la petite différence d—l^l' entre les deux latitudes. L'équation fondam^tale, page 64, devient ici

sin/' ~ sin/ cosa + cos/ sina cos M ; d'où

sin/— sin/' = sin/ (i — cos^) ■+■ cos/ sina cosa

= 2 sin/ siii* -a -{- cos/ m\a cos«.

I^ premier membre est égal à

asin- (/—/') cos- (/-»-/') = 2sinir/cos il— ' (l\

= asin - r/ ( cos/ cos - d ■+ sin/ sin -d\* 2 \ 2 2 /

igS GÉOBiORPHIE.

Divisant touto l'équation par a cos/ cos2 - r/, il vient en posant) pour abréger,

K = - sinfl coss -4- tang/ sin* - a;

donc, en ordonnant,

tang-r/-+- (tang/— K) tang*-r/ = K.

Mais l'arc a est très-petit : on a, au quatrième ordre près,

d'où

sin<^/ =a — y, «', sin' - « = , ^/* ; 6 ' a 4

K = - « C0S3 H- 7 ft* tang/ //• co33.

Résolvant l'équation par rapport à - ri, et négligeant le qualrièmc ordre (•),

(A) d = acosz-h-n* tang/sin*z — ^a»sin*» cosz (i -H 3 tang*/).

(') Résolvons l'équation

tangx+ h tang* or = X,

En supposant K très-petit, ainsi que x, puis développant le radical en série, selon les puissances croissantes de K, en ne prenant que le radical posilift it vient

tang.r = -- (— i -+- ^V^' .\kJ)

= -^(aKA— 9K«A«-H/iK«A»— ioK*A«H-...), tangx = K - AK*-*- a//«K« - 5A'K*-f-.. ..

Mais on sait d'ailleurs (n* 32) que

«= tanRX— ^tang'x-4- ...

2i8. Dans le môme triangle, on a [équation (5), n* 68]

cos/':sinz::sinMM' (=rt):8inP;

Cl ^-m-

219, Appliquant la quatrième analogie de Népor (p. 76) au triangle PUM', il vient, en renversant les fractions,

tang-(M-+-M')«cot -P- — rrè^ — 7-^>

cot (M-+.M') = tang-P — f-)-j — -^^

Dans notre Jlg. 7g, z désigne l'azimut du côté MM' = a, vu de M ; 2' est celui du môme côté, vu de M' : ces angles s et z' sont comptés, selon l'usage, du méridien sud, de zéro à 180 degrés en allant au nord, Tun du côté de Touest, Tautre vers Test. Ainsi z et z' sont les suppléments des angles M et M' de notre équation, savoir :

M=i8o«»-z, M'=i8o»-2'; d'où I

^ (M -4- M') = iSo"» - i (a H- z') = 90*» — - (2 4- z' - 180-).

E|^ substituant ici la valeur de tangx en série, on trouve cette expression, qui est exacte au cinquième ordre près,

x = K — AK»-i- /^2A«-I^K«H-(i — 5^«)/iK*-f-....

Pour appliquer cette série à l'équation du texte, il faut poser

As=.tang/— K, x = -d; donc on a rf= 2K — aK« tang/-+- aK» (^h- a tang* A

= acos£H — «* tang/ ;a'co8£

— ataiig/ ( 7M*cos*z-H^a"cosztang/j H- -a" ces'* {^-^ tang«/j=:. ...

lOO GISOMOEPUIB.

La langente est donc égale à

tang^(3H- z' — i8o").

Or, en M et M', les méridiennes des deux stations sont presque deux droites parallèles que la ligne MM' coupe obliquement; en sorte qu'à fort peu près z -+- z' = i8o**. L'excès de z -4- z' sur i8o degrés, qu*on appelle la convergence des méridiens, parce que cet excès mesure le défaut de parallélisme, est donc un très-petil arc. Ainsi Ton peut substituer cet

arc - (zH- z'— iBo') à sa tangente, ainsi que-P; donc

•f. ' 2 COSj (/—/')'

d'où

cos-i d

220. Les équations (A), (B), (C) sont d'un fréquent usage en Géodésie. La première fait connaître la différence d des latitudes Ifig. 79), et par suite la latitude de la station M', /' = / — r/.

La deuxième donne la différence F des longitudes.

La troisième l'azimut z' du côté MM' vu de M', sur rhorizon de cette dernière station; mais il y a quelques remarques à faire.

!• Nous avons supposé que la Terre est sphérique;

a" rf et fl désignent, dans l'équation (A), des longueurs d'arcs de cercle pris dans la supposition que le rayon est i , ces an» mesurant les valeurs angulaires /— /' et MM'. Pour que ces arcs a etd soient exprimés en secondes, il faut les changer en a sini' eid sin 1 ', savoir :

d= a cosz -h - /ï* sin l' tanj?/ sin*z (A') { , "

— gfl» sin» i' sin*z cosz (i -h 3 lang» /)

avec

221. On peut d'ailleurs chasser r/et /' de^ équations B et C, car

co^/' = co3(/ — r/) = cos/cos^(i 4- tang/ taugr/). Substituons, dans l'équation (B), Pcos/' = a sinz, mais faisons tang^/=^/,

ooâf/=i, attendu que, voulant nous borner aux deuxièmes puissances de a qui est déjà facteur, il ne faut admettre dans Téquation (A) que lo premier terme, </=> ^ cosz ; ainsi

co3/' = cos/(i -i-r/tang/), P = — ^(n-^tang/)">,

i»/x lï ^sinz I . . . tang:/

(Js) P = ; a'smi'sinaz tï

' cos/ 2 cos/

en exprimant a et P en secondes.

La fraction de Téquation (C) est égale à

sin/— cos/tang-rf, ou sin/ rfsini'cos/,

par la même raison que ci-dessus, ou égale à sin/ a cos s cos/ sin i' ;

multipliant par la valeur (B') de P, on trouve enfin

(C') «' = i8o' — 2-»-flsin«tang/ — ■;-a*sini*sin2«(i-4-2lang»/) (*)'»

<r et les deux derniers termes sont exprimés on secondes.

C) Il est BouTent important de pousser jusqu'au troisième ordre le développement des séries B' et C, comme, par exemple, au n« 241. Ona(n* 218)

. sinaainz

sinP = —,

eus/'

•t, à cause de la Talcur de cos/', on a, en développant en série jusqu'au troiuème ordre de a,

,l„p (tf — ia*)siug __ sinz a ~ '^a*

cos/cos<^(i>Kt«ng/tang</) cos/ (i — irf')(i -h </tang/)*

Ce diTJseur est égal à

( i-H </ Ung/'^ ld*\ sss I — </ lang/ -j- i <f » -f- J« tang«/

s=i — atang/coss a'(Ung"/sîn"* — cos*«— a cos'z lang*/).

GÉOllORPHiB.

222. Jusqu'ici nous avons regardé la Terre comme sphérique ; restituonslui la forme ellipsoïdale. Désignons, comme ci-devant (n^^i 75), par « le rapport de Texcentricité au demi-grand axe A, par N la normale en U

en ne développant que jusqu'au deuxième ordnc, à cause de a qui est facteur au numérateur, et en substituant pour d ta valeur [équation (A'), n* 220]. Mais (Cours de Mathématiques ^ p. 470, t. Il)

P = sinP-+.iain«P;

donc, P étant un petit angle, P = sinP,

P = (a-i«')(,-atang/coi.-...)^.

. asinzf

P -- Y I I — a cosx tane<

<i*(tang*/Bin'« — cos*«— acos^* lang*/-!--^ — -s —\\

Le facteur de -a* étant réduit au dénominateur commun, 3co8*/ revient s

— - — rr f3 8in*/(8in*« — acos*z) — 3co8*«co8*/-i-cos*/ — sin^Js, 0 co»"/ L ^ '

et, faisont sin'x b i — cos*£, on a

— - — —A'xvi\}}l — 8coB*2stu*/ — co8'«(sin'/-+-co8"/) — 3 cos* s coa* / H- cos'i]

ou enfln

— ^a*(tang*/ — 4tang*/co8'« — coi*«); donc

(B*) P = ^-^ ri--acOB«tang/--itt»(t«n|ï'^--4tang«/coB*c -C08*5)J: telle est l'équation (B') poussée jusqu'au troisième ordre.

Faisant, dans (B*), « = go", a = £» P = P sin i', on trouva la denzième d»

équations du n" 241,

o e' tang'i

**" Ncos/sinr^TS*^ cos/sini*'

Poussons de même jusqu'au troisième ordre le développement de la série C* Posons, dans l'équation (C), n« 219, *-hx'— i8o« = Q, l'équation devient

i^ I sinif/-»-/')

Ung.Q^tang-P^-^^-^J,

AZIMUTS, LONGITUDES, LATITUDES. 2o3

[fig. 85), N = — ; la normale en M' est N' ; Z et Z' sont les

VI — «'* siu^ /

zéniths des deux stations sur les prolonj^ements de leurs normales.

et, comme /' = / — ^,

atang-Q =JPh Pj (sln/ aco%z coêl — jo* b\n^sin*zh

«n substituant la valeur (A) de </ jusqu'au deuxième ordre seulement, attendu que P est facteur. Substituons donc Ici pour P sa valeur du troisième ordre

qn'on a trouvée précédemment; pais, comme tang-Q donne la série ^Q==ton,'îiQ-^tang«iQ,

oous obtiendrons Q. Ainsi

I ^ aûnz / ^ I " «M " a'sin'rX 2 laîiff - Q = r I • — « cos« taniy / — - « M H r-r- ]

X I sin/ «cosr cos/ — -r <i'sin/ xsin'z )»

Il désignant le facteur trouvé ci-dessus pour — ô a* dans la valeur de P ;

a tang-Q = ;- l sin/ — acosx sin/tang/ — -«M sin«

"a^ cos/ \ " J