I . . , siii'-e I. . , , ï,.f

H «*sîn/ r; -+--a*cos«« cos/tong/ — 7<i*sin /6in*x »

la cos'/ a 4

sr asin«tang/ — ja*a sinz cosza tang*/

, /i „ I sin*z I , ' • t \

— a*sinztang/l -M tî cos*z-h- sin'z )

^ \S la cos*/ a 1 /

— y a* asinzcosz.

Mais on a [équation (ao), p. 33]

lQ = tangiQ-itang«lo,

Q = atang^Q--^tang«iQ = atan(î^Q-^(îïtangiQJ ;

Q = asinztang/^ -•a*8inaz(i-t- a tang'/).

d'où doue

204 GÉOMOHMIIE.

Or concevons une sphère dont le centre serait en /?, et qui aurait MN pour rayon. Le plan passant par N, M et M' coupe cette sphère selon ud arc de cercle qu'on peut sensiblement regarder comme ayant même longueur que MM' = 7, quoique sa position soit un peu différente. En eiïel, Tare MM' est toujours très-petit, et l'on voit par la valeur de CN (n"* 177 . qui est de l'ordre c*, que cette hypothèse est tout à fait admissible. Quant au nombre de secondes a de Tarcf, nous en avons donné la valeur (n° 181). Nous ferons bientôt une application de cette formule.

Là sphère dont il s'agit ici est N/^MM'; les plans méridiens NMP. KM'P, conduits par l'axe et les deux stations, coupent sa surface selon

qui est Téquation (C). Mous aurons, par suite,

.If. ï /.. > 8În'« , » . . « . . .A

— a* 8in/tang< -r ( M r; — cos*«-+- -sin'z h siirx tangV)>

" 3 \ 12 cos*/ /| 12 "y

Mettons pour M sa valeur ci-dessus; de plus, cos / = -, 1 cos*/ = tî'

■^ BCC/ i-rUiii;'/

. , I sin'/

ce qui change -7 en

12 cos'/

sin'«(i -H iang'/) = sin*z ain*x tang*/;

le facteur du terme en — â'sin/tangz revient donc à

= - tang*/ — X lang*/cos'« — ^cos'x cos's-j- Ij J(i — co&-r)

= ^tang*/ — ~ tang'/cos'z — cos'z -i- -; donc Q = < -t- 2' ^ 1 80 devient

Iz'=. 180 — z-t-asinz tang/ — 7 a*8in2z(i-4- atang*/) — -a'sinz tang/ (2 Ung'/— 8 lang*/cos*« — 6cos';+i).

Il faut poser ici z = 90"; le terme a* disparaissant, on a

z'= go«— rttang/— -a' tang/ (i -H 2 tang'/);

il ne s*agit plus que de poser a = — 7^—7* ^pr^" avoir changé ^ et <z en ^ stn 1'

et «.sin i", et Ton obtient l'équation du n» 241. Celle formule ne conTÎent donc qu'au cas où s = 90^*, c'cst-à-dirc quand MM' est perpendiculaire au méridien.

AZIMUTS, LONGITUDES, LATITUDES. 2o5

des arcs de cercle pM, ^M', et forment le triangle sphérique/^MM', pour lequel tout ce qui a été dit ci-dessus sera vrai.

Observons cependant que les zéniths Z et Z' des lieux M et M' sont sur les prolongemçnts des normales différentes NM, N'M', qui sont les verticales de ces stations : ces normales ne concourent pas. On peut bien assimiler liilM' à un arc de cercle en ce qui concerne sa longueur, mais non plus quand on a égard à sa forme et à sa direction.

En M, la latitude astronomique ou la hauteur du pôle est l'angle MNV = /; celle de M' est M' NT' = L, qui diffère de M'N V, appelé cidessus Z' ; L et / sont les compléments das angles /;>î'M' et />NM. L'angle NM'N = / est formé par la normale M'N' avec M'N ; quoique très-petit, il n est pas négligeable.

Menant N^ parallèle à M'N', on voit que /' = L h- /.

Nous avons fait précédemment rf = / -- /' ; mais ici cl n'est plus la différence des latitudes des deux stations, puisque celle de M' est L, et non pas /'. Soit D = / — L, différence des latitudes sur le sphéroïde, on a

Ainsi, pour avoir D, puisque d est connu, il ne s'agit que de trouver la valeur du petit angle i et de l'ajouter à la valeur trouvée pour d par l'équation (A), dans le cas où la Terre est censée sphérique. On connaîtra ainsi la différence D des latitudes sur le sphéroïde. Le triangle NM'N'

donne