NN' . ,,, CN-CN

^*"' "^ NM' ^ y;^j/ X cosL,

sin/ = er* (sin/ — sinL) cosL; car on a (n** 477)

CN=N<?«sin/, CN' = N'c«sinL;

les normales N, N', ainsi que NM', sont sensiblement égales; on trouve ("onc, d'après Téquation (lo), page 3a,

sin/ = 2 tf* sin - ( / — L ) cos - ( / -f- L) cosL = 2 c' sin i d cos^/,

parce que le petit facteur e* permet de remplacer / — L par/— /' = rf,

206 GÉOMORPHIK.

ainsi que L par /, d'où

donc

i = ff<<^cos*/, d-hi ou D = </(i -hi?*cos*/)«

On voit donc que, pour avoir égard à la forme ellipsoïdale de la Terre, il suffit de multiplier le deuxième membre de l'équation ( A ou A') par (i H-^* cos*/), lorsqu'on veut obtenir la différence de latitude des stations

(A*) D= (acosz-f--fl*sini*tang/sin*z) (i -he'cos*/);

ce. qui revient à calculer la quantité d par l'cquation (A), comme si la Terre était sphérique, puis à ajouter au résultat le produit de cetu> valeur d par e* cos'/, qui est la correction sphéroîdique, savoir

T> — d-+- dc^ cos* /.

D et a sont ici exprimés en secondes, ainsi que la valeur du deuxième

membre, et l'on a

223. Quant aux équations (B) et (C), ou (B') et (C), ou (B') et (C). elles n'exigent aucun changement pour avoir égard à l'excentricité ; car. d'un côté, l'angle P formé par Iqs plans /;M, />M' est le même que celui des arcs d'ellipse PM, PM' ; et, de l'autre, la correction que devrait subir l'azimut z serait du troisième ordre et négligeable (vmr le Système métrique^ t. II, p. 67a).

224. Donnons un exemple de l'application de nos équations. En P [fig, 83 ) est le Panthéon, dont on connaît la latitude /, et l'azimut z de l'arc PD qui va à Dammartin D (t. II du Mémotial du Dépôts p. 4 16), ainsi que cette distance PD = 7 = 33494"*, 3a ; log = 4 ,6249711 ;

Ces données diffèrent de celles du Système métnqtœ, parce que, le clocher de Dammartin ayant été abattu, on a dû établir un autre signal. Prenons l'aplatissement TofëT (n° 204) ; on a donné les valeurs de e^

et A. Réduisons le côté a en secondes du cercle dont le rayon est la normale N, par la formule de la page i68.

3,5629930.... o,oo365589. . . Gsini".. 5,3ï4425x

i-c*8in«/.... 1,9984095 0,99634411... ^ 1,9992047

Nombre de secondes de ^ . . . . « = io8i',4oa 3,0339873

Calcul de la latitude L de Dammartin [équation (A"), p. 206].

C0S3 1,8397191— 0,5 1,69807 cos«/.... ï, 63655

2,8737064— tang/ o,o5849 745,97- 2,87272—

sin^s 1,71766 — 2,o83. 0,31873—

— 747",6G5 sini*.... 6,68557

Latitude de Dammartin.... L=:4o. 3. 16, 63

Calculde la différence P des longitudes [équation (B'), p. 201].

sînz ï,85883o5 o,5 1,6989700

cos/ —1,8182740 sin2 2 î", 9995796—

3,0745443 tang/ o,o58493o

sini* 6",6855749

1187" ,266 cos/ —1,8182740

1 192 , 1 80 — P = 1 9'52", 18 longitude de Dammartin.

ao8 GÉOUORPUIE.

Calcui de l'azimut z' du côté PD, sur l'horizon deD [équation (C), p. aoi)

a 3,0339878 rt« 6,0679756—

sinî ï,85883o5 sinaz.... 1,9995796—

tang/ o,o58^93o o,!i5 1,3979400

893*,945. 2,95i3ii3 sini' 6,6855749

893,945 a o,3oio3oo— i8o*

tangî/ ... 0,1 169860 o.i4'59',o;

Distance entre les lieux dont on a la longitude et la latitude.

225. On donne le nom de ligne géodésique à celle qui est ia plus courte distance entre deux points de la surface terrestre, à moins que ces points ne soient sur l'équateur, ou sur un méridien; cette ligne est une courbe à double courbure. En joignant au pôle par des méridiens les deux extrémités d'une ligne géodésique de longueur et de position quelconques connues, points où Ton suppose qu'on a pu stationner et faire des observations astronomiques, on forme un triangle sphéroïde^ dans lequel on connaît les deux arcs de méridien, colatitudes des stations, et Tangle au pôle qui est la différence des longitudes des stations : il s*agtt donc de résoudre ce triangle pour en déduire la distance des stations et les azimuts de la ligue géodésique.

Ce problème, considéré dans sa généralité, présente de grandes difficultés. Ce même triangle géodésique donne encore lieu à un grand nombre d'autres questions, selon qu'on varie les données prises dans ses six éléments. Tous ces problèmes se résolvent en se fondant sur une doctrine qui a fait le sujet des travaux d'Euler, Legendre (voir les 3fi^'mofrr^ de V Académie des Sciences, en 1806, etc.). Dans ses Elcmenti di Trigonometria sferoidica, Oriani a résolu ces problèmes. M. Puissant, dans sa Géodésie, son Essai sur la Trigonométrie sphéroïdique et la Connaissance des Temps de i83a, s'est occupé de ces recherches avec le soin et le talent qu'on lui reconnaît dans tous ses ouvrages.

Mais ces travaux, utiles comme exercices d'Analyse, ne le sont guère ponr la Géodésie; car, oute que les formules sont très-compliquées, à quoi peut servir de connaître la plus courte distance de Paris à Pétersbourg, puisque mille accidents de localité forcent d'allonger la route d'au moins un quart? Nous ne croyons donc pas devoir nous arrêter sur ce sojci.

Hais, lorsqu'on compare ensemble deux stations voisines, telles que les sommets de l'un des triangles du réseau, il peut être très-utile d'en connaître la distance exacte <p, d'après leurs latitudes et longitudes : c'est d'abord un moyen de vérification des calculs; mais, en outre, il peut arriver qu'on veuille lever la carte d'un pays sans avoir les moyens de mesurer une base, opération toujours très-longue et d'une difficile exécution. Les localités s'opposent même souvent à ce qu'on puisse effectuer cette mesure. Alors on peut faire des observations astronomiques du haut de deux sommités pour en connaître les latitudes et longitudes; et ensuite on obtient, par le calcul, la distance réduite au niveau des mers,

226. Sans doute, lorsqu'on doit entreprendre une grande opération géodésique, il ne faut pas l'établir sur une base déterminée par des procédés de ce genre, et se croire fondé à regarder la longueur ainsi obtenue conune ayant une exactitude suffisante pour l'objet qu'on se propose. Aucan ingénieur ne consentirait à employer ce procédé, dont le succès serait trop hasardé.

De toutes les opérations géodésiques, la plus certaine est la mesure directe des bases, lorsqu'elle est faite avec les soins et les précautions que nous avons recommandés : et quelque bien divisés que soient les cercles, quelque parfaite que soit l'exécution des instruments, l'attention la plus minutieuse ne garantit pas au même degré l'exactitude qu'on obtient pour les valeurs angulaires. Trop d'éléments différents se viennent compliquer ensemble pour apporter aux résultats de légères erreurs, qui restent inaperçues; les incertitudes des réfractions, les pointés plus ou moins défectueux, les intempéries des saisons, les fatigues de l'ingénieur, etc., sont des causes de petites altérations des résultats. La mesure directe des bases, surtout quand on l'obtient deux fois par une marche rétrograde, présente bien plus de certitude. Ainsi rien ne peut la remplacer; sans compter qu'en mesurant plusieurs bases on a le moyen de vérifier tous

F. — Géodésie. l4

3IO GEOMORPHIE.

les résultats de ropération, puisque, liées ensemble par la triangulation, le calcul qu'on fait de Tune en partant de l'autre doit donner à fort peu près le môme chiffre que la longueur obtenue directement

227. Mais il est des cas exceptionnels où la méthode que nous allons exposer est précieuse, parce qu'alors aucun autre procédé ne pourrait servir aussi avantageusement. Ainsi, dans Texemple que nous citerons plus loin (n° 229), comme application de cette méthode, M. Puissant voulait lier la Corse C (fg, 8i) au continent ÂB; il s'est servi des opérations géodésiques faites par les ingénieurs, qui ont fait connaître les latitudes / et /' des stations A et B, et la différence P de leurs longitudes, valeurs trouvées par des mesures géodésiques continentales, qui offrent bien plus de sécurité que des observations célestes, toujours longues et délicates. Une fois la distance AB connue, la détermination de la position du sommet C n'a plus de difficulté.

Voici encore un cas où notre méthode peut être employée avec avantage, lorsqu'on a trouvé, par des observations directes, les latitudes de deux stations et la différence de leurs longitudes, bien que ces résultats n'aient qu'une certitude approchée. Comment espérer qu'on puisse faire une carte tant soit peu satisfaisante des contrées de l'Afrique intérieure, dont les habitants inhospitaliers permettent à peine qu'on y pénètre, et s'opposeraient assurément à ce qu'on fit des opérations géodésiques? Muni d'un sextant et d'un chronomètre, un voyageur peut, sans de grandes difficultés, s'assurer des latitudes et des longitudes de certaines stations, et mesurer les angles des divers triangles. Les chiffres ainsi obtenus serviront ensuite à calculer tous les éléments de ces triangles; et s'ils n'ont qu'une exactitude limitée, encore seront-ils plus précis que ceux qu'on a eus jusqu'ici, puisque les distances ne sont évaluées qu*en journées de chemin.

228. Supposons donc qu'après avoir stationné en deux lieux A et B, et y avoir trouvé des latitudes / et /' et la différence P des longitudes, on yeuille calculer la longueur AB, réduite an niveau des mers, de l'arc terrc^^tre qui joint ses stations.

L'équation (A'), page 206, donne la différence D entre les latitudes de M et M' {fig, 85), dont l'arc de distance est de a secondes; et l'équation

AZIMUTS, LONGITUDBS, LATITUDES. 2H

(B) (n* 2i8) donne la différence P des longitudes; dans ces équations z est Tazimut M'M/n. Renversons le problème : û et z seront les inconnues, et Ton connaîtra les latitudes /de M, et/' de M', ainsi que Tare P. Dans ces équations a, D et P sont de petits arcs exprimés en secondes. On a

(i) <i8inz=> Pcos/,

/ — /' = ( ûrcos«-f--«*sin*2tang/8ini'') (n-tf*cos*/).

Pour éliminer z entre ces équations, on tire de celle-ci

/ — /' — 4 P« cos* /' tang/ sin i* (i -f- «* cos»/ :

aC0S3 = ;; Tï '