VERIFICATION

difléreaoes de ce genre se manifeslent dans tout le réseau géodésique

Les longitudes observées par des signaux de feu ne s'accordent pas

mieux avec celles que donne ia Gréodésie. Ainsi la longitude géodésique de :

L'observatoire de marine à Brest est de — 6.49.49,112 au lieu de 35, 10

La flèche de Strasbourg 5.24.53,72 » 48,87

Ancien observatoire de Genève 3 . 48 . 56 , 92 » 40 , 63

Mont Colombier 3.24.77,27 • 53,28

Voilà donc des dififérences entre le calcul et l'observation direcle qui, en longitude, s'élèvent à —14*, 12, —4", 85, —16", 29 et — 23''99.

235. Il résulte de ces considérations que, malgré Taccord satisfaisant que présentent les sept bases mesurées en France, il est impossible de concilier entre elles les latitudes, les longitudes, et les azimuts, lorsqu'on les tire du calcul géodésique et de l'observation directe. M. Puissant regarde comme un fait incontestable qu'en combinant l'arc du parallèle moyen compris entre l'Océan et Padoue avec celui du méridien de Dunkerque, qui s'étend de Greenwich à Formentera, l'aplatissement de l'ellipsoïde osculateur au point d'intersection de ces deux arcs est plutôt au-dessas qu'au-dessous de 7^ : ce savant l'estime de j{j. Cet aplatissement diffère sensiblement de jf^ qu'on obtient par des mesures géodésiqaes de France et du Pérou, quoique la Commission ait décidé que les calculs de la détermination des positions dans la nouvelle carte de France seraient faits sur cette dernière fraction.

En étudiant avec un soin particulier la marche des différences, M. Puissant est conduit à cette conséquence, c que la surface de la France est Tonnée de deux nappes principales, séparées à peu près par le méridien de Paris; que ces nappes appartiennent à deux ellipsoïdes irréguliers, ayant des aplatissements très-différents l'un de l'autre; l'aplatissement est très-petit du côté de l'Océan, tandis qu'à l'est il dépasse beaucoup 7^; qu'aucun ellipsoïde de révolution ne satisfait exactement à toutes les stations à la fois, et que la sphère parait tenir le milieu entre les écarts et avoir la forme qui, pour le sol de la France, convient mieux aux résultats d'observations. Toutefois il existe en certains lieux de fortes anomalies qui accusent des irrégularités locales et font dévier la méridienne de

Il 8 GÉOMORPIHE.

rObservatoire de Paris de la direction qu'elle aurait sans cela ; dans notre contrée, Tare de méridien terrestre est une courbe à double courbure très-prononcée. Enfin il est incontestable que, quand la direction du fii à plomb, d'où dépendent essentiellement les valeurs absolues des coordonnées géographiques d'un point de la Terre, est troublée soit par l'attraction de quelque montagne voisine, soit parce que la densité du terrain est plus petite ou plus grande que la densité générale de la croûte terrestre, on ne peut vérifier, non-seulement la loi de la variation des degrés des méridiens et des parallèles dans l'hypothèse elliptique, mais, en outre, la relation qui existe, sans cette cause perturbatrice, entre les azimuts et les longitudes sur un sphéroïde irrégulier peu différent d'une sphère. Ainsi les anomalies nombreuses qui ressortent des comparaisons précédentes tiennent nécessairement à des variations d'une grande étendue dans la nature du sol de la France et de l'Italie, et les mesures géodésiques, comme celles du pendule à secondes, lorsqu'elles réunissent toutes les conditions requises, sont éminemment propres à les signaler aux géologues. »

Des perpendiculaires à la méridienne,

236. Le plan vertical perpendiculaire au méridien du lieu étant dirigé de l'est à l'ouest, est ce qu'on appelle le premier -vertical : ce plan coupe l'horizon suivant une ligne qui est la perpendiculaire à la Méridienne du lieu. Cette ligne peut être prolongée en se servant de la méthode dont nous avons fait usage (n" 160) pour tracer sur le sol un arc de méridien. On établit une lunette dans la direction du premier côté de cette perpendiculaire, et l'on marque du côté opposé un signal qui soit situé sur cette môme perpendiculaire repliée selon la verticale de cette seconde station. On transporte la lunette à ce signal, et l'on répète la même opération, et ainsi de proche en proche.

La perpendiculaire à la méridienne est différente du parallèle k l'équateur, bien que ces deux courbes soient dans des plans l'un et l'autre perpendiculaires au méridien du lieu de départ ; mais un parallèle est perpendiculaire à tous les méridiens, tandis que la courbe dont il s'agit ici s'écarte d'autant plus du parallèle qu'elle s'éloigne davantage du méridien. Si la Terre était sphérique, cette courbe serait l'intersection même de la surface terrestre par le plan vertical perpendiculaire au méridien, c'est-à-

PERPENDICULAIRES A LA MERIDIENNE. 219

dire qu'elle serait un grand cercle de la sphère, lequel couperait Téquateor en deux points diamétralement opposés, et à 90 degrés de distance en longitude, de part et d'autre du méridien du lieu de départ.

H y a plus : dans le sphéroïde, la perpendindaire à la méridienne est une courbe à double courbure. En effet {Jig, 76} tes verticales qui vont toutes au centre de la Terre sphérique ne concourent plus au môme point dans Tellipsoîde. Si Ton a mené, en un lieu 0, la perpendiculaire ab à la méridienne Va^ab supposé un très-petit arc est dans le plan vertical iab^ qui passe par la normale ai. Lorsqu'on se transporte à Textrémité b de cet arc, comme la verticale ou la normale en b est 6/-, coupant Taxe de la Terre en ^, il faut briser le prolongement de ab^ pour le coucher sur le nouvel horizon, dans ce deuxième plan vertical cbk : ainsi Tare bc sort du premier pian vertical. De môme. Tare cd se trouve dans un troisième vertical dltr/; et ainsi des autres. La courbe abrd... est donc composée d*arcs élémentaires situés dans des plans verticaux sans cesse variables.

237. La position d'un point M (Jîg. 84} sur un plan est déterminée par ses dislances x et^ à deux axes Ax, A/, rectangulaires et donnés ; ou bien par sa distance AM = ^ à Torigine A, et par Tazimut PiVM = 2, savoir

(F) x = ffcoszy jr=ysinz.

Imitons ce système sur la surface terrestre. Soient P (fig. 87) le pôle, PX le méridien d'un lieu A pris pour origine des cordonnées sphériques AQ «X, QM «^, d'un point M, et AQ' «x','Q'M'=y d'un autre point M'. Les ordonnées j, y sont comptées sur des arcs QM/^, Q'M'/?, perpendiculaires à la méridienne PX.

Si l'on suppose que la Terre soit sphérique, ces arcs QM/i, Q'M'/? vont concourir en /? à l'équateur, ainsi qu'il vient d'ôtre dit, eip est le pôle du méridien PX, c'est-à-dire que le point ;? est à 90 degrés de tous les points du cercle PX. Les méridiens des stations M et M' sont les arcs PM, PM', eolaiitufles de ces points. Les angles MPA, M'P A sont les longitudes do ces stations, relativement au mi^ridien principal PX ; nous les désignerons par P et F : l'angle MPM'= P— P' est la différence des longitudes.

Or le triangle sphérique rectangle PQM donne [équations (/i) et (7], p. 66],

|G) sin / = cos/ sin P, ces Ç = — sin / tang P ;

220 GÉOMORPHIE.

/est la latitude de M, K l'angle IMQ, ou l'azimut de MQ sur rhorizon de M, compté à partir du sud. Mais Tazimut du côté MM', vu de M, est connu, IMM' = z ; appelons l'angle QMM' = +, angle donné par

La longitude P du point M de départ est ici > que celle P' de M'; l'azimut z est du côté occidental de la méridienne : s'il était à Test, comme fig. 88, on aurait P < P', et Ton ferait Z négatif, car on aurait visiblement

238. Appliquons au triangle sphérique MpW tout ce qui a été dit n"" 217, et les formules démontrées conviendront ici ; seulement, p n'étant plus le pôle terrestre, comme Tétait P (y^. 79), il faudra prendre ^M = 90°— /, pW = 90'—^', c'est-à-dire remplacer, dans les équations (A') et (B'),p. 200 et 201, / et /'parjety, rfpar/— /, z par 4», et P par l'angle p= arc QQ' = x'—x, Et môme, comme dans les équations (A') et (B'), fi, a et V sont des valeurs angulaires exprimées en secondes d'arcs décrits du rayon i , et que nous prendrons la normale N

pour rayon, il faudra substituer ^7 ^ et |^ au lieu de n sin i', r/sin l'ct

Psini', comme n** i8l, pour que 7, d et P représentent des longueurs

métriques. Il faudra donc en défînitive remplacer ^sin 1', ... parj^o

j^ et — j^ — ; et f , X, y, .r et x' seront rapportés à la môme unité que la normale N, qui d'ailleurs est connue (n** i77).

Ainsi l'on obtient les équations suivantes pour la^. 87, en négligeant un dernier terme de la première :

IV* y =j— <p cos^I' — ~ tang^ sin«i;.

, çsln^^ r^* . , tangj^

COSJ^ 2N ^ COS/

239. Ces équations donnent, pour chaque station M', les deux coor-

PERPENDICULAIRES A LA MÉRIDIENNE. 3'il

données x et a:', Tune dans le sens de la méridienne principale PX, Tautre selon sa perpendiculaire /^Q'. On déterminera d'abord les arcs 7-, ( et >|' par les équations (G) et (I), sans qu'il soit nécessaire d'y apporter une graille précision; et môme, comme on procède successivement d'un sommet de triangle au suivant, x et*^ sont connus lorsqu'on chercher' et/'. Au sommet A pris pour origine, x et / sont nuls, et nos équations se réduisent aux formules (H), au troisième ordre près. Alors (/f^. 89) M est situé sur la méridienne principale, 2; = 90*" et ^j^ = 90" — z.

La valeur (^*^jl' — x, pour tous les arcs MM' {^fig. 87], est leur projection sur la méridienne principale, selon des arcs />Q, /^Q', perpendiculaire à cette méridienne.

240. Il arrive souvent que la longitude P et l'arc y sont fort petits ; alors les équations (6) se mettent sous une forme plus simple pour le calcul. On y remplace les sinus et tangentes par l'arc, savoir j^= P ces/, et go'— ç= — Psin/; et comme on veut exprimer l'arc P en secondes, et la ligne y en mètres, on change P en P sin 1*, et/ en ^9 N étant la normale ; ainsi l'on a

( K) / = NP sin i ' cos /,

iL) Ç = go^H- P sin i* sin/.

Nous ferons plus tard des applications de ces formules.

Î41. Si l'on suppose l'arc MM' [fig, 79) perpendiculaire à la méri^ dienne PM du point M, on a

dans les équations (A'], (B') et (C), pages 206 et 201 ; et pour que a soit exprimé par le nombre f d'unités métriques de Tare terrestre, au lieu de l'âtrepar sa longueur, le rayon étant i, ou par son nombre de secondes,

on changera, comme n** 181, l'arc a en ^r*^ — -„• Ainsi, à cause de

D= /— L, on trouve: i* pour la latitude L de l'extrémité M' de l'arc MM', perpendiculaire en M; 2*" pour la différence P des longitudes de M et M'; B"* e&ûn pour l'azimut z' du lieu M vu de M', ou l'angle /n'M'M compté

aai GEOMORPIIIB.

du 8ud, les trois relations suivantes :

p 5j '^ tan g»/

*~Nco3/sini' 3N» cos/siui*'

- «tanç/ e^' tan?/ . . , , ,,

Ces équations sont exactes au quatrième ordre près : l'azimut z' est compté du sud vers Test ou l'ouest; P est exprimé ea secondes, ainsi que tous les termes qui ont sin i' au dénominateur ; 7 et N sont des longueurs rapportées à la même unité métrique (n** i81 ).

242. MultipIieE la deuxième de ces équations par sin/, et retranchez ia troisième, la première puissance de 7 disparaîtra, et vous aurez

^ 6N>smi

Cette équation, où le premier membre et Tavant-dernier terme sont exprimés en secondes, fait connaître la longitude P do M' par rapport au méridien de M, lorsqu'on a Tazimut z' du sommet M, vu de M', compl£ du sud.

Pour un autre point du môme arc perpendiculaire, mais situé de l'autre cété du méridien de M, on aurait une équation semblable en P', 3' et 7'; ajoutant ces deux équations et désignant par X la différence des longitudes de ces deux stations opposées, ou ) = P + F, on a

* ^g^-t-g^—iSo' (<p»-t-(f>^»)tang/ ~" sin/ 6N' sin/sini' '

Telle est la différence 'k des longitudes des deux bouts M' et M' d'un are

perpendiculaire à la méridienne, laquelle le traverse en l'un de ses points.

M. Puissant a prouvé {Connaissance des Temps pour 1828) que si cet

arc a 400000 mètres de longueur (1000 lieues), sous la latitude de

45 degrés, on a

valeur exacte à une demi-seconde près. Pourvu donc que l'arc n'excède

ARCS DE UÉRIDIEN. 223

pas cette étendue, c'est-à-dire que son amplitude ne dépasse pas lo degrés de lonjîitude, Féquation est exacte. Les azimuts z' et «• mesurés aux extrémités de cette perpendiculaire, et les longueurs 9 et ^ ' de ses deux parties, font connaître la différence en longitude de ces deux bouts de l'arc.

Mesure des arcs de méridien^ de parallèle^ etc.

243. Les arcs terrestres sont mesurés en dirigeant un réseau de triangles dans le sens de ces arcs, calculant les longuenrs et azimuts de ces côtés, les longitudes et latitudes des stations, enfin projetant ces lignes sur Tare qu'on veut mesurer, à l'aide de parallèles à i'équateur, ou d'arcs de grand cercle perpendiculaires à la ligne géodésique ; le tout par le secours de formules précédemment démontrées. La somme des projections convenablement choisies donne la longueur totale de l'arc.

Ainsi, pour trouver la longueur de l'arc de méridien qui traverse une chaîne de triangles dont tous les éléments et la disposition mutuelle sont connus, on rapportera chaque sommet au méridien principal d'une station prise pour origine, et Ton évaluera les deux coordonnées or et ^ de chaque sommet, dans le sens de la méridienne et de sa perpendiculaire. Ce procédé est bien plus commode et plus analytique que celui du n"" 162, qui a l'inconvénient d'exiger le secours d'une figure. D'ailleurs, on est obligé de trouver la latitude de l'extrémité de l'arc, qui diffère sensiblement de celle du dernier sommet, ce qui exige une correction qu'on peut trouver, il est vrai, par nos formules précédentes : mais la méthode des projections a l'avantage de faire connaître directement les latitudes de tous les pieds des arcs perpendiculaires, ainsi qu'on va l'expliquer.

On projette donc tous les côtés orientaux sur la méridienne principale ; on en fait autant pour les côtés occidentaux : les deux sommes doivent s'accorder à donner la môme longueur pour l'arc total, ce qui fournit un moyen de vérification des calculs ; et, s'il existe entre les deux résultats une petite diflférence, on prend une moyenne entre eux pour la valeur cherchée.

Bt d'abord il faut préparer nos équations pour en faciliter l'application au cas que nous traitons.

214. L'équation (A), p. 198, donne la différence d entre les latitudes

224 GEOMORPlilE.

des deux stations M et M' (fig. 79], dont Tare de distance est/?, et z I^azimut de cet arc vu de M. Ot delà sont de petits arcs qu'il convient d'exprimer plus commodément. La distance itinéraire MM' en unités métriques étant f , on changera a en ^, N étant la normale du point M, ou

N = — , c'est ici comme au n* 238. De môme, on changera

v/i — 6'«sin'^/

r/ en ^ , et 6 désignera la distance, en mètres, des deux parallèles de

M et M' ; ainsi l'on aura

(E) ô = ^coS3-»--2^, tang/sin«z— r;~|Sin«3C0S2(i -+-3 tang»/).

On peut donc projeter ainsi tous les côtés des triangles du réseau sur la méridienne principale, par une suite d'arcs de parallèles à Téquateur. et obtenir la longueur de l'arc total, limité en deux points extrêmes dont on a les latitudes. Ce procédé conduit au résultat demandé, puisque la somme de toutes les valeurs de 0, pour les côtés, soit orientaux, soit occidentaux, donnera l'arc de méridien, non-seulement en entier, mais môme en parties séparées qu'on pourra comparer entre elles, comme on l'a fait au n"* i88, et il n'est point nécessaire de faire, pour la dernière station, la petite correction dont nous avons parlé, et qu'exige la méthode de Legendre {nM6i).

On a soin de donner aux azimuts z le signe qui convient selon le sens que ces angles affectent par rapport à la méridienne : ces angles sont comptés du sud ; mais les uns sont ouverts à l'ouest et les autres à l'est. Les ingénieurs préfèrent ordinairement les compter tous dans l'un de ces deux sens, de zéro à 36o degrés, en faisant le tour entier.

Observez que, pour arriver à l'équation (E ], nous n'avons pas employé la correction d'aplatissement donnée par l'équation (A*), p. ao6, parce que nous nous servons de la normale N qui contient f*, et que l'angle des deux normales IG, 111 {Jîg. 80) est celui qu'on a introduit dans l'équation.

245. Appliquons cette formule à l'exemple du n"" 224, et projetons sur la méridienne l'arc terrestre du Panthéon à Dammartin [fig, 83 ]•

ABG8 DE aiBBIDIBN.

eosz 1,8397190—

8in>2..

tang/... o,o5849

cosz..,

1* terme.— a3 157, 4a

8iD*«... 1,71766

N -6,8oV29

.— i3,6io58

dr -h o,o55

lang/«.

0=— a3io4,7i

La projection cherchée est 0; le signe — vient du sens où l'on a compté razimut s, et est inutile à l'objet qu'on a en vue.

fl6. Si l'on veut opérer par des perpendiculaires à la méridienne, on calculera (Tabord le premier triangle ABC {J^, 74) à Taide des équations (P),n*î37. L'angle azimutal GA6, observé à Dunkerque, a été trouvé

la distance AC à Cassel est

Ainsi, dans hjig, 89, où M est Dunkerque et M' Cassel, on trouve les arcs

C0S2 7,9811156 sinz 1,4608007

Jt 4i4"9794o jr 3,8989791

Ce premier triangle est exceptionnel. Tous les autres de la chaîne sont traités d'après les équations H, qu'il convient toutefois de simpliGer, attendu que^ est un petit arc connu en mètres. En développant jusqu'au troisième ordre, .on trouve ( n** 3S)

«»r-«-î^„ «»Kr=è+5g»'

^557" \N^3My V aN«; N^6N»

F. — Géodésie,

Sia6 GÉOMORPHIE

N étant la normale au point dont l'azimut est z\ donc

I y=r-?cos>|/-^8in«^,

j:'= X -+- ç sin>|/ — î^-^ sin* a + -4- •—ttî sin^I/.

On commence donc par déterminer Ç par Féquation (L), puis>{' = DZ2, en prenant — quand Tazirout z est du côté de l'est, et + dans l'autre cas. Ensuite les équations (M ) donnent j/ et y .

247. Appliquons ces équations à la projection du deuxième c6téCE {^g. 74) qui va de Cassel à Béthune. On a déjà trouvé x et/, et Ton sait d'ailleurs qu'à Cassel

«p= 3i558», II, logN = 6, 8054584:

sin/ 1,8892670 «= 19.37. 6jO

2,4966148.... 3i3',77 4'= 109.42.19,77 On a ajouté z, parce que l'azimut est du sud vers l'ouest.

<P 4,499i»'o— 4,499'>io

cos^^ 7,5278890— sin^ ï>97379i9

-+-io64i",4a 29710™, 01

N« —13,61092 sin^'

sin*>j/..

1,947^7 sin2ç...

5,78798+ -ho%o2a +-o',o6i

r= 79^4,63 2' termes 10641,42

-h ' 0,06 -f- o,oa