ooo,i
ARCS DR HBRIDIEN. 227
Continuant ropération, on projettera de même sur le méridieD le côté de Béthune au Mesnil, pour lequel on a
^=ii3ii",43 et z-= — i8"54'a':
la atitude de Béthune est /= 5o« 3i '55'; la longitude P est égale à 1 5'43',5 ; le calcul donne
Ç=-9o<»ia'8',44, puis + = 7i''i7'4i',44.
Les équations (M) donnent enfin
r'=i4938",4o, j:'= 66714", la,
en partant des valeurs obtenues pour/ et x, qu'on prend pour ^ et x.
Et ainsi de suite pour tous les côtés occidentaux de la chaîne ; en sorte qu'on obtient en définitive Tare du méridien sdt entier, soit par parties, entre les stations dont on a observé astronomiquement les latitudes.
248. Observez que x'>-a:est la valeur de la projection d*un côté de triangle et que ce résultat n'est pas influencé par celle de x obtenue antérieuiQineat ; ainsi les petites erreurs de calcul ou d'observation ne s'aocomnlent pas et n'altèrent pas l'arc de méridien qu'on veut mesurer. II est vrai que j entre dans la formule qui donne x* et que la valeur dey est influencée par celle de^-, ce qui tend à réagir sur x'. Mais il n'en peut résulter d'erreur notable sur xf^ qui est le sujet principal des recherches, parce que la deuxième équation (M) ne renferme / que dans des termes fort petits. Aussi peut-on se passer de ta première de ces équations et trouver^ par approximation à l'aide de l'équation (K), qui est plus simple et suffisante.
Par exemple, pour la perpendiculaire abaissée du Mesnil, dont là latitude est / = 5o* 26*9', I et la longitude P = — i a' 39', i , on a
ces/ 1,8040996
sini" 6,6855749
r.. . .'. . . : . . 4,ï7^a3i, d'où j^= 14976*, 94, trop fort dé 38?,
249^ Le pied Q d'une perpendiculaire à la méridienne, abaissée d'une
aaS GBOIIORPHIB.
BtaUon M [fg. 67), n'a pas la môme latitude que ce point M, parce que l'arc MQ est différent d'un parallèle. Mais, en considérant que Tare QM»^ est connu en mètres et que son azimut Q est de 90 deg^rés, on peut y appliquer la formule (A), p. 198, pour obtenir la différence d des latitudes des points M et Q. On fera donc coss » o, et Ton
remplacera a par^, ou plutôt par ~ , pour que l'arc >" soit exprimé en
mètres. En désignant par / la latitude du point M et par L celle de Q, on a
Cette formule sert à trouver la latitude de l'extrémité de l'arc MQ dont on a obtenu la longueur ; on sait ainsi quelle est la graduation de cet arc. C'est la correction dont nous avons parlé (n** 163), qu'exige la méthode de Legendre pour trouver l'amplitude totale de l'arc de méridien.
2S0. Les procédés qu'on vient d'observer servent aussi à trouver la longueur d'un arc de parallèle, limité par des méridiens extrêmes donl la différence de longitude est connue (n** 211 ). On forme, comme au n** itô, une chaîne de triangles dirigés de l'est à l'ouest, et peu distants de ce parallèle; puis on en calcule les côtés, les azimuts, les longitudes et les latitudes, comme ci-devant.
Soient Afi (./^. 92) un côté de ces triangles, Â et B deux stations,
OQ le parallèle sur lequel on veut projeter l'arc AB, à l'aide des deux
méridiens PAE, PBG, c'est-à-dire qu'il s'agit de trouver la longueur Y de
l'arc GE dont la latitude est L. L'azimut du côté AB vu en A est 2; la
latitude de B est /, sa normale est N' = BN' ; celle du point G est N = GN :
iee rayons des parallèles GE, BD sont GF = x, BI = x' perpendiculaires
À Taxe PC. On a
x = Nco8/ (nM77).
Le triangle sphérique PBA donne [ équation ( B ] , n* 2i 8 ]
sin/isinz
sinP=-
cos/
comme P=5î8mP-4- gSÎn»P, il faut aâoutor au second membre le sixième de son cube pour obtenir l'arc P : d'ailleurs, faisant sina «» ^f —g^'*-^"
AECS DE HBRIDIEN. 239
en tire
sinz I a'sîn'z
/ I ,\ smz I a*sm*i \ 6 J cosi G cos*/
En remplaçant a par ^,9 comme précédemment, pour que le côté a soit
exprimé par son nombre f d'unités métriques, il vient
p ysinz y* sinz / sin«z\ N'cos/ 6N'»cos/V cosW;
P est ici l'angle dièdre formé par les deux méridiens des stations extrêmes 00 plutôt Tare décrit du rayon i qui mesure cet angle, ou Tangle DIfi que font les rayons ID, Ifi, menés perpendiculaires à Taxe PC, partant des deux extrémités de Tare BD, arc qui est ta projection de ÂB sur le parallèle de B. Or on a
i:P::lB:BD, bd = Pj/;
les arcs semblables BD, GE sont comme leurs rayons :
*':jf::BD:GE=^xBD = Px«y.
Uettant ici pour P et x = N cosL leurs valeurs, on trouve ivi V NcosLr *' . / sin*«\T
On applique cette formule successivement à tous les côtés nord ou sud des triangles de la chaîne, et Ton obtient la somme de leurs projections qui compose Tare de parallèle proposé.
291 . Pour la commodité des calculs, on compose une table des valeurs de la normale [équation (6), n* 177] pour les diverses latitudes, entre les limites des sommets de triangles qui composent la chaîne, et pour Taplatissement adopté. NcosL est ici constant; f, s, N'et / varient avec les stations* Mais on abrège ces calculs en cherchant d'abord N pour le parallèle OQ sur lequel les arcs sont projetés, puis le petit chaugement que N éprouv ^ pour de légères variations de L.
Ona
N««A«(i — ««sin^L)-»;
a3o QéOMOHPHIK.
la diffôrenUelIe par rapport à N et L est
,„ N e> sia L cos L riL
mais N' = N-i-rfNdonne [équation (2a), n»3î]
logN' = logN-h log ^i + igi) = logN H- M Ç' ,
M étant le module, et en se bornant au premier ordre, qui suffit ici. Représentons le dernier terme par c,
^ M/y»sinaL//T,
' "" a(i-€f«siti«L) '
Développant la puissance — 1 de (i — c* sin'L), et désignant par ^ la di férence /— L des latitudes, il vient
• =:-Mtf*^sini''sinaL(i-+-tf*sin'L).
Telle est la correction c que log N doit subir pour deifenir log}f ; 9 est égal à / — L exprimé en secondes. Comme il est permis de négliger ici les à sans inconvénient, attendu que ^ est toujours fort petit, on a simplement
f = - Mf* J sin l' sinaL = K sinaL^,
en faisant la constante K s> - Me* sin 1' (voir la Table II). Pour Taplatiâsement 7^^, on a
log K» 9,83835.
log K =.9,83179.
On prend 0 négatif quand la station fi est plus voisine de Téquateur que le parallèle principal OQ, savoir quand / <L.
jiires fies sones et du sphéroïde,
252. En désignant Texcentricité par «, nous avons trouvé, page 181, les éléments du sphéroïde elliptique, savoir : les demi-axes A et B, son aplatissemeni, etc. En fai^itt A » B, ou <f = o, on a les formules qui se rapportent à la Terre supposée spliérique.
ZONES TKHHESTAB8. sSl
Cherchons Taire d'un quadrilatère sphéroïdique compris entre deux méridiens et deux parallèles. Pour cela, observons que le cercle décrit par un point M Ifig. 78), dans la révolution de Tellipse AMP autour du petit axe CP, a pour rayon OM » j/ ; la circonférence est 2irx', el un arc de L d^irés a pour longueur le quatrième terme de la proportion : si
36o d^rés valent 2 ira/, L degrés valent —^~- = — ? |» = • Multiplions cet arc par l'élément M m »^, et intégrons; Taire d'un quadri* latère sphéroïdique compris entre deux parallèles et doux méridiens sera, L étant ta différence des longitudes,
on a trouvé [n* 176, première équation (4)]
A cos/
\/(i — e^ sin»/)' lnM85, équation (16)]
v/(i— <f«sin«/)3
donc, à cause de i — <?* = j; [équation (i), n* 175],
LB« r cos/rf/ **■" p J (i-<?«8in»/)>'
Pour intégrer cette expression, posons « = e sin/, rfz = ^ cmidi,
rétablissant e sin/au lieu de «,
LB« r sin/ I , /i-4-^8in/\l
Noos n'avons pas ajouté de constante, parce que nous supposons que Taire du quadrilatère commence à Téquateur et se termine au parallèle dont la latitude est /; ainsi / » o doit répondre à u = o, et la constante est nulle.
a3a GéoMOHPiiiB.
253* Pour la facilité des calculs, on pose
(2) ^sin/=sin7,
et Ton divise les logarithmes par le module M (n* 32) pour changer ces logarithmes, qui sont népériens, en tabulaires. On trouve
Pour obtenir Taire du globe entier, il faut prendre L = 36o'', et / = 90*, puis doubler, savoir :
Pour la zone torride, on fait / = aS^iS', avec L s= 36o'; Pour la zone tempérée / « 66-3a' ;
mais du résultat on doit retrancher Taire de la zone torride. En6n od retranche ces deux zones de Thémisphère pour avoir la zone glaciale.
Quand on suppose la Terre sphérique, les foonules (i) à (3) deviennent, en faisant A «= D et ^r = o,
tt= sm/= 5-T — et 4irA».
Dans cette hypothèse et prenant pour le rayon A de la sphère la moyenne entre le grand et le petit arc, c'est-à-dire entre les nombres 6375739 mètres et 6356649 mètres, pour Taplatissement ^{7, savoir, en faisant A as 6366194", on trouve les résultats suivants :
Les deux zones glaciales valent ensemble. . . . 4212272206^
Les deux zones tempérées 26436240880
La zone torride 20280867640
Surface entière du globe terrestre 609293 80726
Le calcul direct donne 4 ^ A< =50929380650,
c'est-à-dire 76 hectares de moins, ce qui provient des erreurs dues aui lo;;arithmes des grands nombres.
NIVELLEMENT GiOAÊ8IQUE« a 33
