CHAPITRE V
Nivellement géodésiqtre,
284. Deux points M et N (fig. 93) sont de ni(feau quand ils sont situés sar une même surface MÂN, concentrique au globe terrestre man^ que nous 8ni>po9erons être une sphère. Si l*on compare quelque sommet 0 au point M, la différence NO de niveau est mesurée sur la verticale, ou te rayon GN prolongé. Il s*agit de trouver NO = x.
Du point M, d'où Ton voit le signal 0, on mesurera l'angle OMP, qu'on appellera la distance zénithale de 0. Observons que la réfraction atmosphérique foit voir ce point 0 plus élevé qu'il ne l'est réellement, en sorte qa'oa juge oe sommet 0 en /, et que l'angle mesuré est, non pas OMP, maisiMPas, plus petit que le premier; la différence est /MO = r. La véritable distance au zénith est donc OMP » z-f- r, 2 étant l'angle qu'on mesare actuellement et r la réfraction inconnue.
Quant à l'arc MÂN, il est toujours fort petit ; nous verrons qu'on peut lai substituer sa corde MBN = iir (n* ISi ).
%K(. Dans le triangle isoscèle CMN,
l'angle NMC^go' — - G; la corde MBN » i^ = aR sin ^ C,
R étant le rayon terrestre, ou plutôt la normale en M, pour avoir égard à i'apl&t^sement teri^tre. Donc, en exprimant l'angle G en secondes, et
nibstituantlepetitarc-G à son sinus (on remplace sin-G par-Gsin 1',
n* 34), on a
>l«RGsini%
Le triangle OMN donne
sinO.MN ou *::sinOMN:ON ou x;
l34 fliOMORPHIB.
d'où
, sinOVN
or
donc
siiiO '
OMN = i8o*— OMP — NMC = 90»— * — r-h i C, NOM=0 = OMD = OMP— C = *-*-r-C;
avec
(a) * = RC9ini'.
Cette équation (2), où la distance A est connue, donne Tare C en secondes: ainsi il ne raste plus, pour avoir la différence x de niveau des stations M etO, qu'à trouver la réfraction r. En prenant R = 6366198*, on a
n peut arriver que l'angle € soit assez petit pour qu*on ne change pas
sensiblement la valeur (i), en remplaçant G par - C dans le dénominateur,
attendu que, l'arc :» -ht— G étant peu différent de 90 degrés, son sinus varie à peine pour un petit changement de l'arc : alors l'équation ,1) devient simplement
(3) ar=^xcot /zn-r-ic V
2S6. Pour trouver la réfraction rou en éviter l'emploi, on prend des distances zénithales réciproques et simultanées : un observateur placé en 0 (fis* 93) mesure l'angle MOZ, distance zénithale de M vu de 0, en môme temps qu'une autre personne prend l'angle MOF. Soit MOZ = 2'+^ z' étant Tangle observé, et r la réfraction qu'on suppose la môme en 0 qu'enM(»).
(■) M. Biot a donné, dans la Connaissance des Temps de i8J3, des formules pour trouver r, et a prouvé que, quand on fait de^ observations rêciprcquefi et simultanées, la réfraction r est senMibiement la mi-me pour le» deux stations, eVKt-à-<lire que la trajectoire de 1» lumière est la merot* courbe pour cbaM"!^* Mais cependant les calculs trijonometriques, indépendants de toute théorie
NIVELLEMENT GÉODBSIQUB. 335
Ona
M0Z-4-0MP=«-h2'-har.
Mais, d*uD autre côté, ces deux angles étant extérieurs au triangle MOC sont : ran MQZaOMG + G, Tautre OMP»0-t-G. La somme de ces angles se compose des trois angles du triangle MOG, plus de Tangle G ; ainsi cette somme » iSo*"-*- G, et Ton a
(5) r=iG--(z-*-»'-i8o«].
Introduisant cette valeur dans l'équation (i), il vient
COS-ilV — ZH-.G)
L'éqoaUon (3), qui n'est qu'approximative, mais qui suffit le plus souvent, devient
(7) x=Xxtangi(*'-«) = iX(«'~a)sini',
en exprimant en secondes le petit arc z — z. Lorsque z et z' ne sont pas i peu de;Clv>se près égaux, et que i( est de quelque étendue, on doit se sorvir de l'équation (6) de préférence.
L'équation (7) peut aussi servir à trouver Tune des distances zéni* Uialass et ^ quand on connaît l'autre et la différence x de niveau.
S57. Gomme il est pénible de doubler ainsi le nombre des observations, dans le seul but de trouver la réfraction r, on a fait des tentatives multipliées pour éviter les distances zénithales réciproques et déterminer r «priori^ car alors on pourrait se servir des équations (i) ou (3). Ge petit
pliTtique, prouvent que cette égalKé a très-rarement lieu, puisque, entre autres cieni|>ies, les observttions timultanéee faites à Glermont et au Puy-de-DAme <lonneot, pour la rérraction à la ttation inférieure, 37 secondes seiugésimales, M À la station supérieure -iS secondes, et cein sans aucune hypothèse sur la loi des dtfcroissemeutt de densité et de température de l'air.
PoisaANT.
a36 OéOMORPOIB.
arc r est yariable par les circonstances atmosphériques; le Mémoire cité de M. Biot apprend à le trouver, mais les formules sont compliquées.
Supposons que, par des observations très-soignées, on soii parvenu a trouver diverses valeurs de r, correspondantes chacune à un angle C biea connu (fig. 93). En divisant ces valeurs par les angles C qui leur appartiennent, on a remarqué que les quotients diffèrent peu de 0,08. Ainsi, dans les circonstances atmosphériques ordinaires, si Ton n'a pu obtenir des distances zénithales réciproques, on pourra poser approximativement
r=o,o8xC;
ensuite Téquation (i) donnera la différences de niveau entre lesdeax stations, à fort peu près, et par des distances zénithales simples .2.
2S8. Mais les variations qu'éprouve Tatmosphère ûtins ses diverses couches changent notablement la réfraction, et Ton ne peut avoir une conBance absolue dans l'équation /-scodxC. Rigoureusement, on devrait poser r= mC, et choisir pour m la valeur qui convient aux circonstances atmosphériques où Ton opère.
La variable m est appelée le cot-ffident de la réfraction ; é\e change avec la température, la pression atmosphérique, et mille causes locales presque insaisissables par le calcul. Delambre (Astronomie, t. m, p. 575) a trouvém de o,o5 à 0,06 en été; rarement deo»i4ào,i5 par un temps brumeux d'hiver, et presque toujours m = 0,08 avec 0,0a de variation en moins pendant Tété et en plus dans les temps froids.
La moyenne de dix*sept observations de la mer (n* 264], ftutes en été et en automne, est 0,0783. On trouve (p. a34 et 366 du VI* volume du Mémorial du Dépôt de la Guerre, un grand nombre de déterminations du facteur m, plus ou moins différentes de 0,08, et qui prouvent la variabilité de ce coefficient.
Concluons de là qu'il faut, autant qu'on le peut, mesurer des distances zénithales réciproques de tous les sommets dont on veut avoir le nivelle* ment avec précision. Mais, comme il n'est pas toujours possible de le faire au même moment, et que, lorsqu'on le peut, les difficultés et les frais d'exécution obligent souvent à renoncer à cet avantage, les distances zénithales sont alors réciproques, sans être simultanées ; et quand elles ne le sont ni Tune ni l'autre, faute de mieux, on prend m = 0,08, ce qui
NIVELLEMENT GÉODBSIQUE. 23;
donne encore des résultats très-satisfaisants , da moins quand l'atmosphère neae trouve pas dans des conditions exceptionnelles de températare, pression, humidité, etc.
Une simplification qu'on se permet, quand d*une même station on peut apercevoir plusieurs sommets environnants, consiste à mesurer, pour Tun aealement, des distances zénithales réciproques et, s'il se peut, simultanées, afin d'en conclure la valeur actuelle de m, qu'on fait ensuite servir à la détermination des hauteurs des autres sommets, pour lesquels on se contente de distances zénithales simples. On se sert de l'équation ( i) en y faisant r = mC, avec la valeur de m qu'on vient d'obtenir, parce que l'on admet que, l'état de l'air restant le môme, ce coefficient conserve sa valeur.
259. Au reste, l'équation (i) peut être développée, dans ce cas, d'une manière commode pour le calcul. Posons r^mZ dans cette équation, et
faisons, pour abréger, -^ =» «— ( m\ C; nousaurons
— A cos4> X- cot4>
*"■ "sin{4^— iC)~cos4C(i— cotAptangjC)'
en développant le sin l^ — C K et en divisant haut et bas par sin4r
cos-C.
Faisons la puissance — i de ( i — cot>|> tang - C ] ; et, comme >p est trèsvoisin de s (et de 90 degrés), cot^» est fort petite, ainsi que G ; négligeons le deuxième ordre,
kcoi^f ^
gCot[,-(l-«)c]
COS^C cos^
k cota-4-tang(| — m)C oosiC I — cot«tang(4— m)C'
i^na la puissance — i- du dénominateur, et négligeons toujours le deuxième ordre, puis remplaçons la tangente par le petit arc f - — m ] C, k Y , /i \itcoséc«*n
!à38 GéOMORPHlB.
à cause de Féquation (%), A^ RG. Enfin
(8) ^^XcoU ^ X'«(4-«)
^ ' coSfC Kcos^Csiu*2*
Le plus souvent on prend ces - C » i , et mdme sin^z = i , et Toh a (9) :c = Xcota-h~Q-/;iy
Nous donnerons plus loin un exemple de cetle fonnule, lorsque nous aurons déterminé A avec précision.
200. L'équation (6) exprime la différence de niveau «^ ON {/g» 93) des deux stations M et 0, d'où Ton a mesuré les distances zénithales réciproques s et x'; elle a été déduite de la résolution du triangle rectiligoe MON qu'on appelle hjrpsométrique ; k y représentée corde MN. La' môme chose doit se dire des équations (i), (8) et (9). Pour appliquer ces formules aux cas particuliers, il faut supposer que la corde MBN est égalée Tare man qui est un des côtés de nos triangles géodésiques projetés sur le sphéroïde du niveau des mers et composant le réseau ; car tous les côtés de nos triangles ont été réduits à ce niveau par le calcul. U est bien certain que cette supposition n'altère pas sensiblement la valeur qu'on obtient pour X, qui est en général une petite quantité par rapport aux dimensioDS
la Terre.
Mais, en fait, l'aro nmn diffère de la corde MN ; et si la valeur de x n'est pas influencée par la supposition de k » arc mnn^ cela tient an peu d'él^ vaiion des sommités au-dessus de la mer. Désignons l'arc connu nm par f , tel que le donnent la triangulation et les calculs; nous aurons
Ci7t:/7/6/7::GM:MfiN, ou R:ar:R-HA:A,
en llitsant la corde mbn = a^ et la hauteur Mm » /i-au*des8Ù8 de la mer, hauteur connue, au moins à peu près. Ainsi
NIVELLEMENT GÉODÉSIQUE. aSq
ia corde a de Tare f est (n* 151) «"* ?"~7fDîî *^*°**
(.o) *='(' + fO(— îfïïi)-
Telle est la valeur qu'il faut employer pour A dans les équations pré<^« dentés. Comme les calculs se font toujours par logarithmes, nous développerons les logarithmes des deux binômes par l'équation (aa), n* 32, et nous négligerons les termes du deuxième ordre, qui sont très-petitg: nous aurons, en désignant par Bf le module,
Pour la latitude de 45 degrés, on trouve en mètres
iogg = 8,8339o4o, log jj^ = Ï6,6498i25.
Appliquons maintenant Téquation (9) à un exemple. Supposons que du Panthéon on ait observé le clocher de Yélizy, et qu'on ait trouvé la distance zénithale de la boule de ce clocher
L'arc de distance qui sépare les deux stations, réduit au niveau des mers,
d été trouvé
^>=i33ai"';
on demande la différence x des niveaux de la boule du clocher et de la iantenne du Panthéon, d'où Ton a observé z. Prenons d'ailleurs ^i~o,o8 et A= 144". (Une détermination exacte a donné 143", 8 pour la hauteur du sommet de la lanterne du Panthéon au-dessus de la mer.)
? 4 1 1^45368 const 8, 83S90 Le 3* terme de Téquat. (1 1)
98 h== i44"'. . . 2,1 5836 ne donne rien.
cot«.... 3,5225332 X» 8,2490932
Différence do niveau x = 56,076 1 1 ,707 ... . i ,0684623
a4o GEOMORPHIB.
Gomme Tare > G n'est ici que de 3' 36', le diviseur cos - G est tout a fait sans importance, et Ton se sert de Téquation (9).
26i . Lorsqu'on opère dans un pays de montagnes, il serait tout à fait défectueux de supposer que k désigne la môme chose que le côté 7 d'un triangle géodésique, parce que la hauteur h des stations au-dessus de la mer exerce une influence sensible dans Téquation (i i) ; il en faut dire autant du cas oi^ les stations seraient assez distantes Tune de l'autre pour que 7 fût un fort grand nombre. Ge n'est donc qu'en pays de plaines qu'on est en droit de supposer k -» ^ , et pour les intervalles de i5ooo mètres au plus. Au reste, l'équation (11) apprendra si réellement ^= f.
Voyons à mettre l'équation (6) sous une forme plus commode pour le
calcul: en posant <»= (s'— s) = angleOMN (/g'. 93), l'équation (6)
devient
Xsinp ksXïLv
cos(PH-{C) cosPCOsiG — sincsin^G k tang<*
cos ^G (i — tangf» tang^G)* Développant la puissance — i du binôme, on a
Les angles p et - G sont si petits, que le deuxième terme est presque toujours négligeable, ce qui donne
(,3) ,= x.5îîîEii|rifl.
^ ' cosj-G
Prenons pour exemple les observations que M. Peytier a feités au pic du Midi de Bigorre et à Monterpé ; il a trouvé pour distances zénithales réciproques :
Pic du Midi «' = 9a' 14' 3a',5 dist. f = a7570*, 74 ,
Monterpé 2 « 87.58.a7,4
s' — z= 4.16.5,1 hauteur au-dessus de la mer,
p es moitié = a. 8. a,5 environ A » i85o*.
NIVELLEMENT 0B0D6SIQUE. 24l
I* terme f. 4,4404486 const... 8,83390 const 76,6498—
tangf. .. 2,5712783 k 4,47057
cos - C . . — -î ,9999990 compl. sîn*. . 5 , 3 1 443
x=io27",67 8g3',55 C 2,95112
= dîff. des hauteurs du signal et de la station.
Le troisième tenue de Téquation (11) donne à peine o'^jOi, quoique les élévations ou altitudes soient ici très-considérables.
t62. L'exemple précédent montre qu'on ne peut ordinairement fkire les observations en se plaçant aux sommets des signaux dont on mesure les distances zénithales ; il faut donc corriger les angles observés. Soient G {fi^. 82 ) un signal qu'on a observé de A, et 0 le lieu où se place l'observateur pour voir A, la station est au-dessous de C d'une quantité OC = / , et Fanglè mesuré AOZ = Z doit, dans les équations, être remplacé par ACZ»z; A est la différence de ces angles; il s'agit de la calculer et de
l'ajouter à 0. On a
AC:OG::sînO:sinA;
d'où, exprimant le petit arc A en secondes (n* 35), et faisant AC ^ a,
^^/sinZ^ zcA'-2 = Z-+-A.
«smi*
Et, s'il arrive qu'on ne puisse observer Z d'un point 0, situé dans la verticale OZ du signal, on se place le plus près possible en un lieu 0 \fig, 90), dans le plan vertical BOA passant par la station A et parle signal B, que nous supposons dans le môme plan horizontal 0. Ce plan vertical coupe l'horizon selon BO; l'angle observé est BOZ » Z, qu'il faut corriger pour avoir ABZ'; OD parallèle à BA donne A pour difféience de ces angles, en posant
ÂB:0B::8inA0B:sinA;
F.- Géodésie, lO
24^ OéOMORPUIE.
d'où
X^ll^, ABZ=DOZ = Z + A,
/ÏSIIII
en faiâ..nt OB = m. Qimnd la station 0 est en arrière do B, ces Z devient
négatif, et l'on a
ABZ' = Z-A.
Bien entendu que si le signal, au lieu d'être en B sur l'horizon de 0, est élevé en C au-dessus de B, il faut corriger ce résultat, en vertu du théorème qui précède.
En6n, quand on ne peut stationner dans le plan vertical des signaui A et B, et qu'on est obligé de se placer en un lieu G, on peut supposer que la station est en B, en prenant AB = AG, attendu que les rayon< partis de A, et terminés en B et en G, sont également inclinés sur le plan horizontal BOG. La distance AG se tire du triangle AOG, et Ton a OB = différence des projections horizontales de AG et OG.
263. n arrive quelquefois que lare terrestre X- qui sépare les deux signaux est inconnu, et qu'au contraire on a trouvé, soit directement, soit par des observations barométriques (n^ 273), la différence x de leurs niveaux. Nos équations peuvent alors servir à trouver cette distance X". mais ce procédé n'a aucune précision.
264. Lorsque d'un sommet 0 on aperçoit en M (y^. 47) la mer à l'horizon et qu'on mesure l'angle MOZ, formé par la verticale OZ avec Tborizon OM de la mer, tangent à la surface des eaux, cette distance zénithale apparente MOZ = z donne ce qu'on appelle ï altitude, ou la hauteur absolue de la station 0 au-dessus du niveau de la mer. En effet, le triangle MOG est rectangle en M, et l'angle extérieur MOZ = z -4- r est aussi
égal à 90*" -4- C; d'où
