L'équation ( 3 ) donne
7r«rN«
On pourra donc trouver par l'expérience du pendule la valeur de la pesanteur ou du nombre g en un lieu déterminé. On comptera le nombre N d'osciila lions que fait un pendule simple connu r, dans un temps donné T, et le calcul fera connaître g. S'il s'agit d'un pendule à secondes de temps moyen, lequel fait une seule oscillation en une seconde, T elN seront i , et l'on aura
(6) g^-trV.
C'est ainsi qu'on a trouvé qu'à Paris on a
g^ = 9- , 808672 = 3oP» , 1 9546, e = -i ^/«, !ogg'= 0,9916103, 1,4799416, v^gt.
PBNDULB. 25 1
g est l'accroissement de vitesse fi*un corps qui tombe dans ie vide //e/f" dont une seconde^ ou le double de la hauteur de sa chute dans la pre^ mière seconde, e est l'espace décrit en t secondes, et v la vitesse que le corps a reçue au bout de ce temps.
280w La pesanteur g varie selon les lieux, parce que cette force est ia résultante de deux autres dont une seule est constante, savoir la gravité Çj ou l'attraction qui tend à précipiter les corps au centre de la Terre ; l'autre force est centrijuge et produite par la rotation diurne, et variable avec les lieux.
Supposons d'abord la Terre sphérique [Jig. 94) ; C en est le centre qui attire toute molécule M de sa surface comme si la masse était réunie en C; Taxe de la rotation diurne est PC ; P est le pôle; / est la latitude du point M qui est sollicité par deux forces, la gravité G agissant selon le rayon CM, et la force centnfuge P due à la rotation terrestre et agissant selon MF, prolongemetit du rayon OM du parallèle décrit par M. Décomposons cette force selon le rayon CMZ et la tangente M/; la composante MZ est égale à F cos/, puis l'angle OMC ^ /. Ainsi la gravité G est diminuée de cette composante, et la pesanteur g^ en H est la différence des forces 6 et F oos/,
(^bis) 5^ = 0 — Fcos/;
mais rien ne détruit la composante selon MT, ce qui prouve que la moléculeM ne peut rester en équilibre, et que, si la Terre a été originairement fluide, elle n'a pu conserver la forme sphérique. Or l'équation (6^/^) n'en subsiste pas moins à fort peu près quand on considère la Terre ellipsoïdale ; car CM n'est plus normal, et la pesanteur s'exerce selon la ligne NMZ du fil à plomb tendant au zénith vrai Z : alors les forces G et F se décomposent selon la normale NMZ et la tangente ^M/, ces dernières composantes se détruisant. La composante de G selon BfN est G cosi, qui se réduit à G au second ordre près, parce que l'angle 1 du rayon avec la normale est très-petit; on a donc encore l'équation (6 bis),
n est vrai que l'attraction terrestre ne s'exerce plus comme si la masse était réunie au centre G, et que la résultante G. sous la latitude /, des attractions de toutes les molécules terrestres n'agit pas selon MG; mais il est évident que, la Terre étant presque sphérique, la direction de cette résuU
'2Ja GEOMOfiPHlB.
taale altère très-peu l'angle i, ce qui ne change rien à réquation(6 bis] et laisse concevoir que les composantes selon la tangente s'entre-détruisent.
281. La force centrifuge est, comme on sait, F » — > (^ étant la vit^e de rotation de M et x le rayon OM du parallèle. La rotation terrestre conserve en tout temps une vitesse constante; mais, comme x eiv vaneoi avec la latitude, pour un autre point M on aurait
F'=-,, et JT : x':: j^: /;
a.' d'où l'on déduit
Ainsi la force centrifuge varie comme les rayons des circonférences décrites; elle est maximum sous Téquateur, nulle au pôle, et décroissaote avec la latitude/. Nommons/ la force centrifuge à Téquateur, force qu'oD
démontre être -7:- de la gravité/-» -=-• Nous avons 289 ^ -^ 289
]/{\ — e«sm*/)
a cause de l'équation (4), n"" 176. Développant le radical en série et substituant dans l'équation (6 bis)^ il vient
^ /'cosî/
V^i — c'bUà*/)
^=G — ^\i-sin«/)(i-i?«8in«/)"*,
/r - ;^ [a89 - (1 - sîn«/) (1 - i r«8i.iw)],
^* Jbl''^^ ■*"**"*'- r'^^"*')' g « f( a88 -+- sin* / — i c^ sin* l\ ;
telle est la valeur de la pesanteur sous la latitude / quand on connaît G valeur au pôle, ou la force centrifuge /à l'équalour.
PENDULE. a53
fio négligeant les termes où e est facteur, on a
g=f{iSS-hsmU);
ainsi la pesanteur g varie très^sensiblrment comme le carré du smus de la latitude : il en est de même de la longueur r du pendule à seconiles, puisque ^=sirSr. On suppose ici les quantités ^ et r réduites au niveau des mers, comme il sera expliqué ci-après (n" 294).
S82. La théorie de Tattraction (Mécanique céleste, t. II, p. loa) démontre que l'aplatissement du sphéroïde terrestre est lié à la longueur du pendule à secondes. Puisqu'on sait que cette longueur peut être exprimée par la formule /< =» A -t- fi sin*/, on pourrait trouver les constantes À et B en mesurant les longueurs /^ et r* du pendule à secondes sous deux latitudes /' et /', et Ton aurait deux équations entre les inconnues A et B :
r'=A-#-Bsin«/', r* = A -4- B sin« /'.
L'élimination donnerait ensuite A et B, et, par conséquent, la longueur de ce p^idule à toute autre latitude /, r = A h- B sin*/, et la pesanteur g en ce lieu, puisque ^ = ir* r = tt* ( A + B sin'/).
289. llfaîs, comme les erreurs d'observation influeraient sur les valeurs des constantes A et B, il faudra répéter les expériences en un grand nombre de lieux, et en déduire autant d'équations entre A et B qu'on en emploiera concurremment à leur détermination, par la méthode des moindres carrés. C'est ce qui est exposé dans notre Astronomie pratique, D*29S, un Mémoire de M. Mathieu (Connaissance des Temps de 1816), ia Géodésie de Puissant, t. II, p. 338, et VAstronomh physique de Biot, t. Œ, p. 166. Noos donnerons plus loin les valeurs des constantes des équations
(7) r= A-+-Bsin»/, ^=C-hDsm«/, dans lesquelles on a
Comme / = o donne
r = A, ir=C,
OD voit que A est la longueur du pendule à secondes sous Téquateur, et
a54 GÉOMORPUIK.
G la pesanteur en ces lieux ; quand / » 90*, on a r=A-+-B, ^=C-4-U
ainsi Best Texcès du pendule polaire sur le pendule équatorial; D est l'excès de pesanteur quand on passe de Téquateur au pôle.
284. Il suit de la théorie de Tattraction (n"" 34, t. II, Mécanique ce-
I 5 lesie) que l'aplatissement terrestre - ^- du rapport de la force centrî-
fus^e sous Véquateur à la pesanteur, moins V excès 'b de la longueur du pendule polaire sur celle A du pendule équaton'al, divisé par cette même quantité X. Et, comme la force centrifuge est démontrée être sous Téqua-
teur -^ de la pesanteur en ce lieu, on a Téquation
d'où l'on conclut que l'aplatissement terrestre sera connu dès que, par des observations du pendule, on aura les valeurs des constantes  et 6. C'est ce qui sera calculé plus tard.
285. Réciproquement, si l'aplatissement est connu, l'équation (9] sert à éliminer B de la valeur générale de r, où il ne s'agit plus que de déterminer la constante A, savoir :
/ = Ari-+-fo,oo865o5— i j sin*/|.
Une seule expérience, qui fera connaître r et /, suffira donc pour trouver A et, par suite, B, C et D.
Prenons pour exemple le pendule de Borda (p. 249), et l'aplatissement
- = r-7 = 0,0032787. D'abord l'équation ci-dessus devient
r = A (i -h 0,0053718 sin*/).
Or l'expérience a été faite à l'Observatoire de Paris, où la latitude est 48''5o'i4', et à 63 mètres au-dessus de la mer, on trouve que le rayon terrestre, pour cet aplatissement (p. i85), est R » 6366698". Et comme il faut réduire la valeur de r (n* 282) à celle qu'elle serait au niveau des
PENDVLE. 25S
mers, par une théorie que nous exposerons bientôt, on trouve que r se réduit à o"*, 9940284. On en tire donc ces valeurs :
logB==» 3,7261962, logD = 2,7204959, B =3 o,oo5322326; D = 0,05252916.
Au reste, on trouverait la valeur de A avec plus de sAreté, en faisant intervenir dans le calcul un grand nombre d'observations du pendule, par la méthode des moindres carrés.
Venons-en maintenant aux procédés suivis pour observer la longueur du pendule et lui faire subir les réductions exigées par les conditions mêmes des expériences.
286. Le pendule simple ne peut avoir qu'une existence théorique, puisqu'il est physiquement impossible de faire osciller un point matériel pesant, à l'extrémité d'un fil inextensible et sans poids, dans un arc infiniment petit et dans le vide. Le pendule est toujours un corps figuré, qui se meut dans l'air à une densité et une température variables, et dans iin arc fini. Voyons donc à dégager l'expérience des circonstances qui en altèrent les résultats.
On démontre que, lorsqu'un corps de forme et de nature quelconquesoseille autour d'un axe horizontal, parmi les différents points matériels qui le composent, les uns se meuvent plus vite et les autres plus lentement que s'ils étaient isolés et indépendants de la masse ; mais il existe an point dont le mouvement n'est nullement altéré par «sa liaison aux autres, c'est-à-dire qu*il se meut précisément comme s'il était seul. Ce point, appelé centre d'oscillation^ est donc un véritable pendule simple, et l'on peut, par la pensée, supposer que toute la masse du corps y est' concentrée. Ce point est situé sur la ligne qui va du centre de gravité perpendiculairement à l'axe de rotation ; et il y est au delà du centre de gravité ou plus bas que ce centre. Quand ie corps a une figure régulière et géométrique, on peut même, par le calcul, déterminer la place du centre d'oscillation : ainsi, quand le pendule est une sphère ou une lentille, suspendue à un fil ou à une ou plusieurs tiges parallèles, on trouve, par la Mécanique, la longueur r du pendule simple équivalant au pen* dule composé qu'on a mis en expérience; et cela quels que soient les mé-
956 GEOMOfiMllE.
taux qui forment ce corps, pourvu que ctiacun soit homogène et de densité connue. On donnera bientôt le moyen de se rendre indépendant de cette dernière condition.
287. On risquerait beaucoup de se tromper si l'on voulait compter les oscillations une à une, sans parler de l'ennui d'une semblable pratique. Voici comment on opère : on fait d'abord en sorte que le pendule d'épreuve ait une telle longueur, qu'il accomplisse les oscillations dans un temps peu différent d'une seconde. On dispose en arrière une horloge parfiaitement réglée et à compensation, qui marque le temps moyen avec une précision presque rigoureuse, ou du moins dont la marche régulière soit assez connue pour qu'on sache combien son pendule fait d'oscillations en vingt-quatre heures moyennes. La lentille est vernie en noir, et porte au centre une mouche blanche en papier.
Les deux appareils sont disposés l'un en avant de l'autre, de manière que, quand les deux pendules se trouveront ensemble dans la verticale, la mouche soit cachée par un index que porte le pendule d'épreuve. On dispose à quelques mètres en avant une lunette qui permet à l'obsenateur de reconnaître cette coïncidence.
On met le pendule d'épreuve en mouvement dans le môme sens <pe celui de l'horloge, et Ton se rend attentif à l'instant où, retombant ensemble dans la verticale, la coïncidence a lieu. On note l'heure, la minute et la seconde que marque alors l'horloge. Gomme les pendules marchent presque ensemble, ils ne paraissent se s^rer qu'après quelques secondes : on ppend pour le moment de la coïncidence la moyenne entre les instants où on la voit commencer et finir.
L'un des deux pendules devance l'autre de plus en plus, et bientôt atteint sa limite d'excursion d'un côté, quand le deuxième mobilcatteint la sienne du côté opposé ; ils marchent ensuite en sens contraire et, quand ils retombent ensemble dans la verticale, l'un des pendules a fait nne oscillation de plus que l'autre. On ne tient pas compte de cette observation, qui serait trop difficile à faire avec précision, à cause des vitesses en sens contraires. En laissant continuer l'expérience, il arrive un moment où une nouvelle coïncidence se produit, les pendules allant dans le rnôo^ sens. On note l'heure, comme la première fois; alors l'un des pendules a gagné deux oscillations sur l'autre
PBNI>ULB« a57
Ainsi i*horioge a fait n oscillations, et le pendule d'épreuve /i db a dans le môme temps; on fera donc cette proportion :
Si n oscillations répondent û ( /? db a), 86400 répondent à — .
Telle est la quantité N d'oscillations du pendule d'épreuve, pendant que Tborloge marque a4 heures (en supposant qu'elle marche comme le temps moyen ), et si Fhorloge avance de 1 secondes en vingt-quatre heures,
est le nombre d'oscillations du pendule d'épreuve en un jour de temps moyen. On fait / négatif dans le cas d'un retard.
Supposons que la coïncidence ait lieu à i"" 17* et à 9"'4o^ ; il y a 5o3 secondes écoulées : pendant ce temps le pendule d'épreuve fait Soi excursions, et si l'horloge retarde de 4*, 5 en vingt-quatre heures, on trouve que ce pendule, dans cette durée, fait 86051,98 oscillations.
L'expérience doit être continuée en notant les heures précises des coïncidences, et l'on en conclut d'autres résultats peu différents du précédent. Après avoir fait les corrections dont on va parler pour Tamplitude des arcs, la réduction au vide, etc., on prend une moyenne, et l'on obtient enfin le nombre d'oscillations du pendule simple dans le vide, en un jour moyen.
n ne &ut pas que la marche du pendule d'épreuve soit beaucoup plus lente ou plus rapide que celle de l'horloge; on évalue à 35o secondes la plus grande durée entre les coïncidences. Comme les résistances diminuent beaucoup les arcs d'oscillation, on ne laisse durer Texpérience que trentequatre à quarante minutes sans l'interrompre (5 coïncidences). On a vu des pendules osciller encore après trente heures d'observation, sans aucune force réparatrice des pertes, quoique l'excursion ne fût pas de plus de a degrés dans l'origine. Mais il est tout à fait inutile de pousser trèsloin l'expérience; l'excursion devient petite et lente, et il est difficile de saisir la coïncidence.
288. Voyons à réduire les oscillations à èlre infiniment petites. Soit «p
[fig. 91) le demi-arc décrit par le pendule dans son excursion; 6 = ÂD;
on a
0D = /• — ^ = rcosy,
F. — Géodésie, 17
a58 GKOMORPHIB.
d*où
6= r(i — cosf) = arsin* - f.
Ainsi l'équation (i) devient
Désignons par 9 le temps que le même pendule emploie à faire une oscillation infiniment petite, 0 == tt i /-; on en conclut quo
L'observation fait connaître / et 7 ; on a donc 9.
Ou plutôt, n étant le nombre d'oscillations finies faites par le pendule, dans l'arc 27, et n' étant le nombre d'oscillations infiniment petites pendant le môme temps, comme f est un petit arc, on a
et
(10) //'= /îf i-H-xSin*<pj.
Ainsi, après avoir mesuré l'arc d'excursion af d'un pendule, et compta le nombre d'oscillations accomplies dans un temps quelconque et, par suite, celui /i qu'il fait dans la durée des vingt-quatre heures, cette formule servira à calculer/i', c'est-à-dire combien le pendule en exécute d'infiniment petites dans le môme temps. On voit qu'il ne s'agit que d'ajouter à /i la
quantité -^/îsin*f.
Chaque période de coïncidence ne durant guère plus de dix minutes, l'excursion totale a<p se conserve entière; mais, si l'on remarquait quelle fût af en commençant et a 7' à la fin, et que ces deux arcs fussent peu différents, on supposerait l'excursion constante, et l'on prendrait -(? + ?') au lieu de f .
Si l'expérience a quelque durée, les résistances diminuent continuelle-
