PENDULE

ment les excursions du pendule, et même on reconnaît qu*elles décroissent en progression géométrique : elles sont donc successivement

- étant la raison de cette progression. La formule que Borda a donnée

pour calculer les effets de ce décroissement a été démontrée par M. Mathieu ( Connmssance des Temps , 1826).

La durée de chaque oscillation étant un peu plus longue que si Tare était infiniment petit, le nombre total, après un temps donné, serait n

dans ce premier cas, et dans le deuxième il serait accru de -^ /7f *, en

remplaçant le sinus par l'arc et supposant f constant. Appliquons cette correction aux oscillations i", 2*, 3*, /t*^^, successivement : la correction totale sera

^~ l6\^ q'^ q^ '^ q'^^)" 16 (qt ^ i) qV^t

L'observation donne les excursions terminales «p et f'; ^ est inconnu, et il fiiot l'éliminer à l'aide de

le carré

donne d'abord

Or (n* 32) lo» = i -h Az -h -X«z» -h Si a est le logarithme de 7*,

2 = 2log9, ^^ qu'on se borne aux premières puissances de z, attendu que deux excursions successives du pendule sont presque égales, et 7 très-voisin de i, d'où log q est très-petit, on a

lo* » 7* = I -h 2^ logy,

(i-4-2^1og7)y«-y^«^M(y«-y^«) y»

3aAlog7 Salog^ 16'

!fe6o GéOUORPRIK.

M étant le module qui = ^ (ii*' 32). Comme on a d'ailleurs (/i— i)log7«Iogf — logf,

on trouve

Saiogy — iogsiny' 16*

Or -g r' ^t Ia correction de la première oscillation; donc le premier

terme est celle des /i — i suivantes : changeons-y /i — i en /t, et ce terme comprendra toutes les corrections. Déplus, pour la commodité des calculs. nous remettrons les sinus pour les arcs, et nous aurons enfin

g^M« sin(y-4-(p')sin(y--f)^ 32 log sin y — log sin y'

Telle est la correction d'amplitude, ou la petite quantité qu'il faut ajouter au nombre n d'oscillations dans des arcs finis décroissant de y à f, pour avoir le nombre d'oscillations infiniment petites correspondantes. Par exemple, si Ton a compté 90 16, 695 oscillations, et si les arcs ont été

y==3» 7'i9' y -t- y' =3*" 5/31» sin 2,83907

y'=o.5o.ia y — (^' = 2.17. 7 sin 2,60070

sinf.. 2,73609 —M 2,i3263

sin <p' — 2,16441 9016,7.... 3,95506

dén. =0,57168 log = 1,75715 num î, 52746

dénom Îï757i5

Ainsi la correction est 0,589, ^^ ^^ nombre des oscillations dans des arcs infiniment petits est 9017,284 .

289. L'équation (3) donne le temps T qu'un pendule simple met i faire N oscillations ; mais, si ce corps est ramené à la température zéro, au lieu d'avoir r, il a /^ pour longueur et fait alors N' oscillations dans le même t<^mpsT. Ainsi