PENDULE. 2G
Soit ce la dilatation linéaire du pendule pour i degré C. (n"* 130), ia (ongueur r' deviendra r^oii pour / degrés, et l'on aura
r s= r' -4- r'a /, d'où N' = /i "+-«'•
£n développant et se bornant au premier ordre, attendu que a est tr^ petit, on trouve, pour la correction qui ramène N à des oscillations âous une température plus basse de / degrés.
N' = N(.-Hiar).
290. La théorie démontre que la résistance de l'air retarde la descente du pendule, ce qui accroît la durée de ia demi-oscilIation. Mais la même cause s'oppose aussi à l'ascension, dont elle diminue la durée d'une égale quantité. Ainsi l'oscillation s'accomplit dans le môme temps que si elle se fiBûsaitdans le vide; seulement l'étendue des excursions décroît sans cesse, ^ts, d'un autre côté, le poids du mobile est diminué dans l'air, du poids d'un volume d'air égal au sien. Il faut donc corriger la valeur de g qui entre dans nos formules.
Soient ^ la pesanteur dans le milieu où Ton se trouve et p* le poids du pendule dans ce milieu ; g la pesanteur et p le poids du mobile dans le y\éQ\ enfin m la masse de ce corps : on a
P'^K'f^y P^g'ny P'g-^pg\ ^' = y-
Telle est la valeur qu'il faut prendre pour g dans nos équations. Ces formules donnent, pour la longueur r du pendule à secondes en fonction do la durée ou du nombre de ses oscillations infiniment petites, des expressions de la forme r = gK, qui deviennent ainsi
f étant la longueur du pendule r' réduite au vide.
291. Soient p le volume du pendule, ^ et â* les poids spécifiques de l'air aux températures C. zéro et x^ sous les pressions o*,76 et h. Les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, relatives aux densités des gaz, appren-
aGa GBOMOBPHIB.
nent que, sous la pression h mètres de la colonne de mercure et sous la température x, la densité de Tair qui était ^ à zéro et à o", 76 devient
o,7Cli-+-///x)'
en faisant m = 0,00875. Ainsi le volume d'air v pèse ^V dans les circonstances données, et le poids/:»' du pendule dans Tair devient, dans le
vido,
/>=/;' -h ^V, d'où f/ ssp — 9'v;
donc
7 Jj '■""?"' d'où
Mais ^ étant la densité de l'air à zéro et o^^yd, et 9 son volume ou celui du pendule, 9v est le poids de Tair déplacé; p est celui du pendule; soit donc n le poids spécifique de la matière dont ce corps est composé, en prenant 1 pour celui de l'air, on a
9v poids de l'air déplacé __ i poids spécifique de Pair p poids du pendule ~ n poids spécifique du pendule^
car les volumes sont égaux ; donc, mettant dans Téqualion r = /h- -— à la place de â* et — leurs valeurs, on a
(II) r=r^-+^
o,7(>7r(i -hmar)
Telle est la formule qui indique de combien il faut augmenter la longueur d'un pendule r^ oscillant dans Tair, pour le changer en celle d'un pendule oscillant dans le vide.
292. On préfère souvent, pour combiner plus facilement les résultats, calculer le changement que produit, dans le nombre des oscillations du pendule, la diminution de poids causée par la présence de Fair. Voici comment on s'y prend.
Le pendule va plus vite dans le vide que dans l'air, et dans un temps /
PENDULE. a63
il foit plus d'oscillations, puisqu'il pèse plus. Soient n le nombre d'oscillations dans Tair et // dans le vide, pendant la durée t^geig' les intensités correspondantes de la pesanteur ; les temps d'une demi-oscillation
infiniment petite sont respectivement n à/- et n i/— ,; ainsi l'on a, dans le même temps /,
d'où
Si t^oèi le volume du pendule, D sa densité, 9 celle de l'air, dans les circonstances où Ton opère, les forces g' et g étant entre elles comme les poids du pendule dans le vide et dans l'air, on a
cD
g l'iU-dj D — ^
En substituant ci-dessus, il vient
en se bornant au premier ordre, qui suffit ici, parce que 3 est Irès-pelii par rapport à D; donc la réduction au vide est
C'est la quantité qu'il faut ajouter au nombre n d'oscillations dans l'air pour avoir celui /l' des oscillations dans le vide pendant le môme temps. Désignons, comme ci-devant, par h la hauteur du baromètre réduite à la température zéro, par x la température centigrade de l'air lors de l'expérience; la densité de l'air sera donnée par la valeur ci-dessus, i étant sa densité à zéro et o",76. Ainsi la réduction au vide est
2 D — d o"',76(i-h//ix)
Comme 9 = — de la densité de Teau dans les mômes conditions, en éva*'
a64 GÉOUORPUIE.
luant D par comparaison avec ce liquide, multipliant haut et baiB par 770, la réduction au vide est donc
^'^^ i" V7:oO-i) o'",76(i-
-mx)
On calculera donc cette expression en prenant pour D la densité du pendule comparée à celle de l'eau à zéro ; on ajoutera à /t le nombre donné par cette formule, et Ton aura le nombre n' d'oscillations qui seraient faites dans le vide, par le môme pendule, dans la môme durée que n.
Par exemple, un pendule en cuivre, dont la densité est D » 8,287, fait 90173,6 oscillations infiniment petites dans l'air à i2'',66 « x, d'où
Le baromètre est à o"*, 75 146, d'où
numér 4,83o9853 2 o,3oio3oo
dénom — 4,oo68i83 i,o475 0,0201 54o
0,8241670 dénom 4,oo68i83
Réduction 67671 ;
ajoutant à /i, on a
C'est le nombre d'oscillations dans le vide faites en vingt-quatre heures moyennes.
Nous ne devons pas dissimuler que cette théorie conduit à des résultats qu'on ne trouve pas conformes aux faits observés. M. Bessel a le premier signalé ce désaccord, et même il en a expliqué la cause. Le pendule contracte une adhérence avec l'air qui touche sa surface, et une couche de cet air est entraînée par ce corps dans ses oscillations ; la masse du pendule et son moment d'inertie en sont changés, et la formule (12) manque d'exactitude. Ce savant trouve môme que la couche d'air adhérent varie avec la figure et la substance du pendule, et qu'on ne peut nullement en calculer Tinfluence. Pour réduire les oscillations n^
vide, il propose de remplacer la correction (12) par la formule j' ^
étant une quantité variable avec les pendules, et dont on devra déter-
PENDULE. aC5
miner la valeur pour chaque corps oscillant. A cet effet, on fera mouvoir le pendule dans Tair, puis dans le vide, et, comptant les oscillations dans les deux cas, on déterminera combien il y en a de plus en vingt-quatre heures dans Fun des cas que dans l'autre : ce sera la correction dont on a donné ci-dessus l'expression algébrique, et, comme les conditions de Texpérience ont fait connaître h et x, on en tirera la valeur de C ; ce sera celle qu'on devra attribuer à ce coefficient dans toutes les expériences qu'on fera avec le môme pendule, lorsqu'on voudra les réduire au vide. M. Bessel a reconnu que le facteur G peut donner une correction double de celle qu'indique l'expression (12) {voir un Mémoire de M. Baily, Trans. Philos,, i83a.)
293, Il suit de cet exposé que voici la succession d'expériences et de corrections qu'exige ia détermination qui nous occupe.
On fait osciller librement un pendule dans une cage de verre, où l'on mesure la température et la pression barométrique. Si ces données varient dans la courte durée de l'observation, on les suppose constantes, en prenant la valeur moyenne. On en fait autant de l'arc d'excursion du pendule. En comparant le mobile à une horloge dont la marche sur le temps moyen est bien régulière et bien connue, on juge, par Tintervalie entre les coïncidences des deux pendules, du nombre n d'oscillations effectuées en vingt-quatre heures moyennes par le pendule d'épreuve; et il s'agit de réduire ce nombre, à la température zéro, à des vibrations infiniment petites et au vide. Les équations précédentes indiquent les corrections que doit éprouver n pour ramener ce nombre à cet état hypothétique. On connaît ainsi quel est le nombre d'oscillations que ferait le pendule en vingt-quatre heures moyennes dans le vide, si ses excursions étaient infiniment petites : il ne reste plus qu'à trouver la distance entre les centres de suspension et d'oscillation pour avoir les éléments du problème relatif à la figure de la Terre.
294. n y a encore une considération qu'il ne faut pas négliger. Comme la pesanteur décroît à mesure qu'on s'élève au-dessus du sol, c'est toujours au niveau des mers que les expériences doivent être faites ou réduites. Cette réduction se fait par le calcul suivant.
Soient ^ et ^ la pesanteur au niveau des mers, et à une élévation h audessus de ce niveau : comme la pesanteur varie en raison inverse des
a66 GÉoaORPRiE.
carrés des distances au centre de la Terre, on a la proportion (où R est le rayon du sphéroïde)
Ainsi
«'=ff('+gr=ff('-T)'
et, comme
on a
en négligeant le deuxième ordre de A, qui est toujours excessivemcDl petit par rapport à R. Réciproquement,
donne la pesanteur g au niveau des mers, quand on la connaît sur une sommité. Ainsi les durées d'une oscillation infiniment petite sont
ir w- au niveau de la mer, et tt i/ -^ à la station. Les nombres correspondants N et N' d'oscillations dans le temps / sont donc
N7* (i4) Réduction au niveau de la mer -^ •
C'est ce qu'il faut ajouter au nombre N' d'oscillations observées sur uup hauteur pour trouver combien le même pendule en accomplirait au niveau des mers dans les mômes circonstances.
Et, si le pendule r est synchrone avec le pendule / au niveau des mers, comme les gravités en ces deux stations sont g et g\ on a
ainsi
PRNBVLB. a67
Donc, pour réduire la longueur r' d'un pendule à ce qu'elle devrait ô:ro
pour foire des oscillations de môme durée au bord de la mer, il faut
a A/ rallonger de —5- : réciproquement, on voit qu'en s'élevant du rivage il
fout diminuer la longueur du pendule r (si Ton veut qu'il reste synchrone) de-rr-* i\
205. Le D' Toung, dans les Transactions philosophiques de 1819, considérant l'attraction des couches terrestres sur le pendule, introduit dans la formule (14) un facteur qu'il estime de o,5o à 0,75. M. Baily le fait de 0,666. Ce sujet mérite d'être examiné avec plus d'attention. II existe encore une cause d'incertitude sur l'influence des couteaux de suspension. Les petites corrections qu'appellent ces circonstances sont encore dans le vague.
H nous reste à dire comment on trouve la longueur r d'un pendule mis en expérience. Sans doute, lorsque la forme en est géométrique, on peut facilement recourir aux formules de la Mécanique, pour assigner la position du centre d'oscillation. Ainsi la distance entre ce centre et la suspension est un simple résultat de calcul.
Mais, comme les pendules sont souvent d'une forme très-composée, que d «Heurs les métaux dont on les fait sont rarement homogènes, on ne peut guère se fier à ce procédé pour déterminer une distance que la plus petite cause d'erreur peut altérer au point de jeter du doute sur les résultats. Ainsi on a dû renoncer le plus souvent à ce procédé.
296. Pendule de Borda. — Cet appareil consiste en une sphère de platine pesant environ S'^^a, suspendue à un fil de métal très-délié d'à peu près 4 mètres de long, et battant presque la double seconde. La densité du platine étant très-grande, les pertes dues à la résistance de l'air sont faibles, et le mouvement oscillatoire se conserve très-longtemps. La correction due au poids du fil, sur le lieu du centre d'oscillation, est à peine sensible. Une calotte mince en métal, de môme rayon que la sphère, adhère à la surface de celle-ci, par simple juxtaposition, à l'aide d'âne légère couche grasse qu'on interpose. Le fil tient au sommet de la calotte par une vis de pression. Comme on peut changer la calotte de place sur la boule, par la réitération des expériences, on se rend indé-
368 GKOUOBPRIE.
pendant du défaut d'homogénéité du métal. On prend le fil très-fin pour diminuer la résistance de l*air, et l'on n'y emploie pas le fer, pour éviter les attractions magnétiques. On pèse une grande longueur de ce fil, et Ton en conclut le poids et le diamètre de la partie qu'on a mise en expérience.
La suspension se fait par un prisme triangulaire en acier, dont la tranche, ou couteau, pose sur un plan d'agate, qu'on a rendu très-solide et qu'on a mis exactement horizontal à l'aide d'un niveau à bulle d'air. Le support est fortement scellé dans la muraille. On donne à ce prisme d'acier la forme qui rapproche le plus possible son centre de gravité de l'arôte servant de couteau, et l'on fait en sorte que son centre d'oscillation soit tellement disposé, que la durée de ses excursions soit à peu près la même que celle du pendule même, afin que les mouvements de celui-ci n'en soient pas influencés.
Un arc gradué, qu'on fixe vers le bas du fil et dont le centre est sur le couteau, sert à mesurer l'arc 2f d'excursion.
Lorsqu'on a compté le nombre d'oscillations accomplies dans la durée des deux coïncidences, pour en déduire ce nombre en vingt-quatre heures moyennes, on fait les réductions dont nous avons parlé, pour obtenir le nombre d'oscillations infiniment petites dans le vide, pendant le même temps. Il reste à mesurer la longueur du pendule.
297. L'appareil est pourvu d'un plan d'acier horizontal, qui est mobile de bas en haut par degrés insensibles, à l'aide d'une vis de rappel. Oo met le pendule en repos, on élève ce plan jusqu'à ce qu'il touche la boule sans la soulever; puis, avec le comparateur, on évalue avec une extrême précision la distance D de ce plan au couteau de suspension. Si celte mesure est prise à une température différente de celle de l'expérience, on la réduit à celle-ci ; comme aussi l'étalon du comparateur, qui a dû jui-môme être divisé à une autre température (ordinairement à zéro). Ce calcul se fait par la théorie du n® 130.
Si de D on retranche le rayon f> de la sphère, D — p est la distance de son centre au plan de suspension. Le centre d'oscillation de cette sphère
est, comme on sait, au-dessous de ce point de la quantité ttkziT\ Ainsi, en ne considérant que la boule, le centre d'oscillation a pour dis-
PENDUI.B a69
lance au couteau / = D — p -»- tttt- — 5 rosi's 'e poids du Gl et celui de
^ 5(D — pj'
la calotte ne doivent pas être négligés, ce qui apporte une petite correc* lion à cette longueur du pendule simple synchrone. Le centre de gravité de la calotte, étant fort près de sa surface, se confond sensiblement avec son centre d'oscillation. Ce centre est pour le fil, qui est un cylindre, ou plutôt une ligne droite pesante de longueur \\ son momrat d'inertie
par rapport au milieu, qui en est le centre de gravité, est — >*, et la distance de son centre d'oscillation à Taxe est /= - X h a .
