VI

Or on sait que, si trois poids P, P', P*, liés ensemble, oscillent autour d'un axe horizontal, leurs centres de gravité respectifs étant aux distances respectives h, h\ h' de cet axe, et leurs centres d'oscillation aux distances /, f^ r la distance du centre d'oscillation du système au môme axe est

fa; , y h'

^'~ P/i-+.P'/i'H-P^A' " WV Wh'

Ce deuxième terme est la petite correction que doit subir la longueur / propre au centre d'oscillation de la sphère, pour avoir égard à la calotte et an fil de suspension. On fait

2d8. Pendule invariable. — Les petites incertitudes et les soins multipliés qui doivent accompagner les mesures et les calculs ont fait préférer au pendule de Borda un corps fondu d'un seul jet sous une forme trèssimple, tel qu'une règle quadrangulaire et mince, à l'un des bouts de laquelle on fixe le couteau de suspension. Ce corps, d'un usage et d'un transport faciles, offre beaucoup de facilité aux observations et aux calculs. Mais M. de Prony Fa perfectionné en lui donnant deux axes de suspension réciproques l'un de l'autre [fig. 96).

On connaît cette propriété du pendule composé, que les centres d'oscillation et de suspension sont réciproques, c'est-à-dire que, si l'on fixe des GOQteaux à ces deux points, la durée des oscillations sera la même exactement, que Ton prenne l'un ou l'autre pour axe de rotation. Cela a lieu

a70 GBOMORPHIE

quelles que soient la figure et les substances qui composent le pendule. C'est \ependuie invariable réciproque qui a servi à faire les belles observations les plus récentes.

Ainsi Ton fait fondre d*un seul jet, on écrouit et Ton répare une règle de cuivre, et Ton y fixe, vers l'un des bouts, un couteau en acier. Pals au centre d'oscillation, on en adapte un semblable; un petit mouvement ménagé à ce dernier couteau permet de lui assigner, par des expériences, la place nécessaire pour la réciprocité de ces deux axes de suspension. On conçoit que rien n*est plus aisé que de mesurer exactement rintervalle des couteaux, qui est la distance des centres de suspension et d'oscillation.

299. Maintenant que nous savons trouver la longueur du pendule simpl0 à secondes, dans le vide, à oscillations infiniment petites, en un lieu quelconque, et réduit au niveau des mers, appliquons les nombreuses expériences qu'on a faites à la recherche des constantes des équations (7) et (8) et de l'aplatissement de la Terre. Les plus exactes de ces expériences sont rapportées dans la Table VI, à la fin de l'Ouvrage, extraite d'un travail étendu que M. Saigey a inséré dans le Bulletin mathématique de M. de Férussac, t. YII, p. 32.

La première page contient les lieux d'observation, leur altitude ou l'élévation au-dessus de la mer, la latitude, la longitude, enfin les noms des observateurs; la deuxième page donne les longueurs du pendule simple à secondes réduit au vide et à des oscillations infiniment petites; la colonne suivante la réduction au niveau des mers ; puis celle qui vient après, le résultat du calcul donné par la formule générale que nous allons exposer.

Enfin la dernière colonne M indique le nombre de secondes de temps moyen dont le pendule observé avance ou retarde en vingt-quatre heures moyennes sur le pendule calculé.

Quant à la réduction au niveau des mers, elle n'a point été faite par les formules qui ont été données ci-devant, mais par celles du capitaine Kater (Transactions philosopfdques, 1819). Ce savant veut qu'on tienne compte de l'attraction de la couche terrestre comprise entre la station et le niveau de la mer, ce qui le conduit à cette formule de réduciion

a^(n-6sin«/).

FSNDVLE. 271

k est l'altitude, r le pendule, / la latitude du lieu, a et 6 des coefficienu constants :

loga = 7»497»679» logé = 3,49^3oî8.

Les résultats numériques obtenus par les savants anglais ont été ramenés aux mesures françaises en prenant le mètre » 89,37079 pouces anglais ( Transactions p/iilosophiques, 1818) et la longitude de Greenwich a*ao'24' à Touest du méridien de Paris.

300. M. Saigey a traité tous les nombres précédents par la méthode des moindres carrés, et est arrivé aux conséquences suivantes :

La longueur r du pendule simple à secondes sexagésimales de temps moyen dans le vide, par oscillations infiniment petites^ réduit au niçeau delà mer, et la pesanteur g ^ en un lieu quelconque dont la latitude estl, sont données par les équations suivantes :

En mètres!*).

En pieds.

Donc:

r = A -^ B sin« /, g' = C -+- D sin« /.

A= o",99io2557, logB = 3, 7051590,

C=- 9",78i027, IogD= 2,6994687,

A= 3P*,o5o8i7, logB = 2, 1935003,

C = 3o»", iio35, logD = Y, 1878000.

Pendule à Téquateur o"*,99i02557 = A

Pendule au pôle o", 99609745 == A -h B

Gravité, ou force d'attraction au pôle 9"*, 83 10844 = C + D

Pesanteur à Féquateur 9"',78io27 = C

et puisque

Force centrifuge à réquateur= 0,0389097,

en admettant, avec Delambre, que le rayon équatorial «=6376984"', et que le jour sidéral soit composé de 86161 secondes de temps moyen; on a

Gravité ou force d'attraction à Téquateur» 9,814936.

(') Od tronTe dans le Philosophieal Magasine, décembre i839, p. ia3, sept À neuf expériences du capitaine Leutke, qui conduisent à un résultat un peu durèrent de eelui-ei.

372 CéOllORPHIR.

Rapport de la force centrifuge sous Péquateur, i la force d'attraction

a89,44 D'après le théorème de Clairaut [équation (9), n"" 284|

p 2 9,78io5g 0,99102557

Telle est donc la valeur de T aplatissement donnée par les nombreuses expériences du pendule. Alors en prenant

Rayon équatorial 6376984* = i432 lieues,

Le rayon polaire est 6354349" =s 1427 lieues,

ce qui donne l'aplatissement de 22635"' = 5 lieues.

301. Pour trouver la longueur du pendule en un lieu désigné, on emploiera la formule ci-dessus, qui repose sur les observations les plus certaines ; et, bien que l'aplatissement soit un peu trop fort pour l'usage de la Géodésie, qui doit préférer p » 809, 65, ou de l'Astronomie, où p est égal à 3o5, cependant on devra prendre p = 282, quand il s'agira du pendule. Mais, après avoir appliqué ces équations, on n'aura pas encore la longueur demandée, et il faudra faire les corrections inverses dues à l'altitude du sol, et à ce que les oscillations ne sont ni infiniment petites, ni dacs le \ide.

302. On peut remplacer dans nos équations sin*/ par - (i — cosaOi et Ton a

r=o",99356i5i Bcos2/,

g = 9", 806055 — - D COS2/.

303. Plusieurs savants ont cherché par expérience la longueur dn

pendule à Paris, ils ont trouvé :

0,994 par Picard,

Godin,

Bouguer,

Mairan,

Borda,

Richer et Huyghens,

Sabine et Whiterusl,

Biot et Mathieu,

Kater et Sabine,

Bessel et MCkfiling.

304. On avait présumé que les deux hémisphères boréal et austral ne sont pas symétriques. On a donc calculé à part Taplatissement qui résulte des observations du pendule dans les régions australes, et Ton a trouvé P = 3ii ,€, valeur aussi voisine que Ton peut espéror de p = 3o5. Il n'y a donc pas lieu d'admettre un aplatissement différent pour les deux pôles; et » Ton considère que les observations du pendule se reportent fortement sur la valeur de p et que les attractions locales doivent exercer une grande influence, on est fondé à conserver Taplatissement ^ que donne la théorie de la Lune et que confirment souvent les opérations géodésiqiies.

305. Si un pendule de longueur R fait (N + /?) oscillations, réduites au vide et à Tinfiniment petit, et qu'on veuille que, dans le même temps, il n'en accomplisse que N, il faut porter sa longueur à r, en se conformant à l'équation (4) qui devient

/•N«=N(N-+-«)S d'où

Telle est la correction qu'on doit faire subir à un pendule pour lui foire battre la seconde de temps moyen, lorsqu'il avance sur ce temps et qu'il l'indique à peu près. Par exemple, on trouve qu'il faut allonger le pendule de 0*^,0)3 pour chaque seconde d'avance diurne. On néglige

V,-^ Géodésie. 18

174 GEOMORPHIE.

toujours les n*, qui sont insensibles. Dans le cas d*un retard, il faut au contraire raccourcir d'autant le pendule.

M. Poisson a examiné, par l'analyse, Tinfluence de la résistance de Tair et de Textensibilité infiniment petite du fil de suspension ; et comme il a trouvé que l'effet en était insensible, nous ne nous en sommes pas occupé. Il en faut dire autant d'un mouvement de rotation que la boule peut prendre sur le fil de suspension.

306. Dubuat, par une série de belles expériences, et depuis lui, dans les derniers temps, M. Bessel, ont prouvé que la perte de poids que la présence de l'air faisait éprouver au pendule était soumise à une correction trop faible, en se servant de l'équation (12). M. Bessel a reconnu qu'une couche notable d'air reste adhérente au mobile, accroît le volume. diminue la densité moyenne et augmente le moment d'inertie, en sorte qu'il faudrait, selon ce savant, multiplier le deuxième membre de l'équation (12) par un coefficient qu'il évalue, par sa théorie et ses expériences, à 1 ,946 et à 1 ,625 ( Académie de Berlin, 1826).

Dans les Transactions phiiosophigues de i83a, M. Baily fait l'examen d'une multitude d'expériences qu'il a suivies dans le vide et dans l'air, sur environ 80 pendules, déformes et de natures différentes; et il prouve que le vêtement d'air que le pendule entraîne dans sa marche dépend non pas de la substance et de la densité du mobile, mais de sa forme ',

d'où résulte que le facteur - n ( ïTII" ) ^® ^* formule (12) varie,

avec les pendules mis en expérience, de 1 ^5 à 2 ,8, selon les cas. Les corrections s'élèvent jusqu'à 62 secondes en un jour. Ainsi, pour obéir aux conditions du problème, lorsqu'on veut réduire un pendule au vide, il faut, ou soumettre le pendule d'expérience aux épreuves propres à en déduire le coefficient qui convient à ce mobile en particulier, en le faisant osciller dans l'air et dans le vide, ou du moins chercher parmi les pendules que M. Baily a mis en expérience celui qui est analogue au pendule proposé, et employer le facteur que ce savant a obtenu par ses expériences.

307. Les Anglais, pour fixer les bases de leur système méirique, ont voulu les tirer de la nature, et ont pris pour terme de comparaison la