CARTES GÉOGRAPHIQUES

309. La surface terrestre n'étant pas dévehpf table , on ne peut représenter sur un plan la disposition des lieux qu'en altérant plus ou moin:; leurs distances, l'étendue des surfeces, les valeurs angulaires des lignes. )a figure des rivages, les crêtes des montagnes, les sinuosités des routes, etc. Tantôt on en fait la perspective, c'est-à-dire qu'on imagine l'œil d'un spectateur placé en un lieu arbitraire, mais déterminé, duquel il envoie des rayons à tous les points qu'on veut figurer : une glace interposée entre l'œil et les objets coupe ces droites en des points qu'on suppose conserver l'empreinte des lieux; cette glace offre leur image, telle que les voit le spectateur dont il s'agit. Tantôt on choisit sur un plan un système arbitraire de lignes droites ou courbes pour représenter les méridiens et les parallèles, et Ton place chaque localité sur ce réseau, au point qui a la longitude et la latitude convenables : c'est ce qu'on appelle une projection. Les cartes des royaumes sont construites de la sorte; les mappemondes sont des perspectives.

310. Lorsqu'on veut tracer une carte par projection, l'art consiste à choisir pour méridiens et parallèles des lignes faciles à tracer, et dont l'ensemble altère peu les distances des lieux et les surfaces. Il y a mille manières de varier le système de projection ; nous nous bornerons à décrire ici celles qui sont en usage, les seules qu'il soit nécessaire de connaître, renvoyant, pour le surplus, au Traité de Toj)ograpMe de M. Puissant, p. 6i et 99, et à V Introduction de M. Lacroix à la Géographie de Pinkerton. De plus, l'aplatissement terrestre est trop faible pour être pris ici en considération, en sorte que la Terre sera censée sphérique.

311. La mappemonde est la perspective d'un hémisphère terrestre sur tn plan passant par le centre, l'œil du spectateur étant situé au point de

la surface où elle est rencontrée par le rayon perpendiculaire au plan central. Celle perspective est appelée projection stéréogrnphique.

Ainsi l'on suppose Tœil du spectateur placé en un plan quelconque do la surface, et qui en voit toutes les parties à travers la masse, comme si elle était transparente. Le plan de perspective passe par le centre de la sphère et est perpendiculaire au rayon qui va à l'œil. C'est l'hémisphère opposé à ce plan qu'on représente. On imagine des lignes dirigées de l'œil aux différents points remarquables de cet hémisphère, et que ces droites laissent leurs empreintes sur le plan central. L'ensemble de tous ces points sera la projection stéréographique ou la mappemonde.

Ainsi, dans la/g-, 97, le demi-cercle AOB est horizontal, et AQB relevé verticalement au-dessus de AB. L'œil est en 0; CO étant perpendiculaire sur AB se rabat au centre C. Le demi-cercle AQB tournant autour de AB se rend sur l'horizon, et complète le cercle AOB; et de même AOB tournant autour de AB va continuer, sur le plan vertical, le demi-cercle AQB. Un point P'de l'horizon a sa projection en/^' sur la direction du diamètre AB. Le point P a de même la sienne en/?; en sorte que, si PP' est l'axe terrestre, P et P' les pôles, situés sur le cercle horizontal, p et/?' en seront les projections.

312. Avant tout, il faut démontrer ce théorème fondamental : Quelles que soient les positions d un cercle tracé sur la sphère et de F œil situé en un point de la surface, la perspective sera toujours un cercle sur le plan perpendiculaire au rayon mené par Pœil.

En effet, si le plan du cercle NN' {Jîg, 97) est perpendiculaire au plan horizontal AOB, contenant l'œil 0, les rayons visuels menés à cette courbe formeront un cône oblique NON' à base circulaire, dont l'axe Oc aboutit au centre c de ce cercle. Le plan vertical AB coupe ce cône selon une courbe /7/1', qui est la perspective demandée, et qu'il s'agit de prouver être un cercle. Or, si Ton fait tourner les lignes NO, N'O autour de i'axe Oc, elles reproduiront ce cône NON', passant successivement par tous les points du cercle NN' et de sa perspective nn'. Une demi-révolution amène le point n en m et n* en m'; en sorte que la droite nrf prend la position mm\ qui est Taxe de la section transposée. Mais l'angle N =s n\

puisque l'un a pour mesure i AN'n- - AO, et l'autre - AN' -^ i OB, va-

278 GÉOMORPHIE.

leurs égales : ainsi l'angle N'NO =a mm'0\ mm' est parallèle à NN' el le cône est coupé par un plan parallèle à sa base; la section mm' et par conséquent aussi /in' sont donc un cercle (^).

313. La môme chose arrive quand le plan du cercle NN' a une direction quelconque par rapport au plan horizontal AOB {Jîg, 98). En effet, menons au centre c du cercle NN' la droite Ce; cette droite sera perpendiculaire à son plan et en mesurera la distance au centre G de la sphère. Le plan COr, mené par Taxe Oc du cône et la droite Ce, est perpendiculaire au plan NN', puisqu'il passe par Ce; il coupe la sphère suivant Tare QL et le plan de perspective selon CL ; cette perspective est la courbe n/i'. On voit que le cercle NN' et sa perspective nn' sont, à l'égard du plan OCc, précisément dans les conditions de la/"^. 97. Il suffira de faire tourner le plan LCNO autour de QO et de le rabattre sur QBA pour ramener tout au môme état que ci-devant.

314. Exprimons analytiquement les relations du cercle NN' (Jig. 97) et sa perspective /i//. Soient l'arc PN = A, distance de ce cercle à son pôle P, et Tare PQ = D, distance de ce cercle au point Q diamétralement opposé à l'œil ; la perspective sera le cercle /m', dont le centre est en /', le rayon ni = p, la distance Ci = a des deux centres C et /. La construction qui donne ces éléments est fort simple : on mène les droites ON, ON', qui coupent AB en n et n' et donnent le diamètre W, dont le milieu 1 est le centre du cercle de projection.

Cherchons les valeurs des quantités a et p ; car cette construction cesse d'être possible quand le cercle NN' est situé de manière à donner des lignes ON, ON', si divergentes, que les points n et n' sortent des limites de la feuille. Or on a

N'Q«N'P-+-l^ = D-»-A, NQ = D-A, le rayon CO étant égal à 1 ; C/?, C/i' sont les tangentes des angles COn,

(*) Lorsqu'un cône oblique NON', à base circulaire NN', est coupé par un plan mt'f tel que l'angle N'=/t, la section appelée antiparallhie on sous-coH" traire est un cercle {iwir mon Cours de Mathématiques pures, n* 640).

€0/2', mesures par les moitiés des arcs NQ, N'Q ; d'où

(i) C/i'=langi(D-+-A) = 6', C/f = tangi(D-A) = €,

or

sin|(DH-A)^sini(D — A)

cosi(D-+-A) co8i(D-A)' y^g sinj(DH-A)co8J(D — A^d=sin|(D — Aco9|(D-f-A) "" C08i(D-+-A) cos|(D — û)

Lorsqu'on préfère le signe -+-, le numérateur se réduit à sin D; dans le cas du signe —, il devient sin A; quant au dénominateur, il est

= -(cosD-*-cosA), en vertu de l'équation ( ii ), n^'Sl. Donc

d'où

sin D sin D

cosD-+-cosA acosi"(D-HA) cos-î(D — A)

sin A sin A

cosD-hcosA~~ acos^(D-hA)cosi(D — A)'

a:p ::sinD:sinA.

315. Ces équations renferment toute la théorie des projections stéréographiques. Pour projeter un cercle donné sur la sphère, il ne s'agit que depr^dre les valeurs de D et A, qui résultent de la position de ce cercle sur la sphère; et quand le cercle NN' [Jig, 98) qu'on veut projeter n'est pas perpendiculaire au plan horizontal ÂOB, la section n est encore circulaire; mais son centre 1 est situé sur la droite CL d'intersection du plan vertical AyB avec le plan CQN'O. C'est ce qui sera développé.

316. Projection stéréographique snr rhorizon. — Si le centre G de la carte (fig, 95 ) est la place d'une ville, telle que Paris, ce lieu occupera sur la sphère le point Q diamétralement opposé à l'œil 0; l'axe PP' de la Terre fera avec AB l'angle PGA égal à la latitude/ du lieu; PQ sera la colatitude. Le plan vertical élevé sur AB sera celui de la perspective; et, comme le plan tangent en Q est parallèle à celui-ci et est l'horizon du lieu, on conçoit la cause de la dénomination de cette projection.

Tirez de l'œil 0 (fig. 97) les droites OP, OP', aux deux pôles P et P', vous aurez en p et p\ intersections avec AB, les projections p et p' de ^ pôles, et celle pp* de l'axe PF.

ti8o GKOMORPHIB.

Les parallèles à Féquateur sont des cercles tels que NN' perpendiculaires à PP' et au plan AOBQ ; leurs projections sont des cercles dont on obtient le diamètre nn* en tirant les droites ON, ON'; le milieu / de nn' est le centre; in = in* est le rayon de ce parallèle. Ainsi, dans lay^. 95, qui est celle de la mappemonde dont il s'agit, après avoir tracé le cercle AOBQ. les diamètres recUngles AB, OQ, l'axe PP' faisant l'angle PCA égal à la latitude / du lieu, on marque les projections des pôles en p et p\ en tirant OP et OP'. Le pôle p est ici seul utile, parce que la mappemonde ne représentant qu'un hémisphère ne montre qu'un seul pôle p.

Les lignes ON, ON' menées à des points N, N', à égales distances de P, donnent le diamètre nn* d'un parallèle, dont NP est la colatitude. Li figure montre tous ces parallèles tracés pour des latitudes croissantes de i5 en i5 degrés. QXO est l'équateur qui passe évidemment par les points Q etO, car, ce cercle étant perpendiculaire à PP' et passant en G, sa circonférence perce le tableau en 0 et Q. La difficulté de concevoir les constructions tient beaucoup à ce qu'ici le demi-cercle AQB représente à la fois le plan vertical de perspective, soit debout sur AB, soit recouché sur l'horizon, et aussi le prolongement du demi-cercle horizontal AOB.

317. Lorsque les rayons deviennent très-grands, comme pour les latitudes australes, cette construction devient très-incommode; elle est d'ailleurs sujette au défaut de précision dû à l'obliquité des lignes menées de 0 sur AB. Calculons donc pour chaque parallèle le rayon p de sa projection, la place qu'occupe son centre /', a = G/, et les distances 6 et 6' du centre G aux points d'intersection n et n* des cercles.

Faisons dans les équations ( a) et ( 3 )

D = PQ = colatitude du lieu central de la carte {fi^, gS et 97), D 8 90** s= latitude /, constante pour tous les parallèles ;

puis donnons successivement à A les valeurs de PN, ou les distances polaires des divers parallèles, mesurées sur PN'AOB ; d'où

cos/

sin/-i- C0S.1

sinA sinZ-H cosù'

p = tang(45--i/-iA).

MAPPEUONDF.. 'i8l

Et d'abord, si Ton fait A » o ou = 180% les petits cercles se réduisent à un point p on p'\ on a p = o, et Ton trouve pour les projections des

pôles

cos D -f- i ^1 ' '

OL = r; = — COt D = C//.

cosU — i 9. '

ÏJA projection de Tare PP', ou la distance pp' entre celles des pôles, est

1/ . 'r. ."t^ sinjD cosyD ^y/ = tang-D-+-cot-D = — 77;-^ ■ 1% sin*-j D -+- cos*j D •>. .

~ sin|Dco9|L) ~siuD'

donc le milieu F de pp* est donné par

CF =/^F ~/?C = -^^ - tang ÎD

I sin-jD I — itsin^jD

~ asin^Dcos^ l) cos-^U 'asin|Ccob-J^I)

= -r-rr = COt D = tang /.

sinD ^

318. En faisant croître A de zéro à 180 degrés, on obtient les valeurs deâ[,p et 6 propres à déterminer la projection de chaque parallèle. Pour la partie australe, A> 90°, et cosA prend le signe — ; a et p sont trèsgrands, les cercles ont peu de courbure. Ces formules sont assez commodes à employer. Au reste, nous donnerons pour ces cercles un procédé plus facile encore. Pour Téquateur, ^ = 90**, et Ton a

/ sinD ^ ^, I I

(71 a = — ïr = tang D== COt/, p = n = -^-/'

cosD *^ ' ^ cosD sm/

Si l'on veut marquer les tropiques et les cercles polaires, on fera Â=:=a3*a8'4 et 66** 3a'. Ainsi le tracé des parallèles n'offre plus aucune difficulté. On a coutume de diviser la circonférence AOBQ de 5 degrés en 5 degrés : nous avons pris ici (J^. 95) des arcs de i5 degrés, pour éviter la confusion.

319. Venons-en aux méridiens. Ces cercles passent tous par les p6les

^S^ GéOllORPHIE.

P et P' {^. 97), et leurs projections par /? et/?'; pp' est une corde qui leur est commune, et leurs centres respectifs sont, par conséq[uent, situés sur H'FH, perpendiculaire au milieu de pp\ Ce point F vient d'être déterminé, équation (6) : il est d'un usage plus commode que le point z^', qui est souvent trop éloigné du centre G de la figure. Tous les points H'PH sont les centres de circonférence passant en p et p\ lesquelles sont les projections d'autant de méridiens terrestres. Déterminons celui de ofô cercles qui est la projection du méridien incliné de 9 sur le plan OBQ, c'est-à-dire dont B est la longitude.

Le cercle NN" (^. 98), dont le pôle est en R, est situé d'une manière quelconque sur la sphère; les équations (a) et (3) s'y s^pUquent, dans le plan OGc perpendiculaire au cercle NN'. Ainsi la perspective est on cercle fin\ dont le centre 1 est sur la ligne IXI oblique à AG : la distance Ci = a et le rayon p a in sont déterminés par la position de NN' sur la sphère, c'est-à-dire par la distance CQ de son pôle R au point Q, et par l'angle AQL que font les plans RGOLQ et AQB. Pour que ce cercle NN devienne un méridien, il faut faire A = 90^, parce que tout grand oercle est à 90 degrés de son propre pôle R. Quant à D, qui représente l'arc PU LfiS' 97)» cette lettre n'a plus la môme valeur 90* — /, car le cercle ou méridien NN' {fig. 98) n'est plus perpendiculaire à l'axe terrestre ei passe au contraire par cet axe. Remplaçons D par ^|;, qui représente cet arc RQ, attendu que nous voulons conserver à D la valeur 9"-' Ainsi

(9) a = tang.},

(10) 0= |- = séc>î';

^ ^ cos>|/ ^ '

donc le centre 1 du cercle de projection est, sur la droite GL, distant de a du centre G, L étant le point où l'arc QRL, de 90 degrés, coupe le plan horizontal AOB, cet arc passant par le pôle R du cercle NN'. On décrira de ce centre 1 un cercle avec le rayon p. Mais il faut connaître AL = 7, qui détermine la direction de GL et l'arc RQ = ^, en fonction de 9.

320. Le cercle PMP' (^g. 99) est un méridien vu en perspective; TT' est l'équateur. En faisant tourner PMP' autour de PP', le méridien prend toutes les inclinaisons d sur le plan AQB, le pôle R de ce cercle le suit dans sa révolution et décrit l'équateur, parcourant des arcs égaux à

ceux de ce méridien : le triangle sphôrique RQT, rectangle en T, comprend

TR«=9o«-~0, RQ^^P, QT = 90* — D et AQL=?,

puisque Q est le pôle de Tare ÂL. Ainsi l'on trouve

(il) cos^{' = sinDsinO, cot7 = tangOcosD.

Chaque méridien a sa longitude 0, inclinaison de ce plan sur ARQ ; on en tire les valeurs correspondantes de ^ et de <f, La première donne 4^, et, par suite, les équations (9) et (10) donnent a et p, qui déterminent le cercle de projection, dont le centre est sur la droite FH (J!g, 97). La deuxième équation (11) donne la direction 7 du rayon Ci sur lequel on doit porter a.

321 . Mais ces équations fournissent une construction très-simple. Dans le triangle jpFa' (^. 101), où a' est le centre de l'une des projections de méridien, et pa' son rayon p, on a

*^ „ , « . F/> coS'4' . ^

«F = p X cosF/^a', cosF»« — —^ = -r-^ = smO. '^ ^ ' ' ' p smD

Ainsi l'angle Fpa' est le complément de la longitude 0 du méridien dont la projection a son centre en a'. Donc, du centre/?, décrivez un quart de cercle PS avec un rayon arbitraire (on Ta pris ici égal à F/?) *, divisez ce quadrant de 5 en 5 degrés, par exemple à partir de S ( on n'a pris ici les arcs que de i5 degrés pour éviter la confusion], et marquez les divisions des n** 5, 10, 15,. . . , de S vers F. Pour chaque point tel que a, tirez poy qui marquera le centre a' sur FH du méridien, dont la longitude

est

Sa = 90 — Fa.

La droite AB doit visiblement couper la projection en deux parties symétriques; chaque centre a', 6', ... a son correspondant a', 6", ... à la même distance de F du côté H', et a en outre le même rayon.

La Jîg, loa est la mappemonde complète formée de la réunion des fig. 95 et 101, l'une représentant les parallèles, l'autre les méridiens.

322. On est dans l'usage de tracer aussi l'écliptique sur les cartes de G^graphle; mais c'est faire une chose vide de sens, et propre à donner

284 GÉOMORPIilK.

des idées fausses de ce cercle. Si Ton voulait composer une carte céleste, alors il faudrait le marquer. Cette projection s'obtiendrait facilement par les principes qu*on vient d'exposer; les astres seraient rapportés à leurs ascensions droites et à leurs déclinaisons. Quand on veut que les coordonnées soient les longitudes et les latitudes, Técliptique tient lieu d'équateur dans la projection, qui d'ailleurs s'obtient par les mêmes principes.

323. Lorsque les centres des cercles sont très-éloignés, les plus grands compas ne suffisent plus pour décrire les arcs. On se procure alors trois de leurs points A, B, C [fig, io4), et l'on trace la courbe, soit par un système de coordonnées rectangles {voir n"" 3S0), soit par la propriété de l'angle inscrit. L'arc, dans ce dernier cas, est décrit par le sommet B dun angle constant ABC assujetti à passer sans cesse par deux points A etC et qu'on fait tourner; le sommet devant passer par B dans l'une de ces positions, cette condition détermine cet angle B mobile. Gomme alors les arcs ont peu de courbure, il suffit d'en marquer quelques points.

324. La recherche des trois points A, B, G se fait comme il sait :

i*" Pour les parallèles. — Soit NN' un arc perpendiculaire à l'axe terrestre PF [fig. loo) ; le centre de la projection est supposé très-éloigné de G. Le plan NN' rabattu donne la circonférence N^N', et, élevant la perpendiculaire ^^ sur le diamètre NN', fg est l'ordonnée verticale du point de la projection qui est soit au-dessus, soit au-dessous de/. Aiosi, portant y^ de /en h et en h\ h et h! seront deux points de la projection circulaire; et comme on a déjà le point //, par la valeur (i) de C/t = 6, ou par la construction indiquée, les trois points A, n et h' sont ceux qu'on demande pour tracer l'arc de projection.

2** Pour les méridiens. — Le grand cercle qui est incliné de 0 sur le plan horizontal AOB [fig. io3), et va de P en P' dans l'espace, est celui qu'on veut mettre en perspective. L'œil est en 0 et le plan vertical élevé sur AB est celui de projection. Or ce cercle PGF va percer le plan AGB en deux points qui sont leurs perspectives particulières : cherchons ces points. L'un d'eux, tel que G, détermine un triangle sphérique AGP' rectangle en A; on y connaît l'angle P' qui est celui d'inclinaison, ou te longitude du méridien FGP, AF « i8o"— /; AG = x est l'arc demandé. Ce

MAPPEMONDE. nèô

triangle donne

tangxs= sin/ tango.

On peut donc trouver par le calcul Tare a: qui va de A {Jîg. loi) aux points G et I, où chaque méridien 61 coupe en G et I le cercle AOBQ dans lequel la mappemonde est enfermée.

325. On en tire une construction fort simple pour trouver ces points G et I de chaque méridien. D'un point quelconque F de AB (y^. 107), celui, par exemple, dont on s'est déjà servi (^. 101), abaissez la perpendicufidre FM sur Taxe PF de la Terre, et portez FM de F en K; faites Fangle FKL s: 9, et la droite KL coupera la verticale FH en un point L par lequel, tirant le diamètre LCG, cette droite coupera le cercle de projection aux points cherchés G et I, auxquels il est croisé par la projection du méridien dont la longitude est d.

En effet, on a

FM = CFsin/=FlC,

FL = FK tangQ = CF sin/ tangfî,

d'où

F'L tang LCF - jrp = sin/tangG = langar;

donc

x = LCF.

On décrit du centre K un quadrant qu'on divise de 5 en 5 degrés, et Ton mène par ces points des rayons K, L, dont chacun est incliné sur FK d'un arc d et donne un point L, un diamètre LG et les points G et I. La droite GI est une corde de la projection du méridien dont la longitude estO.

326. Projection sur le méridien. — Appliquons notre théorie au cas où Tœil 0 (^g. 97) est en un point de l'équateur, et où, par conséquent, le plan du tableau de perspective AQB est un méridien; le plan vertical QO est réqualeur, et le plan de projection, tournant autour de AB, de vertical qu'il était, se rabat sur AOQB. Dans le cas actuel, l'axe PP' des pôles se confond avec AB.

Projection des paraUèles (7^. io5). — La construction indiquée û*3i6 s'applique ici. PF est l'axe des pôles; l'équateur est projeté selon

a86 GBOllORPHIE.

le diamètre OQ ; divisez le demi-cercle OPQ de 5 en 5 degrés, et opérez pour chaque point de division comme nous allons le faire pour les deux points correspondants N etN' (nous n'avons pris ici que des arcs de i5 degrés, pour éviter la confusion des traits). Tirez ON et ON', qui coupent l'axe PP' en M et M' ; MM' est le diamètre de l'arc NMN' qui figure un parallèle. Et, si Ton ne veut pas se servir du point M', qui peut être fort éloigné, on trouvera le point M, et l'on fera passer une droonférence par les trois points N, M et N', ainsi qu'on Ta expliqué n* 324.

On peut encore trouver le rayon p de chaque cercle, et les distances do centre C au point M et au centre du cercle de projection, savoir Cet st, en posant D = 90** dans les équations (i), (2) et (3), n° 314,

p =: tangÀ = cot latitude / du parallèle,

cosA I * * I

-r—. e = tang-i

a= = -r-:* e = tang-/,

Nous donnons ci-après ces valeurs. On peut faire résulter la construction précédente de ces équations ; car on a l'angle

d'où

NOQ = i/, CM = tangi/, CM' = lang ' (iBo**— /) = cot i /,

CM'-f-CM = aa=-^.

sm/

La symétrie des cercles de part et d'autre de l'équateur OQ fait trouver à la fois les deux parallèles à la môme latitude boréale et australe.

327. Projection des méridiens (/ig. 106). ~ On se sert des mêmes divisions de la circonférence, et l'on raisonne comme nous allons le faire pour N et N', la longitude du méridien étant donnée par les arcs QN, ON'. On tire le diamètre NN', et du pôle P' les cordes P'N, P'N', qui coupent l'axe QO en /et /'; ff est le diamètre du cercle passant en P et P*; le milieu i de ff est le centre. Un autre cercle symétrique à celui-ci a môme rayon, et son centre en /' a môme distance que 1. Cette construction est une modification de celles du n^ 316. On peut d'ailleurs la tirer des équations suivantes. On fait A «= go"" et D = 9 dans les équations (i),

(a), (3), n'^SU, etrona

6 = C/=tang^45^~ie), 6' = C/' = tang ^45' -^ ^ ô\

^"=^b' « = p-C/= tango.

La fi^, 109 est une mappemonde complète, formée de la réunion des parallèles de la f^. io5 et des méridiens de la fig. 106. Cest cette espèce de mappemonde qui est le plus usitée.

Table des valeurs de ot^ de p et de 6, tant en longitude qiCen latitude, de S en b degrés, le rayon de la mappemonde étant i .

ou 0.