II, -1737 I
ii,43oo5
i,oo383
a,5ii3o
a,366ao
I , io338
So
i,oo383
ii,43oo5
328. Projection polaire. — L*œil 0 \Jig, 97) est placé à Tun des p^lcs de la Terre, Q est l'autre pôle : le plan vertical de projection étant
288 GÉoiioaraiE.
rabattu donne Féquateur ÂOBQ, parce que ce plan élevé sur AB produit le cercle équatorîal. D'après cela, l'équateur (fig. iio) est AOBQ, et le centre est le pôle P. Si Ton divise la circonférence de 5 en 5 degrés (ici de i5 en i5), et que par les points de division on tire des diamètres NN', il est évident que ces droites seront les perspectives des méridiens.
Quant aux parallèles, étant dans des plans perpendiculaires à Tare idrrestre, confondu avec OQ, ils seront les bases des cônes optiques dont le sommet est en 0. Ces cônes, coupés par le plan du tableau AQB parallèlement à leurs bases, donnent pour section des cercles, dont le centre est en P au pôle. Tirez ON à l'un des points de division de la circonférence; le point a de rencontre avec AB donne Va pour rayon de la projection du parallèle dont la latitude est mesurée par Tare AN, et ainsi des autres.
329. Pour trouver la valeur analytique du rayon p d'un parallèle, il faut faire D » o dans Téquation ( 3 ), et Ton trouve
p = tang^A = lang^i5 -i/j,
/ étant la latitude de ce parallèle. On a évidemment a = o. Les valeur que prend p de 5 en 5 degrés sont comprises dans la colonne des valeurs de € pour les méridiens, dans le tableau précédent.
On fait peu d'usage de cette projection, si ce n'est pour les cartes célestes, lorsqu'on veut montrer la figure des constellations polaires, car il n'y a guère que les régions voisines du centre de cette carte qui ne soient pas fort altérées. En Géographie, comme les pays près des pôles sont inhabitables et inconnus, on n'a aucune raison de se servir de cette projection.
330. Projection anglaise. — Comme les bords de la mappemonde présentent des configurations singulièrement altérées, on a imagina d'imiter celles des^. 109 et no, en ordonnant les cercles de manière à ôtre coupés par parties égales. Mais cette projection est toute conventionnelle et n'a rien de commun avec la perspective.
Dans la^^. 111, on divise en parties égales les diamètres rectangles du cercle, ainsi que la demi-circonférence ; nous les avons coupés ici
en 9, pour que chaque arc soit de lo deg:rés. On fait ensuite passer des circonférences par trois des points ainsi déterminés. Ainsi les méridiens passent par les deux pôles A et B, et par les points successifs de division du diamètre horizontal; les parallèles passent par les points de division correspondants de la circonférence et du diamètre vertical.
331. II est facile de foire passer chaque cercle par les trois points dont il 8*agit, même quand le centre est fort loin (n^^SâS). Mais on peut trouver la longueur p de chaque rayon de méridien et la distance CK = 6' [fig, m) de G à son point K de section avec Téquateur NN'. En effet, le centre cherché est situé sur le diamètre horizontal NN', et TéQuation de ce cercle, Forigine étant en G, est par conséquent
et, puisque ce cercle passe aussi en A et B, on a r étant le rayon AG de la mappemQnde. Ainsi
mais 6 ou GK ost toujours une fraction connue de r, savoir 6 » - ; d'où
ù — -nr-\ •
Cette équation fait connaître le rayon p du méridien qui passe par le point K de division du diamètre horizontal. Par exemple, si Ton a coupé NC et AN en 9 parties égales, pour tracer
le méridien qui passe aux - > ou à la cinquième division K, on fera " ^ 79 9 ^
d'où
Raisonnons de môme pour les parallèles. Soit FHF' un cercle dont le centre est sur l'axe des j; on a pour équation (le rayon étant p')
x«-f-Lr-e'-p')« = p'«,
en feisant GH » 6. Les points de section avec le cercle de la mappe-
ï.-^ Géodésie. IQ
aQO GBOMORPHIB.
monde se trouvent en posant x* -+-/* = /*, et éliminant x et y; si donc on fait CD = y, on trouve
a6'7-6'«-f-ap'(7-6')=/-2,
d'où
^ r«-h(>'« — ig'7
Les données sont ici r = CA, 7 = CD, et l'on trouve le rayon p' du parallèle. Comme CH est une fraction connue du rayon r, on a
n et Tare NF est la même fraction du quadrant NA; un a
par exemple, si 6' = - r, on a
7 = rsin4o*' ou r. 0,6428;
le calcul donne
On ouvre donc le compas de cette quantité, et posant une pointe sur ia quatrième division du rayon vertical, à partir de C, l'autre pointe ira marquer le centre du parallèle sur le prolongement de ce mèrae rayon au delà de C.
332. On construit encore une projection polaire sur le môme principe. Les méridiens sont encore représentés par des diamètres également inclinés l'un sur l'autre, et les parallèles par des cercles concentriques avec la mappemonde, précisément comme l^ijig, no; mais ces cercles sont ici également distants entre eux (^. 112), c'est-à-dire qu'ils divisent tous les rayons en parties égales.
Ainsi, dans h/îg. 1 12, on a coupé chaque quadrant en 9 arcs égaux et mené des diamètres par les points de division ; on a partagé un rayon en 9 parties égales et tracé des circonférences passant par ces points, et dont le centre est celui de la mappemonde.
PROJECTION DE LORGNA. 2iJI
333. Projection de Lorgna. -- On y a pour objet de conserver aux contours leurs étendues superficielles, mais de négliger les distances et les coofîgarations. Ainsi, étant donnée une demi-sphère de rayon R, la mappemonde présente un cercle de même surfece, et il faut en outre que, si l'on considère une étendue sur la sphère, cette aire soit égale à celle dei sa projection. C'est sur ce principe qu*est construite la carte polaire do yUranographie,
Cette projection oflf^ Tapparence do la Jîff, uo; les méridiens sont encore des diamètres également inclinés, et les parallèles des cercles concentriques; mais les rayons de ces cercles observent une loi qui emporte cooune conséquence la condition prescrite que les aires sur la sphère soient égales à leurs projections. Voici comment on y satisfait :
D'abord le cercle de la mappemonde doit avoir môme surface que l'hémisphère qu'A représente : soient r et R les rayons ; on a irr* et 2ti II* pour les aires et, puisqu'elles sont égales,
r««tiR«, r = Rv/5, R^-r/â,
expressions qui donnent r quand on connaît R, ou réciproquement. On tracera donc à volonté un cercle pour représenter la projection de Thô-
misphère : la sphère devra avoir pour rayon -r y^, ou R = 0,7071 r. Si
Ton divise r en 1000 parties égales, la sphère aura pour rayon 707 de ces parties.
Soient CA = R (^. 1 13) le rayon de la sphère, A le pôle. M' M un parallèle dont la distance au pôle est Tare AM ^ A, complément de la latitude de ce parallèle. La surface de la calotte M'AM est égale à !ï7rRX-, en faisant la flèche AB = A\ d'un autre côté, si CI = p est le rayon de la projection du parallèle, sa surface égale wp». On veut que ces deux aires soient égales, savoir p« = îRA^. Ce rayon p est donc moyen proportionnel entre le diamètre 2 R de la sphère et la flèche AR de la calotte sphérique M'AM; et, comme la corde AM est aussi moyenne proportionnelle entre AB et aR, il s'ensuit que le rayon CI de la projection du parallèle MM' est égal à cette corde AM.
Donc les rayons des parallèles sur la projection sont les cordes des arcs terrestres qui en sont les distances polaires.
aga oéoMORPUiK.
334. D'après cela, on décrira un cercle à volonté pour représenter la mappemonde; on cherchera ensuite le rayon R de la sphère qui est les 0,707 du rayon adopté, ou bien on tracera sur ce rayon r un triangle îsoscèle et rectangle : Fhypoténuse sera R; on décrira, avec ce rayon R, un cercle CM'AM, dont on divisera un quadrant de 5 en 5 degrés, et Ion mettra aux divisions les n~ 5, 10, 15, . . . , à partir d'un point  pris pour pôle. Chacune de ces divisions aura une corde, et l'on tracera, avec des rayons égaux à ces cordes, une suite de cercles concentriques qui seront les projections des parallèles dont les distances polaires des colatitudes sont marquées par les numéros correspondants. La corde de Tare de 90 degrés sera le rayon de la mappemonde; Cid sera la projection du parallèle m' m \Cd^ AM , et ainsi des autres.
335. H est évident que, les calottes sphériques étant égales en surfaces à leurs projections, les zones comprises entre les parallèles sont dans le même cas; et, comme les méridiens ont leurs projections en lignes droites diamétrales, tout espace sphérique compris dans le quadrilatère cur\'îligDe formé par deux méridiens et deux parallèles sera égal aussi à Faire do sa projection : c'est ce qu*on voulait obtenir.
336. La construction précédente est facile, mais elle a moins de précision que le calcul. Cherchons les valeurs numériques des rayons des projections, étant donné le rayon r de la mappemonde.
Pour un parallèle, celui de i5 degrés de latitude par exemple, l'arc A^
est de 75 degrés, et sa corde est a sin { — ) > prise dans le cercle de rayon R, ou 2 R sin ( ^ ) ? le rayon étant i . Ainsi, pour le parallèle dont la latitude est /, le rayon de la projection est
p = rv/âsinU5** — -/)•
C'est ainsi que, pour le parallèle de 40 degrés, on a / = 40 ot P == 0)59707 r.
Le rayon de la projection est donc formé de 598 parties de celui de la
