PROCÉDÉS POVR AVOIR L*IIE1JRB

Dans le triangle sphérique /t^z [fig. 129) on connaît deux côtés et Tangle compris, savoir pq^ distance polaire d de l'astre, pz colatitude c, et l'angle horaire p, et il s*agit de trouver le troisième côté, ou la distance zénithale zq^z. Les équations du troisième cas, n*" 82, sont ici (1,3 et 5),

, cosr/cosf'

tang<p = tangr/cos/?, f=:r — f, cosz= >

On peut encore se servir de l'équation (n*" 78), troisième cas, qui est moins propre au calcul des logarithmes, et devient ici

cosz = cosc cosr/(i -H tangc langr/cos/?) = sin/5inD(i -hcot/cotDcos/?).

Nous appliquerons cette double théorie à un exemple. Au reste, quand on a deux côtés et l'angle compris, le triangle sphérique peut être résolu comme n*" 520.

Le 3o mai 1878, on demande la hauteur du Soleil (la longitude de la station d'observation est 0^34*47' ouest, et sa latitude 43^23' 14' nord), à 5" 18" 5a* temps vraL

L'heure vraie correspondante de Paris est 5^53*39', et elle répond à 5''5o'"56*, 54 temps moyen. Avec cette heure moyenne et les données de la Connaissance des Temps pour 1878, on calcule la déclinaison du Soleil et l'on trouve DO= -+■ 2i'5o'3',8. Ainsi l'on a

Premier procédé :

tangr/ 0,3972155

cos/> 1,2516772

tangy 1,6488927 cosr/ 1,5704554

? 24* o'54',6 cos«p' î,9653o82

c 46 •36.46,0 — cosî* — 7,9606790

^ — y 22.35.5i, 4 a= y' cosr 1,5750846

35o GéOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

Second procédé :

tangr/ 0,8972155 cosr/ T, 5704554

co^p 7,2516772 cosc 7,8369096

tangc o,o'>.44622 i^^'jiZ(\'>.\. . . 0,1677196

7,6733549 cosa 7,5750846

nombre o, 47136*4 z 67'' 55' g'.S

d'où hauteur demandée 22. 4.50,2

Ce résultat représente la hauteur vraie, telle que l'observateur la verrait du centre de la Terre; pour avoir la hauteur apparente, telle qu'on la verrait de la station, il faudrait corriger le résultat de l'effet de la parallaxe et de la réfraction, d'après la théorie développée précédemment.

409. Méthode des bantenrs correspondantes. -- Une étoile ne changeant de place au ciel qu'en apparence, et par l'effet de la rotation diurne, n'est visiblement à la même hauteur vers l'est, puis vers l'ouest, qu'autant que les deux angles horaires sont égaux. On en conclut que, si l'on note les heures d'un chronomètre, quand l'étoile est à la même distance zénithale de part et d'autre, le milieu de la durée écoulée est celle du passage au méridien; prenant la moyenne entre ces heures, on a celle du chronomètre à l'instant de ce passage. Et comme cette heure, soit sidérale, soit moyenne, est connue d'avance (n" 401), il est clair qu'on sait ainsi quel est le retard ou l'avance de la pendule.

Soient donc t et /' les heures du chronomètre lorsqu'une étoile s'est trouvée à la môme hauteur des deux côtés du méridien : l'heure marquée

à l'instant du passage est -(/ + /'), en supposant que la pendule a conservé une marche uniforme dans l'intervalle. Il faut que la 2* heure t' soit>/, en sorte que, si l'aiguille a passé sur 12 heures pendant la durée écoulée, au lieu de compter i**, 2**,. . . après 12**, il faut compter i3**, 14*, etc.

Pour affaiblir les erreurs, on répète les observations plusieurs fois consécutives : chacun de ces couples donne sa moyenne, et la moyenne entre tous les résultats est, avec plus de précision, l'heure qu'on demande.

L'astre doit être au moins à 2 heures de distance du méridien.

PROCÉDÉS POUR AVOIR l'HEVRE. 35 1

Od est dans Tusage de fixer la lunette de l'instrument sur des graduations équidistantes du limbe, et d'attendre chaque fois que l'astre vienne se présenter au fil horizontal tendu au foyer. On remarquera qu'il n'est pas nécessaire d'avoir la hauteur de l'étoile, mais seulement que cette hauteur soit la même des deux côtés du méridien. Voici un exemple de CCS calculs :

Hauteurs. Est. Ouest. Sommes. Moitiés.

nuages.

nuages.

nuages.

35,2 Moyenne

Ainsi, si Tastre observé est le Soleil, la pendule retarde sur le temps vrai de ii™42',7, sauf une correction dont il va être question. On a noté i5 heures au lieu de 3 heures, dans la troisième colonne, pour que t' fût plus grand que r.

MO, Cette théorie n'est vraie qu'autant que l'astre conserve la même déclinaison dans l'intervalle, ce qui a lieu pour les étoiles, mais non pas pour le Soleil. Que cet astre soit observé à l'est en A Ifig. i25), et lorsqu'il atteint à l'ouest le cercle horaire PB faisant l'angle MPB = MPA avec le méridien FM, P étant le pôle et Z le zénith, le Soleil n'est point revenu en B sur le même cercle horizontal ÂB, parce que, s'étant rapproché du pôle au lieu d'être en B, il est en i. II faut donc que le mouvement se continue encore quelque temps, pour que de i le Soleil retombe en C sur le cercle AG à même hauteur que A.

Mais alors l'angle GPM est > APM, et le milieu de la durée écoulée n'est plus l'instant du passage au méridien. Faisons l'angle APM =)? = BPM, BPC = dp, APC = 2p H- <//? : la moyenne entre les heures écoulées i et f',

ou - {/'^ r ) est égale à/? -*- - dp ; ajoutant l'heure / de la première observation, il vientd'abord/»= -(/'-+-/—£//?), puis l'heure de la pendule a

35j& GEOMORPIIIE ASTRONOMIQUE.

riastant du passage au méridien est

en représentant dp par x.

Ainsi, lorsqu'on aura pris des hauteurs correspondantes du Soleil, Theare du milieu aura besoin de recevoir une correction x = dp, pour

devenir celle du chronomètre à midi vrai, à raison du changement de déclinaison dans cette durée.

II s'agit donc de calculer cette correction x = dp.

Soient z la dislance zénithale du Soleil, / la latitude du lieu, complément de l'arc PZ = 90° — /, D la déclinaison de l'astre en A. Le triangle sphérique PZA donne [équation (3), n** 67]

(2) cosz= sin/sinD-h cos/cosDcos/?;

le triangle s'étant changé en PZC, la déclinaison D et langle horaire/? ont seuls varié; différentions donc en prenant z et / constants :

{ sin / cos D — cos / sin D cxn&p ) dD = cos / cosD sinp dp ;

dp et dD sont de fort petits arcs exprimés par la môme unité, par exemple, en secondes de degré. Si tf est la variation diurne de la déclinaison du Soleil, et que 2 0 =» r' — r soit le temps écoulé, on a la partie de cette variation qui est produite dans cet intervalle, en posant

ici 9 est rapporté à l'heure, et p à la seconde de degré, ainsi que dp . da reste, p et 0 sont connus. Tirons donc dp de notre équation, en y substituant cette valeur de dD, et changeons en outre dp en i5 dp, pour que dp exprime des secondes de temps (i5 degrés valent i heure, n* 40 f) ' on en tire

la correction dp est donc, en secondes de temps,

PROCÉDÉS poim Avoia l'heure. 353

Nous avons remplacé ici /? par sa valeur 9, qui, sous les signes cot et sin, doit être exprimée en degrés.

411. i"" D est la déclinaison Q à midi; on prend D en — , quand le Soleil est dans les signes inférieurs : la latitude / est négative quand elle est australe.

a"* V est la variation de la déclinaison D en vingt-quatre heures, exprimée en secondes de degré : ce nombre se tire de la Connaissance des Temps, en multipliant par 24 la différence pour une heure donnée dans la colonne à droite des déclinaisons. On doit prendre pour v la moyenne entre les deux variations des jours que le midi cherché sépare, et c'est précisément cette moyenne qui est fournie par la Connaissance des Temps. On donne à p le signe —, quand Tastre va en s'éloignant du pôle boréal.

3* ô= i(/' — /) est la demi-durée écoulée, exprimée en heures de

temps vrai; on la traduit en degrés sous les signes sinus et cotangentes.

4*" Quand la première observation est faite le soir, et la seconde le lendemain matin, le calcul dont il s'agit détermine l'heure de la pendule à minuit. D est la déclinaison du Q ^ <^^ instant, et il faut prendre le dernier terme de l'équation (3) avec le signe + au lieu de — .

Appliquons la formule (3) en supposant que l'on observe le Soleil le 2 octobre. On a

D= — 3" 49' 20*, 4, p = — i396'',6, / = 48'38'4i"'nord, 0 = 3"» 35" 33* = 3\5925 = 53^53' i5'.

Comp.S6o. 3,44370 J

tang/ o,o554o moyenne 11.48.17,30

»tô T,863o5 comp. sinô. 0,09266 correction -h 20,28

hngD 2,82485— 1,29223 — heure du chr. à midi vrai. 11.48. 37, 5«

2'terme. ..-t-19',60 ..... , .,,

+ 0,68... 1,83207— temps moy. a midi vrai... 11.49.21,33

i'''terme..-h 0,68

Correction -H20, 28 retard sur temps moyen. — 4 ^ » 77

F.— Géodésie. 23

354 GÉOHORPUIB ASTRONOMIQUE.

Ce procédé est fort exact, et môme le calcul est très-facile, parce qu'on peut réduire la formule (3) en Table, d'où Ton tire à vue la valeur de deux termes.

Mais on est fréquemment exposé à manquer le soir les observations correspondant à celles du matin, parce que le ciel se trouve voilé par des nuages. On comprend que, la correction étant en général fort petite, on a été en droit de substituer à D la déclinaison du Soleil à midi, dans réquation (3), au lieu de la déclinaison en A. La hauteur de l'astre observé n*est, comme on le voit, nullement nécessaire à connaître.

Détermination de In latitude du lieu.

4iâ. Par deux passages an méridien, Tun supérieur, l'antre inférieur. — On observe les deux hauteurs LD, LC (Jîg, i3o) d'une étoili circompolaire, lorsque dans .<^n cercle diurne CD, autour du pôle P, eUo entre dans le plan du méridien, et Von corrige de la réfraction. La demisomme de ces résultats est la latitude cherchée / ■■ la hauteur LP du pôle : la demi-différence de ces deux arcs est la distance PD de Tétoile au pôle, complément de sa déclinaison.

Ainsi ce procédé est indépendant de cette déclinaison, et la fait même connaître. Il est extrêmement précis, mais rarement praticable. D'ailleurs il ne faut pas que l'étoile soit éloignée du pôle, parce qu'elle passerait en D trop près de l'horizon, où les réfractions sont incertaines, et en C trop près du zénith, où il est difficile d'observer. C'est la Polaire qui est ordinairement l'étoile qu'on préfère, ou quelque autre étoile de la Petite Ourse.

4i3. Par un passage an méridien. — Qu'on mesure avec soin la hauteur ds [fig. i32) d'un astre jr, à l'instant où il est au méridien pzd\ z est le zénith, p le pôle, cd l'horizon, ce l'équateur. Après avoir corrigé de réfraction — parallaxe cette hauteur ds (ou la distance zénithale .«), on a ^r/= /7z = 90* — / = hauteur de l'équateur ou colatitude du lieu. D'ailleurs 5^ = D est la déclinaison connue de l'astre comp^^ment de sa distance au pôle sp. Ainsi sd = ed-^es donne, en faisante = hauteur x</, z B distance zénithale sz (après la correction),

(1) / = »-4-D = 9o*-i-D — A=90*-^z — f/= 180'- (/n-rf).