DBTBRIIINATION DB LA LATITUDE DU LIEU

Ces expresuons conviennent aux cas où le passage a lieu du côté du, sud.

On prend D négatif, quand Fastre est en s' sous Féquateur, c'est-à-dire quand sa déclinaison est australe.

Les circompolaires ont deux passages visibles du côté du norti (fig, 1 3o); la formule doit être modifiée pour Tun et l'autre. En raisonnant comme OD vient de le faire, on trouve :

Passage entre le pôle et le zénith :

(a) /=/i — r/=D — z=y)* — (»-<-rf) = A-<-D — go*.

Passage entre le pôle et V horizon nord : (3) /=:A-+-rf = 90*'H-£/ — » = 9o'»+.// — D=i8o^ — (8-hD).

Bien entendu que la déclinaison de Tétoile observée doit être corrigée de la préœssion, de la nutation et de l'aberration.

414. On a reconnu que les cercles répétiteurs à grands diamètres dont on se sert en Géodésie pour les observations astronomiques sont affectés d'une erreur qui leur est particulière ; cette erreur, qui rend trop faibles iesdistances zénithales observées, provient en grande partie d'une flexion de la lunette supérieure, flexion qu'on attribue au poids de l'objectif.

L'erreur dont il s'agit est très-faible et varie avec les distances zénithales à peu près dans le rapport de leur sinus. Lorsque, dans une station et pendant la durée des observations, le cercle répétiteur n'éprouve aucun déplacement, on est certain qu'alors son erreur particulière est constante pour une même distance zénithale. II n'en est pas de même lorsque cet instrument est transporté d'un lieu à un autre, du moins à de grandes distances : son errenr varie et atteint quelquefois le double de ce qu'elle était d'abord. De nombreuses observations attestent ce fait.

11 suit de là que, pour obtenir avec une précision rigoureuse la latitude d'un lieu, il faut observer des distances zénithales méridiennes de deux astres, l'un au nord, l'autre au sud, distances qui doivent être à peu près égales, autant que possible, afin que l'erreur de l'instrument soit la même et que celle de la réfraction soit dans le même cas. La moyenne entre les deux résultats donnera la latitude avec toute l'exactitude dési-

356 GBOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

rable. La demi-différence de ces résultats sera donc Terreur particulière de rinstrument pour la hauteur observée.

Si Ton veut obtenir une seconde détermination de la latitude du même lieu par l'observation de deux autres astres soumis aux conditions énoncées, mais à des distances zénithales très- différentes des précédentes, on trouvera une latitude très-concordante avec la première, en admettant que chaque détermination ait été faite par des séries de ao et 3o répétitions, afin de compenser les erreurs d'obse.rvation. Mais Terreur particulière à Tinstrument qu'on déduira de ces nouvelles distances zénithales ne sera pas la môme que celle qui a été obtenue dans le premier cas. On verra si la variation de cette erreur est dans le rapport des sinus des distances zénithales; dans le cas contraire, on cherchera une formule empirique propre à exprimer approximativement la loi de cette variation.

Quand Theure n'est connue que par des distances zénithales absolues (n° 405), il importe alors de connaître Terreur particulière au cercle répétiteur dont on a fait usage, afin d'appliquer aux observations qui ne seraient faites que d'un seul côté du méridien une correction nécessaire à la précision. Si Ton a la précaution de déterminer le temps par des observations de distances zénithales absolues faites à Test et à Touest, la moyenne entre les heures obtenues par ces deux déterminations sera dégagée de 'erreur du cercle. Mais il arrive souvent que, par un prompt changement dans Tétat de l'atmosphère, une observation faite d'un côté du méridien [)eut plus être corrigée par celle de l'autre côté, parce que, le ciel s'étant couvert, cette dernière n'est pas possible. Il convient alors d'appliquer à cette détermination unique la correction due à Terreur de Tinstrument, afin de détruire l'influence qu'elle exerce sur le résultat.

Nous donnons ici un exemple de ces calculs, que M. Gorabœuf a bien voulu nous communiquer. Ce savant faisait usage d'un cercle de Gambey de 33 centimètres de diamètre, et voulait obtenir la latitude d'Angers; il a trouvé :

DBTEBMINATION DE LA LATITUDE DU UEU. 357

Étoileft observées. Dist. zénithale. Latitude. Erreur.

€ Petite Ourse 27.23' 47.28.10*95 4*77

Arcturus 27.23 47.28. 1,41

Moyenne 47.28. 6,18

Polaire (pass. super.) 40. 55 47.^8. i5, ai 7,90

a Serpent 40.29 47.27.59,41

Moyenne 47.28. 7,3i

i*' résultat 47.28. 6,18

Latitude définitive d'Angers 47.28. 6,75

Les remarques précédentes doivent être faites pour toutes les méthodes d'observation de temps, de latitudes, etc., lorsqu'on prend pour bases des calculs les distances zénithales des astres.

415. Par des hauteurs d'un astre obserré près du méridien Ifig. i3i). — Les méthodes qu'on vient d'exposer ont l'inconvénient de ne pas se prêter à la répétition fréquente, pour affaiblir les erreurs d'observation en les multipliant; l'astre doit, en effet, être observé une seule fois à l'instant où il traverse le méridien. Le procédé suivant est dû à Delambre; il permet de réitérer les mesures un grand nombre de fois en peu de temps. C'est ainsi que ce savant a opéré dans la grande triangoiation française.

p est le pôle, z le zénith, pzmo le méridien, s un astre voisin de ce plan, ps son cercle horaire, m le point où l'astre passe au méridien, et, par conséquent, ps^pm^d=^'-'D,D\i zénith z pour centre traçons l'arc so^ et nous aurons zj = 20, j et o de môme niveau. Faisons le petit arc mo = 07, et calculons-en la valeur. Dans le triangle sphérique/725, on a [équation (i5), n** 76]

cos «5 = cos (/>* — />z ) — a sinpz wps sin« - p ; or sz SB oz sa z/n -h X ; le premier membre devient

coszm coso: — sinznt sinx = cos«/w ( 1 xA ^x sin 2171;

358 GÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

car, X étant fort petit, on peut négliger les troisièmes puissances de cet arc, dans les développements de sin j? et cosx [équations (i6)et (17), n« 32].

Quant au second membre, comme pz » 90"* — /, et ps = go'' — D, il devient

cos(/ — D)— acos/cosDsîn* -/;.

Donc, à cause de zni = pm^pz = ;9f — /?z = D — /, on trouve (A) - x» cos (/— D) -h X 8În( /— D) ea a cos/ cosD sin* - p.

Telle est la relation qui est destinée à donner le petit arc x. Pour cela, on applique le procédé exposé dans la note du n"" 217, en y faisant

, 2COs/cosDsin*^/J , i ,,, ^, ^ ^

X = :—-, — .,. ^' ? A = -cot(/— D) et tangx=x.

416. Au reste, on parvient au même résultat par le moyen suivant, qui montre mieux comment Tapproximation se développe et n'est au fond que le procédé de la note citée.

Négligeons le terme x*, pour une première approximation, et changeons X enxsin i', afin d'exprimer Tare x en secondes de degré, nous avons ,„. , cos/cosD

en posant

^ ' smi"

On a donc ainsi ie nombre x de secondes dont Pastre doii munter de s en m pour entrer au méridien, dans le temps marqué par l'angle horaire p.

Soient H la hauteur de l'astre en .r, Z sa distance zénithale (corrigée de réfraction —parallaxe), valeurs obtenues l'une ou l'autre d'après une observation ; soient A et z les valeurs de ces arcs quand l'astre sera en m au méridien; d'où

(D) A=HH-ar, z = Z — j:.

DiTERMINATION 0B LA LATITUDE OU LIEU. 359

One fois qu'on a z ou A, Féquation (i), n"" 413, fait ensuite connaître la latitude /, comme si Tastre eût été observé au méridien môme.

Mais comme, dans tous les instants voisins, soit avant, soit après le passage, on peut obtenir différentes hauteurs ou distances zénithales successives, savoir H', H', . . . , ou Z\ Z', . . . , en notant les heures />', //, .. correspondantes, on obtient, pour chaque observation, une valeur de h ou de s. Toutes celles-ci devront être les mêmes, parce que les premières ont chacune leur correction propre x', x*, . . . , et les petites différences des résultats devront être attribuées aux erreurs d'observation. Et, puisque ces erreurs se compensent par leur nombre, la moyenne donnera une latitude fort exacte. Tel est l'esprit de cette ingénieuse méthode, dont il nous reste à développer les conséquences.

417. Les hauteurs méridiennes sont H' -h y. H* -h ot* ... ; la moyenne entre n observations donne

H'^H'-h... x'-hx-^-...

égal à lamoyenneU entre les hauteurs + la moyenne x entre les corrections ; de ces deux parties, la première H est celle qu'on lit sur l'instrument après toutes les observations dont il donne la somme, et qu'on divise par n ; ensuite on corrige de la réfraciion — parallaxe. Quant à la seconde x^ conune dans l'équation (B), le facteur/- varie seul avec/?; il faudra prendre pour k la moyenne entre les nombres V^ /'',•.•, attendu que cos/cosD

cosA

est un facteur constant.