Projection orthographique polaire
i". — Le point de vue est à l'infini : les lignes de visée sont parallèles à la ligne des pôles :
D = oc, a = L, r=:cosl.
Il peut sembler bizarre d'étudier tant de projections correctes seulement au voisinage du pôle ; le lecteur voudra bien se reporter à ce que nous disons au § 98 des projections zénithales.
Projeter sur un plan tangent en un point quelconque de la sphère est le même problème que projeter sur le plan tangent au pôle. II suffit de calculer les distances à l'horizon et les azimuts des lieux en fonction de leur latitude et de leur longitude, pour faire du zénith du point de tangence l'équivalent du pôle.
2°. — Si le plan de projection est parallèle à l'horizon du point de coordonnées :
les coordonnées cartésiennes de l'image du point /, L, sont :
.r = cos^.sinL, 7/ = sinl.coslo — sin/„.cos /.cos L. (1)
Pour L = 0, on a :
x = 0, y = sin{l — /„).
Les coordonnées du pôle sont ilonc :
.(•^^O, //=cos/„.
Pour trouver l'équation des méridiens, éliminons /entre les équations (1) :
.i-(l — sin-/„.sin-L) -f .r//sin/„.sin2L -|- ^-sin-L = sin-L.cos-/„. Ce sont des ellipses qui évidemment passent toutes par le pôle. Les grands axes valent 1; les petits valent cos/„.sinL. L'angle o) du grand axe avec le méridien principal est :
tg(.) = sin ^o.tgL.
L'équation des parallèles s'obtient en éliminant L entre les équations (1) :
y- — 2^ sin /.cos /„ + •*•' sin- 1^ = sin- l^.vos- 1 — sin- 1. cos- /„.
Les grands axes valent cos/„ et sont dirigés normalement au méridien principal; les petits axes valent cos /.sin/, et sont dirigés suivant ce méridien.
L'ëquateur a pour image l'ellipse :
//- + .r-sin-/,= sin- /,,.
117. Projection stéréographique polaire (conforme). On met le point de vue en P' (fig. 97); on projette sur le plan tangent au point P.
Cela revient à poser D = — 1, dans les formules du § 115 :
2 cos/ „ /r. l\ 1 +sin/ ° \4 —2/
Pour trouver les propriétés de cette projection, repassons aux coordonnées cartésiennes. On a :
.f = /'cos0 = 2 cosL.tg (j — - j, ?/z=/-siuO = 2sinL.tg ij — .^ j .
Calculons E, F, G (§ 98).
On a: F=0, E = G = 4tg=(|-^).
Donc la transformation est conforme : les angles sont conservés; une figure infiniment petite est transformée en une figure semblable. Le facteur de transformation est :
Pour /=90°, il est égal à l'unité; ce qui est évident.
Non seulement alors les figures infiniment petites sont semblables, mais elles sont projetées en vraie grandeur. '- 2". .— Cherchons ce que devient un cercle de rayon fini tracé sur la sphère.
Nous ne particularisons pas le problème en mettant le centre du
1G6 GÊOGRAI'IIIE M ATll É M ATIQU E
cercle sur le méridien origine; l'équation est donc (S lil) :
sin/.sin/„ + ces Z.cos /„.cosL = cos p; (1)
p est le rayon du cercle, /„ est la latitude du centre; / et L sont les coordonnées courantes d'un point du cercle.
Cherchons la valeur de /• par rapport à /. On trouve :
'ir . 4 — /■-
cos/=7- :, smZ=7 -.
Substituons dans l'équation (1); nous trouvons :
, R- = A- + /'- — 2/'Acosa, (2)
. 2cos/„ 2\/sin-/„ — cos'p
en posant : A=: è — r» R = ■ — r-^-
' cosp4-sin4 cosf + sin/„
L'équation (2) représente un cercle de rayon R, dont le centre est à la distance A de l'origine sur la droite à partir de laquelle les angles y. sont comptés.
Nous appliquerons plus loin ce théorème (Ji 119) qui exprime la propriété fondamentale de la projection stéréographique : les images des cercles tracés sur la sphère sont des cercles. Il est clair qu'elle subsiste que le diamètre l'P' soit ou non la ligne des pôles.
