CHAPITRE V CARTES GÉOGRAPHIQUES (SUITE

Projections sur un plan tangent.

115. Projection gnomouique (polaire centrale, orthodromique).

1". — Projetons sur un plan tangent au pôle; le point de vue V est sur la ligne des pôles, à la distance OY = D, du centre de la sphère.

Sur la carte repérons les points au moyen des coordonnées polai-

Fig. 97.

res; /■ désigne le rayon vecteur, x l'angle avec une droite de référence. L'origine des coordonnées est au point de tangence.

Les coordonnées du point R, image du point Q de la sphère, sont : ^ (1 — D)cos/

sml — D

2°. — Etudions d'abord le cas où le point de vue se confond avec le centre de la sphère :

D^O, o! = L, /'^cotg/.

CARTES CÉOGnAI'IlIQLES IG3

L'intérêt de celte projection est que les grands cercles de la s|)lu''re sont représentés par des droites.

In grantl cercle dé Uni par son inclinaison i sur l'équateur et la !on<^itude L„ de la ligne d'intersection (ligne des nœuds), a pour é(|uation :

tg/ = sin (L — L„). tgf, - = sin(:t — L„). tgi.

Développons, passons aux coordonnées cartésiennes : cotg i=jj cos L„ — X sin L„, qui est l'équation de la droite cliercliée, évidemment parallèle à la ligne des nœuds et située à une distance cotg / de l'image du pôle.

Pour les méridieus, on a : y : .r = tgL„.

3". — Projectio>' horizontale.

La Terre étant supposée sphérique, on peut mettre le pôle en un point quelconque de la surface; la projection conserve la même propriété fonda- 60° mentale {les grands cercles sont représentés par (les droites).

Mais les parallèles sont, non plus des circonférences concentriques, mais des sections coniques.

Il est alors plus simple d'utiliser les coordonnées cartésiennes. Soit l„ la latitude du point de tangence; nous prendrons son méridien pour méridien principal. L'axe des ?/ sera sa projection. L'axe des x sera donc la projection du premier vertical. On trouve aisément : — sin L. cos l. cos L + cos L. sin l

cos /„. cos /. COS L + sin /„. sin Z cosl. sinL

cos /„. cos /. cos L -f sin /f,. sin /' Faisons L = 0, il vient :

.r=;0, y = ig{l—Q.

Pour le pôle, on a : 1=^- : 2, î/ = cotg/„,

L'équation des méridiens s'obtient en éliminant / entre les équations (1) :

.r cos L + y sin /„. sin L = cos /„. sin L.

Ce sont des droites qui passent toutes par le pôle :

,r = 0, 7/ = cotg/„.

Leur inclinaison 6 sur le méridien principal est donnée par la formule :

ts;0 = - = sin/„. tgL.

L'équation des parallèles s'obtient en éliminant L entre les équations (1) :

.i-sin-/ + i/'(sin-Z — cos-/„) — ?/sin24=cos-Z — cos-/„.

Ce sont des ellipses pour les parallèles compris entre le point de tangence et le pôle (Z>/„).

C'est une parabole pour le parallèle qui passe par le point de tangence.

Ce sont des hyperboles pour les parallèles qui sont entre le point de tangence et l'équateur.

4°. — Si le point de tangence vient sur l'équaleur, les équations se simplifient :

x=tgL, ?/=tgZ:cosL,

Les méridiens sont les droites parallèles a^=:tgL; ce qui revient à dire que l'image du pôle passe à l'infini. Les parallèles sont les hyperboles :

— ,r- 4- J/"Cotg^/=l.