Projection stéréographique horizontale et oblique

1". — Nous connaissons les propriétés de la projection stéréographique (§ 117), projection sur le plan tangent en un point A de la sphère, le point de vue étant à l'autre bout B du diamètre de tangence. Les cercles de la sphère étant transformés en des cercles, les images des parallèles et des méridiennes sont des cercles, où qu'on mette le point de tangcnce.

La projection stéréographique est dite horizontale quand le plan tangent est parallèle à la ligne des pôles, par suite quand le point de vue est dans l'équateur (tig. 117).

Cherchons les formules de transformation.

Supposons le point de vue en V à une distance OV = D du centre de la sphère. Les coordonnées cartésiennes du point Q sont : X=:cosZ.sinL, Y = sinZ, Z^cos/.cosL.

Les coordonnées du point V sont : 0, 0, — D.

Menons la droite VQ; cherchons les coordonnées ,r, y, du point R où elle coupe le tableau. On trouve immédiatement :

cosl. sinL D + cos L cos L

sin/

D + cos /. cos L'

Fig. ii:

Pour la projection stéréographique horizontale, on a : 2cosZ.sinL 2sin^

1 + cos/.cosL'

1 + cos Z. cos L' 2°. — Images des méridiennes.

Elles forment un faisceau de cercles qui passent évidemment par les images des pôles de coordonnées 0, ±2.

Les coordonnées de l'image d'un point de l'équateur sont : 7 A n 2sinL

D'où l'équation des cercles et leur construction :

•'" + .'/" + ^''OtgL..i; — 4 = 0.

■'?''• — Images des parallèles.

Les coordonnées de l'image d'un point du méridien YA sont :

2sini^

^ l -\- cos /.

Les cercles cherchés passent par ces points. De la conservation des angles résulte qu'ils sont normaux à l'image du grand cercle de la sphère dont le plan est VUX, image dont l'équation est :

D'où aisément pour les images des parallèles :

En particulier, pour ^ = 0, il faut poser .y=^0 : l'image de l'équateur est un segment de droite, diamètre horizontal du cercle :

■^'' + .'/'=^- Pour / = ±90°, l'équation devient :

elle est satisfaite par .r;=0, y = ±2 : les parallèles se confondent avec le pôle.

D'habitude on se contente d'une construction graphique qui donne le point N le plus bas du cercle image du parallèle M.

Il est normal au cercle

ïu'i/ de son centre satisfait donc à la relation :

où R est son rayon.

D'où l'équation :

4 — AN' 2XN

On sait que le centre du cercle cherché est sur A y ; on connaît un des points N où il coupe Ay; on a son rayon R.

On peut donc le tracer.

4°. — Projection stéréographique oblique.

C'est le même système de projection, mais le tableau est tangent à la sphère en un point A quelconque. Les propriétés générales de la transformation restent inchangées; en particulier les cercles tracés sur la sphère ont des cercles pour images.

Les images des méridiennes passent par deux points fixes II et II' sur l'axe A^; ce sont les images des pôles P et P'. Les images des parallèles onl leurs centres sur Ay. On les construit aisément.

Fig. 118.

135. Projection globulaire de Nicolisi. Projection du Père Fournier.

/' — Images ciucll.vires des parallèles. Les images des parallèles sont définies comme suit. L'équateur a pour image la droite EE'. Nous poserons EE' = -. Le parallèle de latitude J a pour image une circonférence telle

qu on ait :

y = OU = l,

arc EN:

Les distances interceptées sur la droite PP' et sur le cercle PEP'E' sont proportionnelles aux latitudes.

Déterminons le centre C du cercle et calculons son rayon R; l'échelle est donnée parlalongueurEE'=-.

Posons (JG = A.

Nous avons : A — R = /,

D'où: A:

■\-s\nl

Fifj. 119.

■4-sin/— sr

R = A — ;, Ces formules résolvent

le problème.

2°. — Projection gloru-

LAiRE. Images circulaires