PROPRIÉTÉS GEOMETRIQUES DE L'ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION
Longtemps on admit sans conteste la sphéricité de la Terre. Nous sommes certains que la Terre est quasi sphcrique, puistjue son ombre portée sur le disque lunaire, lors des éclipses de Lune, diffère peu d'un arc de cercle. Si la Terre n'est pas une sphère, il s'en faut (le peu.
En 1G72, Richer trouva que dans l'île de Gayenne son horloge, réglée en France, retardait tous les jours d'environ deux minutes et demie sur le mouvement moyen du Soleil. Pour la régler, il fallut raccourcir le pendule d'une ligne un quart, soit 2°"^, 81. Newton et Iluyghens attribuèrent immédiatement ce résultat à la force centrifuge. Mais la nécessité de concilier l'existence de cette force avec le fait que la pesanteur est partout normale à la surface moyenne des mers (condition évidente d'équilibre d'un fluide non visqueux), leur fit conclure que :
La Terre est un ellipsoïde de révolution faiblement aplati suivant L'axe de révolution qui est la ligne des pôles (axe de rotation).
En chaque point de la surface terrestre, la verticale est la normale à la surface de l'ellipsoïde.
Gherclions jusqu'à quel point ces hypothèses sont vérifiées.
Pour déblayer le terrain, établissons quelques propriétés de l'ellipsoïde de révolution.
Notre langage correspond à l'exactitude supposée des hypothèses.
139. Définitions pour l'ellipsoïde faiblement aplati. Posons : OA = rt, OB = ô; c- = a^ — b-.
On appelle excentricité Tune ou l'autre des quantités :
D'où : b = a\/i.—e'-, a = b\'i + E'-;
(I— e-)(i + E2) = l, E^ — e- = e^E^ Partout où nous négligerons les termes en e^ ou en E', nous pose- 3ns: 'e'^E'-.
On appelle oplnlissvnicnt ou ciliplicitv Tune ou l'autre des quantités :
On trouve aisément : 'ly. — 3.- = e-, 2|i + 3- = E-.
Nous poserons donc :
2a = 2,3 = e- = ES
chaque fois que nous négligerons les termes en c' ou E'.
Pour fixer les idées sur les approximations qui vont suivre, on a pour rellipsoïde terrestre des quantités de l'ordre suivant :
Les termes en e^ sont de l'ordre du vingt-jnillièine ; or les quantités a et e- ne sont guère définissables à plus du centième. Autrement dit, s'il est possible d'assimiler la Terre à un ellipsoïde de révolution, cela ne veut pas dire que la Terre soit exactement un ellipsoïde de révolution : il }' a donc un certain jeu dans le choix de cet ellipsoïde.
11 est légitime de poser : 2a = 2,3 = e- = E-.
140. Latitudes géographique, réduite, géocentrique. Zéniths vrai, apparent.
1". — Par hypothèse, la verticale est normale à la surface de l'ellipsoïde; conséquemment la latitude géographique, celle qu'on observerait dans nos hypothèses, est l'angle /.
Dionis du Séjour, à la fin du xviii' siècle, reconnut avantageux de faire correspondre les points P de l'ellipsoïde aux points P' d'une sphère de rayon a, tangente à l'ellipsoïde le long de l'équateur.
n PM a
On a: =y
Le point P' est défini sur la sphère par la latitude X que Dionis du Séjour appelait latitude corrigée, que nous nommons latitude ré' duite.
En définitive nous utilisons les trois angles :
latitude fraie Z=:P«A,
latitude réduite >. = P'OA,
latitude géocentrique h = POA ;
Le point P' appartenant au cercle de rayon a, on a :
tgA=|tgX.
Menons les tangentes PT, P'T, à l'ellipse et au cercle.
Les angles PTO et P'TO sont les compléments de l et de X; d'où ;
tgX-=-tgZ; par suite : tgAr= — tg^.
rnOPRIliTÈS géométriques de L'ELUrSOroE DE RÉVOLUTION
'2". — Evaluons les coordonnées ,c et ij de P en fonction de l :
dy h-x 1
' dx ci-ij tgr
^=rtCOSA =
ft-COS^
acos^
?/ = 6 cos À On appelle
v/6-sin-Z + «-cos"-^ v^l — e^sin"/ i'-sin^ a{\. — c-)sin/
V^6-sin-/f + r/-cos'/ V^l — e-sin-/ pclile normale la longueur P«, grande normale la longueur PN.
Fig. 120.
0N = Ne2sin^.
Calculons le rayon vecteur : R = \(rH-l?-
On trouve immédiatement : a — R ^-Tj-sin-/.
o'\ — Evaluons langle s toujours petit que fait la normale NP (direction du fil à plomb) avec le rayon terrestre OP.
,, ,^ tg/ tg/i <'"tg/
On a : t g £ = tg ^ — /( = r-^^ =-5-- = - -p- -.
'^ ° ^ ' 1 + tg / tg /(. 1 + tg- / (1 — f-)
Multiplions haut ot bas par cos-/; il reste :
c- sin/cos/ e- . , , " 1 — e-cos-t 2
La correction pour passer de la verticale au rayon est donc :
£ = 7y sin2 1^3. sin2/.
L'angle s s'annule pour ^ = 0 et Z = 90°.
11 est maximum pour ^:=45°; il vaut alors a.
Admettons la valeur « = 1:300 = 0,00333; on a sensiblement : e = 11', un peu moins d'un cinquième de degré.
Le zénith vrai est dans la direction OP; il est défini par la lalitudc géocenirique.
Le zcni/h apparent est dans la direction NP; il est défini par la Icttitilde proprement dite.
141. Rayon de courbure de l'ellipse méridienne; arc d'un degré sur le méridien.
i°. — Partons de la formule :
qu'on obtient immédiatement en remplaçant di/ : d.r par sa valeur.
On a r/^j/^ d rdy\ ^ 1 dl ,^^gjj^^
d.F- d.r\d.rj sin-/f/.r' '' di
En différentiant la formule du § 140 donnant .r en fonction de /, on trouve aisément :
d.v a[i — e-)sin^ a{i — e-)
dI~~{i — e'sm'-l)V ^'~ {i —e'sia'iy/
2°. — Pour calculer l'arc A de 1° de méridienne, au voisinage d'une latitude /, remplaçons l'ellipse par une circonférence de rayon p. On a donc :
A=zp.:180.
Négligeons les puissances de e^ supérieures à la seconde. On trouve immédiatement :
Pour /:-^0, le rayon de courbure est (j-:a = a{i — e-);
I^Wr, — a-:b=n:\li — c-.
rnOPIlIETES GÉOMKTIilQLES UE LEU.II'SOIDE DE nÉVOELTIOS 199
L'arc de inéridieune de 1" croit donc, de l'éqiialeiir au pôle, d'une «|uanlilé proporlionnellc au carré du sinus de la latitude. Ses valeurs exlrcmes sont :
àl-éciuateur j^^, au pôle j^.
3". — Résolvons le problème suivant : connaissant deux arcs d'un degré A^ et A,, pour les latitudes moyennes /„ et /,, trouver l'aplatissement de l'ellipsoïde.
La formule (1) donne immédiatement :
A, — A„ = '2^e'-(sin=/, — sin=/„) = ^Q3!(sin-/, — sin-/„).
D'où :
r.a sin-/, — sin-/o'
Si les arcs sont à peu près symétriquement répartis sur lellipse, on a :
t:« = 90(A, + A„V, a=:r,'.' , ."-^-n ^-TT-
■ ' 3A, ^-AoSln'i^ — sin-7o
Si l'un des arcs est sous l'équateur et l'autre au pôle, la l'ormule devient :
