A,-A, '^-SA. + A
k". — En un point de l'ellipsoïde les sections normales principales sont le méridien elle plan tangent au parallèle. Les raj'ons de courbure correspondants sont p, et la grande normale N. On a ;
"' (1— e-sin-/)?' [/i—e-sin-l'
Doù: é=r r-^,= l— e=cos-L
N i — e-sni-l
Les rayons de courbure principaux sont le plus différents possible à l'équateur (Z=0); ils sont égaux au pôle.
142, Rectification d'un arc d'ellipse méridienne compris entre deux latitudes données.
1". — La dillérentielle de l'arc se tire immédiatement de l'expression du rayon de courbure :
(1 — e- sin- /jï ' '' '
La quantité e- étant très petite, développons en série par la formule du binôme, en nous limitant aux termes en e* ;
1 1 — c-sin-/ ■= 1 +-re-sin-Z + -— c'sinV. J, o
200 GÉOGIiAPIIIE M A r/IÉ MA TIQl'E
Remplaçons les puissances du sinus par leurs expressions en fonction du cosinus des multiples de l'arc :
. „, 1 cos-l ... 3 cos2/ . cos4^ sin-^=^ 2-' sin*^ = g 4.___,
ds
— =rt(l — e-)(A + Bcos2/ + Gcos4^),
Effectuons les calculs, intégrons entre 4 et l, :
^ = rtj^(^l__e2__e')(/',y
+ (|e=+^e*)(sin2/, — sin2g + ,^e'-(sin4/,— sin4gl.
Posons: m = I^—l„, l, + l,—2l..
La formule s'écrit :
' = «[(^-4^—64' + (ï^^ + 7p^*) sinm. cos2Z + p^e*sin27H. cos4/ j.
Si l'on connaît deux arcs de méridienne d'amplitude m et de latitude moyenne l, on peut par cette formule calculer les inconnues a et e-, c'est-à-dire le rayon équatorial de l'ellipsoïde et son ellipticilé. On procède par approximations successives, ne conservant d'abord que le premier terme du développement et remplaçant ensuite dans le reste les inconnues par les résultats trouvés.
2°. — Quart du méridien.
Il faut poser dans la formule m^-:2, l=r.-A.
Dou: Q = ^l____
Si l'on s'arrange pour mesurer un arc dont la latitude moyenne soit Z=-:4, on a cos2Z=:0, cos4^= — 1.
Il reste : 5 = ajfl — yc- — p eM m — -p^e'sin2w I,
et à la même approximation :
s 27rt 15 4sin2m
Nous verrons plus tard comment ces formules servirent à calculer le mètre.
rnopniiiTÉs GÉoMiiTniQiES de l'eij.ii'soïde de ni'cvOLVTioy
143. Longueurs des arcs de l"de méridien et de parallèle. Voici, pour (ixor les idéos, les louj^ueiirs ties ari'S de l" de méridien et de parallèle, eu supposant l'aplatissement «^1:293.
