Position du problème

Comiiu' il s'agit d'un arc extrêmement petit de la surface terrestre, (le l'orthe de sept nn'nii/es d'aiii^le dans les cas les plus favorables (12 kilomètres environ), nous pouvons raisonner comme si la Terre

était sphérique, de centre O, de rayon R. Nous posons que le fil à plomb donne ^ la direction du rayon, ou que la surface des eaux tranquilles passant en un point est une sphère concentrique à la Terre ; les plans horizontaux (normaux au fil à plomb) sont tangents à cette sphère. Nous prenons comme plan de référence une certaine sphère M qui est la surface des mers au lieu considéré (fig. 131).

Nous voulons déterminer la longueur de l'arc du grand cercle ab dont les rayons extrêmes passent par les points A et B de la surface terrestre.

Pour cela nous portons bout à bout des règles /■, de longueurs connues /, de manière qu'elles se touchent exactement; nous déter-

220 GÉOGRAPHIE M AT//É MATIQL'E

minons les angles 0 qu'elles font avec riiori/.on, et les angles •> ([u'elles font avec le grand cercle AOB.

Je dis cjue ces données suffisent pour le calcul de l'arc ab.

En effet on a :

AE = AD. cosO=:^cosO = Z( 1 — —

6 est exprimé en radian. Pour un angle de 1° :

soit une correction de l'ordre du dix-millième. La correction est de

l'ordre du millionième (par suite négligeable; voir plus loin) pour

un angle dix fois moindre, c'est-à-dire de l'ordre de 5'.

Pour un angle i avec le grand cercle OAB, la correction (qui est toujours négative) a la même expression. La valeur de l'arc sur la surface S est en définitive :

La longueur de l'arc ae sur la surface de référence M située audessous à la distance h, est :

(^i^i±i:Wz('i Z?î!î±l:^

vu la petitesse de h devant R.

On aura la longueur de l'arc ab en additionnant les longueurs des règles, corrigées comme il vient d'être dit. En général, on s'arrange de manière que la ligne AD...B soit à très peu près sur une surface de niveau (sphère S). La réduction à la surface M peut se faire d'un coup.