Méthode de Jaderin
Jaderin mesure la distance horizontale de deux points avec un fil homogène, de poids p par unité de longueur, tendu par des poids connus et toujours les mêmes.
Le lecteur trouvera dans ma Statique la démonstration du théorènae suivant. *
Un fil homogène sans rigidité appréciable, fixé aux points A et B de coordonnées .r,, y,, r,, y^, prend sous l'induence de la pesanteur la forme d'une chaînette :
7/ = ^[exp'^)+expl^— ^îj.
La tension au point le plus bas(.x'^=0, y=^h] est Ta=pft. La tension en un point quelconque est :
La longueur du fil à partir du point le plus bas est : Développons l'exponentielle en série; limitons-nous aux termes
en j :
exp;^^j=l+^ + 3,- + g^.
La longueur de la corde géométrique qui joint les points A et B, est
GÉOGRAPHIE MA T/IÉMA TIQL'E
Or on a
G = (.r,-.rg + i^(.r, + .r,)"(.r,-,rJ.
D'où enfin : s — C^=:jy-7-,{.t\ — .rj'^:^^ (,r, — .r^'j^
La différence entre la longueur du fil 5 et la corde G est donc en raison inverse du carré de lu tension au point le plus bas et proportionnelle au carré du poids du fil par mètre.
Pour préciser, utilisons un fil de diamètre l'"'",()5, de densité 8,1, pesant par mètre courant yj=:20 grammes environ. Soit T„ = 10 Icilogr. ; p„ : T„ = 0,002, jf- : 24T„-== 1,67.10-'.
Soit enfin .r^ — .r, = 24 mètres.
On a :
G — ;y = 4.10-'= 24= =23.10-' mètres =2,3 millimètres.
La différence est très petite et la correction facile. Soit h =3/, — 3/5, la dénivellation entre les bouts de fil. Soit a la longueur horizontale à mesurer. On a :
s est supposé connu pour la tension et la température qui correspondent à l'expérience. Dans la correction on peut sans inconvénient remplacer .r, — .ï\ par s. D'oîi la formule :
On mesure la pente de la corde AB.
Soit a sa valeur en radian. On a : /j = aa = .ya, sans erreur sensible.
D'où la formule très suffisante :
2". — Dans la méthode de Jaderin, on termine un fil de 24 mètres environ par des réglettes divisées R, R'. Le fil est tendu à ses extrémités par des poids de 10 kilogr. reliés aux réglettes par des cordes souples passant sur les poulies P, P'. Les poulies sont portées par un fort piquet muni de deux étais. Dans ces conditions on peut admettre que le fil est tendu toujours de la même manière, par conséquent que sa longueur s est bien déterminée si la température est connue dans le cas général, à toute température usuelle dans le cas de fils en iiwar (alliage de fer à 30 p. lOO de nickel, dont le coefficient de dilatation est quasi nul).
La figure 137 exagère beaucoup la courbure du fil.
