Superficie d'un triangle, d'un polygone

i". — On connaît les côtés ti. I>, c, du triangle.

Posons : 2/j = a + A + <■'■

On a : S = \/) {p — a){p^b) [p — c). (1)

Voici la démonstration de celte formule.

Soit h la hauteur abaissée du sommet A sur le côté opposé a.

On a : /(=csinB, h' =c' {l—cos'B). (2)

D'autre part :

i- = «- + r- — 2f/f cos B. (3)

Dans (2) substituons la valeur de cos B tirée de .3); on trouve immédiatement :

ia'-h' = 16S- = iah:'- — '«- + c- — b-)-, (4)

expression symétrique en a, b, c, ce qui devait être a priori.

Il ne reste plus qu'à vérifier l'identité des formules (1) et (4), ce qui ne présente aucune difficulté.

2°. — Quand on dispose d'une é([uerre rectangle, on mesure le côté a et la hauteur h correspondante : 2S= a/t.

■T. — Quand on dispose d'un goniomètre, on mesure deu.K côtés a, b, et l'angle C compris :

2S =ab sinC.

On peut encore mesurer un côté a et les angles adjacents :

„„ , sinB. sinC

iS = a- — — -. — 7 .

sin A

On mesure la superficie du polygone en le décomposant en triangles.