X: j3 = «cost + -:^cos(! sm-i ^ J

-.M . , , «E- . V . ,, 16\ ^ : — ^asini + -:^sin(( sm-i r)>

(N'XM^):|? = F = F.(^H-gsin=z).

D'où cette conclusion : la gravité due aux attractions d'un ellip-

soûle do révohttioti de faible aplatissement croit de l'équation au pôle proporlionnelleiiient au carré du sinus de la latitude.

3°. — La gravité n'est pas normale a l'ellipsoïde.

Appelons l l'angle de la normale à l'ellipsoïde avec l'axe des x (latitude) :

ig 1='^^, = ^1(1 + E^-).

Soit l'i l'angle de la force F avec le même axe :

tg|î = J = ^(l

Donc ^X3; la normale à la surface et la force due aux attractions

mutuelles sont disposées comme l'indique la figure 214. On conçoit maintenant la possibilité de trouver un ellipsoïde homogène tel que la pesanteur (résultante de la force centrifuge et de la gravité) soit normale à l'ellipsoïde. La force centrifuge est en effet dirigée parallèlement à l'axe O.r, et diminue la composante X. Déplus elle la diminue dans un rapport invariable, puisqu'elle est de la forme wlr. Reprenons la question dans le détail.

Fig. 214.

271. Introduction de la force centrifuge. Ellipsoïdes de Maclaurin.

1°. — On donne un ellipsoïde de révolution aplati suivant la ligne des pôles; son ellipticité est E^ Cherchons avec quelle vitesse angulaire (0 il doit tourner autour de son axe de révolution pour que la pesanteur (résultante de la gravité et de la force centrifuge) soit normale à la surface.

Soit comme précédemment Oy l'axe de révolution qui est en même temps l'axe de rotation.

La force centrifuge appliquée au point A est dirigée suivant 0.r; son expression est w^.r par unité de masse.

Nous avons trouvé ci-dessus pour les composantes de la force due aux actions mutuelles :

X = P.r, Y = Qy.

Ecrivons 'que la surface de l'ellipsoïde est de niveau; c'est dire que la force est en tout point normale à cette surface ou que le travail est nul pour tout déplacement sur la surface.

ATTftACTroy DES ELLIPSOÏDES 391

D'oii la condition :

(P ,„'),,,/,,■ 4- (jy(/y = 0. ■ (1)

La méridienne a pour équations équivalentes :

Identifions (1) et (2); il vient la condition :

(P — <o=)fl» = Q^'% (P — (o=)(l + E^) = Q. Résolvons par rapport à m' :

...•=p-rfE-.- '"

2". — Explicitons la masse agissante dans les formules (1) du paragraphe précédent; introduisons la constante de la gravitation G (§ 221). Il vient :

GM 4 ,/ G__4 1 + E^ Ë^^ — 3" ''E'i'~3"P £3 ,

P = 2::pg[E-(l + E=)arctgE],

Q = 2::p|(l + E^)(arctgE-E).

La condition (3) prend la forme :

,,)"- (3 + E-^)arctgE — 3E 2?f 2^~~ 'W ~ 3 ■

5°. — Nous poserons :