Action sur un point intérieur
Nous ne devons considérer que l'ellipsoïde semblable à l'ellipsoïde donné et passant par le point X, Y, Z, puisque en vertu du § 260 les actions des homoïds extérieurs au point considéré sont nulles. La quantité 6- est fournie par l'équation :
a- b- c- Le point étant à la surface de l'ellipsoïde utile (§ 260), on a :
•-'•^ . '0 {H'a- + u) \/{iihi- + u) {O^b- + u){r-c- + u)
ou, divisant tout par 0', et prenant pour variable une nouvelle quantité u égale à u : <)-, ce qui ne change pas les limites d'intégration :
^.^Ir.abcX. / =2r.abchX.
Nous pouvons donc écrire :
Par conséquent :
V= V„ + T.abcÇLX-' + M Y» + NZ^).
Ces quantités L, M, N, ne dépendent })as de X, Y, Z; ce sont des paramètres constants pour un ellipsoïde <?, b, c, donné.
On conclut de là que les actions de deux ellipsoïdes homogènes, semblables et de même densité, sur des points homologues de leurs surfaces, sont dirigées de même, et proportionnelles à leurs dimensions homologues.
Partons d'un point A de la surface d'un ellipsoïde plein. Joignons-le .au centre O de l'ellipsoïde; déplaçons-nous sur la droite AO. En tous les points de cette droite la gravité est représentée par des vecteurs parallèles, dont les longueurs sont proportionnelles aux distances des points considérés au centre.
C'est la généralisation du théorème bien connu relatif à une sphère homogène. La gravité est alors toujours dirigée suivant le rayon; elle est proportionnelle à la distance au centre.
Dans tous les cas le centre est un point d'équilibre.
Ellipsoùles de révolution.
270. Attraction en un point de la surface d'un ellipsoïde de révolution.
i". — Appliquons les formules précédentes aux ellipsoïdes de révolution, homogènes, aplatis suivant l'axe. Les demi-axes de l'ellipse méridienne sont a et b. Calculons l'attraction sur un point de la surface, attraction évidemment dirigée dans le plan méridien.
Les formules du paragraphe précédent deviennent :
Jo (a-
Jo (a
du
Posons
{(â + u){b-' + uf
s' e représente l'excentricité :
Substituons dans X et Y. On trouve aisément :
ir.b.r p shls kr.by H s-ds
ATTRACTION D f. S K I. LI l' SO 1 D ES
On a :
s'-ds s r ils
/s-ds s I ils-
S-(ls 1 / . ,-; ^\
= r: i'irc sin s — 5V 1 — 5';.
Pour 5 = 0, les valeurs des inté<i;rales sont nulles. D'où, en multipliant par la densité et en explicitant la masse M de l'ellipsoïde :
X = ^-4—,.r( arc sine — e\ 1 — e^),
An'lieu de l'excentricité e, Laplace utilisait l'excentricité E reliée à e par les équations (§ 135) :
,.^!ZL^, E^ = ^^; (l-e^)(l + E^)=l. a- 0-
Les composantes de la force deviennent :
Développons en série dans l'hypothèse que E est petit : arctgE = E-Ç + Ç-..., (1 + Er' = l-E^ + E*-- ;
2°. — Pour aller, plus loin, reprenons les formules du § 135 donnant .r et y. En posant e'' = E-, on a :
, , aE- 7 • , , x-.= acosL + -y^ cos l sin* t,
«E^ 3/ = « sin / + -5- (— 2 sin Z + sin' V).
Substituons dans X et dans Y :
