Discussion des résultats

i°. Y.^LEUnS PETITES DE L\ VITESSE ANGULAIRE.

L'aplatissement est petit.

Développons en série le second membre de l'équation (1) :

^ ^ EV E° E» 15 u»

arctgE = E-^+^, ,=^=-^—.

Tel est l'aplatissement d'une sphère homogène de densité î déformée par une rotation angulaire <■).

D'ordinaire on énonce le résultat sous une forme un peu diffé-

GKOGRAPniE MATHÉMATIQUE

rente. Introduisons le rapport a de la l'oroe centrifuge et de la pesanteur équatorialcs. On a :

u = (,)*« : Tj -pG<z = — .

L'aplatissement y. est égal aux 5/4 du rapport ii de la force centrifuge et de la pesanteur équatoriales.

L'expérience donne :

L'aplatissement calculé par cette voie est donc :

Il est beaucoup trop fort pour convenir à la Terre. Mais ce résultat de Newton suppose légitime de calculer la figure de la Terre comme celle d'une masse liquide hoinogcne en équilibre; hypothèse très éloignée de la vérité. Nous savons que la densité moyenne est .5,53, tandis que la densité à la surface est de l'ordre de 2,5.

2°. — Valeurs QUELCo^•QUEs de l\ vitesse angulaire.

Bien que ces calculs n'aient aucun intérêt immédiat en Géodésie, discutons le cas général.

Sans faire aucune hypothèse sur la valeur de E, construisons la courbe (1) en prenant E pour variable, u pour fonction.

La courbe débute par la branche de parabole que nous avons calculée ci-dessus :

Elle passe par un maximum pour E^2,56; la valeur correspondante de u est 0,337.

Elle diminue ensuite et tend asymptotiquement vers zéro. La ligure 215 représente la marche de la fonction.

Ainsi, pour des vitesses très grandes, c'està-dire pour des forces centrifuges très grandes par rapport à l'attraction, l'ellipsoïde de révolution n'est pas une figure d'équilibre des masses fluides homogènes. C'est tout ce que le calcul précédent puisse montrer.

Au-dessous d'une vitesse angulaire, déterminéepar la valeur ;< = 0,337, à chaque aplatissement correspondent deux vitesses possibles.

Pour ii> 0,337, il n'y a pas d'ellipsoïde de révolution qui soit d'équilibre. C'est ce que Laplace énonce sous la forme suivante : toute masse fluide homogène d'une densité égale à la moyenne densité de la Terre, ne peut être en équilil)re sous une forme elliptique

Fig. 215.

ATTHACT/Oy DKS ELLIPSOÏDES Sii:»

si la durée du tour est inoimlre (|ue 0,1001) jour. Si elle est plus grande, il y a des figures elliptiques d'écpjilihre.

Si la densité de la masse (Uiide dilfère de celle de la Terre, la durée du tour pour laquelle l'équilibre cesse d'être possible, s'obtient en multipliant 0,1009 jour par la racine carrée du rapport de la densité moyenne de la Terre à celle de la masse fluide. Si la densité du fluide devient 4 fois plus petite, la durée du tour doit rester supérieure à 0,2018 jour pour qu'il existe deux formes d'équilibre.

Quand la vitesse angulaire décroît indéfiniment, l'un des ellipsoïdes tend vers la sphère (E = 0); l'autre tend vers un disque circulaire d'épaisseur nulle et de rayon infini (E=: oo).