Remarques sur la stabilité

1\ — Pour bien comprendre ces résultats, le lecteur n'oubliera pas qu'une masse fluide immobile dans l'espace est en équilibre sous la forme sphérique, en raison des attractions réciproques de ses parties qui tendent à diminuer son volume. Sphérique et isolée dans l'espace, elle n'a aucune raison de prendre quelque mouvement que ce soit. Elle est naturellement d'autant plus difficile à déformer que les attractions entre ses parties sont plus intenses; autrement dit, que pour une irileur imposée de la constante de la gravitation G, sa densité est plus grande.

Dans le cas de la déformation par rotation, une valeur déterminée de u correspond à une valeur déterminée de u- : p, ou de <o : V z.

Si la masse en rotation est quasi sphérique et de rayon R, on a :

CM gravité ^-qV, force centrifuge équatoriale = (o-R;

"~GM~4-Gp" Poser : «=0,337, revient à écrire :

2^Gf

C'est sous cette forme que certains auteurs énoncent la condition.

2°. — Théorème de Poincaré.

Si la vitesse angulaire co dépasse une certaine limite, il n'existe aucune figure d'équilibre stable possible.

Voici la démonstration que Poincaré donne de ce théorème (du reste évident). Pour que l'équilibre soit stable, une condition nécessaire (non suffisante) est que la résultante de l'attraction et de la force centrifuge (qui doit être normale à la surface extérieure) soit dirigée vers lintérieur de la masse.

Soit V le potentiel dû à l'attraction, /■ la distance à l'axe.

Posons: U^V + -:j— •

Les composantes de la force sont :

0\]:0.r, 0\]:dy, d\]:dz.

La composante suivant la normale à la surface intérieure est t'U: dii. On a :

p est la densité.

Nous ne faisons qu'appliquer le théorème de Poisson. La force centrifuge se conduit comme une densité négative.

Le flux de force total à travers la surface a les expressions équivalentes :

où c est l'élément de volume. D'où :

<l=fj'j'—i-p(h + 2or /'jy(/c' = ('(2<o^ — 4-Gp),

si la masse est homogène.

La force devant être partout dirigée vers l'intérieur, tous les éléments de l'intégrale (1) doivent être négatifs; l'intégrale doit donc elle-même être négative.

C'est impossible si (o->>2-Gp.