Pesanteur à l'intérieur de l'ellipsoïde

1°. — Considérons la série des ellipsoïdes pleins semblables dont les méridiennes sont représentées par l'équation :

Ils ont tous même ellipticité. Si donc la pesanteur est normale à l'un deux pour une certaine vitesse (o de rotation, elle est normale à tous; ceci en vertu de Téquation (4) du § 271 qui ne contient que E, (0, et des paramètres G et p supposés communs à tous les ellipsoïdes.

D'autre part, nous savons (§260) que l'action d'un homoid sur tout point intérieur est nulle.

Ceci posé, partons de l'ellipsoïde :

il tourne par hypothèse avec une vitesse m telle que la pesanteur soit normale à la surface. Enlevons l'homoïd compris entre l'ellipsoïde <) et l'ellipsoïde 0 — f/0; considérons un point A sur ce second ellipsoïde. Du fait que nous avons enlevé l'homoïd, rien n'est modifié à la pesanteur qui existait antérieurement au point A; nous savons d'autre part que sa pesanteur actuelle est normale à l'ellipsoïde sur

ATTIiACTlOy DES ELL/PSOIDES 305

lequel il se trouve. Donc les lignes tie force dans rellipsoïde de révolution plein :

sont les trajectoires orthogonales du faisceau des ellipsoïdes (1).

Le lecteur vérifiera aisément que dans tous les méridiens ces trajectoires sont des courbes paraboliques d'équation :

Pour a— b, Oïl retrouve le faisceau de droites : y = P)x. 0 est le paramètre p variable du faisceau.

Fg. 216.

2". — Les lignes de force partent toutes du centre (qui est évidemment un point d'équilibre) tangentiellement à l'équateur, pour aboutir normalement à la surface de l'ellipsoïde plein.

L'équation différentielle des courbes (2) est :

dx b- X '

Soit 0 l'inclinaison du rayon vecteur issu du centre; soit y. l'inclinaison de la tangente; on a :

les courbes (2) coupent toutes sous le même angle le même rayon vecteur, ce qui est évident a priori.

Elles coupent toutes à angle droit le rayon polaire OB; elles sont toutes tangentes au rayon équalorial OA.

Eliminons y entre (2) et (3); il vient :

tgx=e

275. Variations d'intensité de la pesanteur à la surface de l'ellipsoïde tournant.

1". — II est important de ne pas confondre les mots pesanteur et gravité. La pesanteur est la force qui entraîne l'unité de masse; la gravité est la force qui provient des attractions, qui par conséquent s'exercerait seule sur les corps si la masse ne tournait pas.

Déterminons la direction de la pesanteur dans Tliypollièse de Clairaut.

Nous allons montrer que la pesanteur en un point, pesanteur gui est par /u/pot/ièse normale à la surface limite, est im'erscinent proportionnelle à la distance du centre de l'ellipsoïde au plan tangent à la surface en ce point.

Le théorème n'est pas exact pour un ellipsoïde immobile, seraitil homogène et de révolution; la pesanteur se réduirait alors à la gravité. 11 n'est exact que parce que nous supposons à sa surface extérieure la forme d'équilibre qui convient à la vitesse de rotation.

Nous avons trouvé ci-dessus pour la résultante des forces :

avec la condition :

g° est donc proportionnel à :

D'autre part, la distance du centre de l'ellipsoïde au plan tangent

est: >J, — Ti

^'^ V «. + p = '^^-^-^'^ + 3/ni + E'-)^ (1)

g est donc bien en raison inverse dey^.

En particulier la pesanteur à l'équateur de l'ellipsoïde est à la pesanteur au pôle dans le rapport du demi-axe polaire h au demi-axe équatorial a.

2°. — Pour calculer le terme variable de g, introduisons dans l'équation (1) les valeurs .r- et //"- tirées des équations du § 139. Remplaçons e- par E-, puisque nous nous limitons aux termes en c-. Il vient :

p = al 1 — ^ sin-i ] = a :, i -f -»-sm-i j.

Soit^^ et ^, les accélérations au pôle et à l'équateur. On a donc :

g=gAi--i--^sm-l

La pesanteur croit de l'équateur au pôle ; la variation est proportionnelle au carré du sinus de la latitude.

Pour obtenir l'aplatissement., on divisera la différence des pesan* teurs au pôle et à l'équateur, par la pesanteur à l'équateur.

Rapprochons ce résultat de celui du paragraphe précédent :

ATTRACTIOS DES ELLIPSOÏDES 397

Ces résultais satisfont à la lormule célèbre de Glairaut-Laplace :

qui s'appli(iae aux sphéroules hétérogènes {i 277 .

276. Forme d'équilibre définitive d'une masse fluide homogène d'abord tournant trop vite.

1". — Laplace pose et résout ce [)i-oljIénie ilans le Livre III de sa Mécanique ce/este. Si le mouvement de rotation primitivement im[)rimé à une masse (luide est plus rapide que celui qui convient à la valeur limite «^0,337, elle s'aplatira de plus en plus; mais, son moment d'inertie croissant, elle tournera de moins en moins vite. Elle pourra donc parvenir à une forme et à une vitesse comprises dans les limites de l'équilibre et se fixer dans cet état.

Montrons que la chose est possible.

Le moment d'inertie d'un ellipsoïde par rapport à son axe de révolution est : o

où a est le rayon équatorial. La force vive correspondante \V est :

2 lo ' 15 • ^ '

Il serait faux d'admettre que, dans le changement de forme, la force vive se conserve; assurément en effet des frottements existent. Nous devons admettre au contraire que les aires se conservent; d'où la condition : ,

Y^-pb''{i + E-)-co = A.=: constante.

La conservation de la masse totale fournit l'équation :

T^.-b^P (1 + E') = M =constante.

Résolvons par rapport à U = 3M-:4::p. Il vient :

Transportons dans l'équation (4) du § 271.

Nous ti'ouvons la condition :

2u' , , -5 (3 + E^)arctgE-3E ^ll + E-; -g^ .

Posons: o = ^c) 3]^, — arctgE.

9 > 0 pour E très petit ; 9 < 0 pour E = x .

il existe donc entre E = 6 et E= x, une valeur de E qui annule z.

Donc quel que soit u\ c'est-à-dire quel que soit l'ellipsoïde et sa vitesse initiale, il existe une figure elliptique pour laquelle la masse fluide peut être en équilibre.

U = 25A'-(^::pVM '^(l+E^) '=u'{i. + E^