Théorème de Clairaut sur l'attraction des sphéroïdes

i". — Nous avons calculé l'attraction à la surface d'un ellipsoïde de révolution homogène, en équilibre sous l'action des attractions mutuelles de ses parties et de la force centrifuge.

Nous sommes arrivés au résultat suivant (§ 275).

Soit ^, l'intensité de la pesanteur à l'équateur; son intensité à la latitude l peut être mise aous la forme :

ê"=i§v(l + Tsin'/); le paramètre y mesure la variation totale.

Posons a:=[a — b):a^ où a et b sont les rayons équatorial et polaire de l'ellipsoïde; a mesure l'aplatissement.

Soit enfin u le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sur l'équateur de l'ellipsoïde. On doit avoir :

ou 5ii

L'hypothèse d'un ellipsoïde homogène est inadmissible, d'abord parce que la densité moyenne de la Terre n'est sûrement pas égale à

COORDISATION DES MESURES DE LA PESAyTEVR 399

la densité superficielle (§22'i); ensuite parce que les coefficiens z et y sont fort loin d'être égaux.

Pour contestable que soit en toute rigueur l'interprétation des mesures géodésiques, la surface terrestre se rapproche d'un ellipsoïde dont l'aplatissement est :

Quelle que soit l'incertitude sur le coefficient ■', il ne doit pas beaucoup s'écarter de :

Rappelons qu'on a :

« = 1:289=0,00347 5« :2 = 0,00867. Les nombres f(ue j'indique, ont été choisis de manière à satisfaire l'équation (de Clairaut) :

L'hypothèse d'un ellipsoïde homogène est donc insuffisante; il fallait la généraliser.

Je dirai plus loin quelques mots sur l'hypothèse de couches ellipsoïdales. Mais l'hypothèse plus générale d'un sphéroïde de révolution corps peu différent d'une sphère , ayant un plan de symétrie normal à l'axe de révolution, conduit à des calculs plus simples.

2°. — Cherchons donc comment agit sur un point de sa surface un sphéroïde limité par une surface de niveau, la distribution intérieure des densités restant voisine de la svmétrie sphérique.

Le problème semble indéterminé ou d'une complication infinie.

La solution de première approximation est pourtant immédiate.

Je renvoie à mon Cours sur les Mécanismes pour la définition des pùlynômes de Le gendre.

La simplicité de cette solution vient de ce qu'au lieu de choisir le corps et de calculer son potentiel, nous définissons le corps par le potentiel qu'il produit. Choisissons donc pour expression de ce potentiel les fonctions les plus simples compatibles avec la symétrie imposée au corps et satisfaisant à l'équation de Laplace.

Appelons /• la distance au centre du sphéroïde, / la latitude.

Nous sommes conduits à poser :

Y = ^[l+A(i 3sin^/,].

On peut considérer la force centrifuge comme dérivant du potentiel

(o-/--cos-/:2.

D'où le potentiel total :

,. GMr, , A „.,,,, t.)=/-^ ,,-\ ,^

^=— U + 975(1 — 3sin=/i + ;^^^cos^n. il)

La surface libre étant liquide au moins en partie, il faut écrire qu'elle est de niveau : le potentiel y est constant.

D'oii réqualion de la méridienne :

Avec une approximation suffisante, nous pouvons remplacer /• par sa valeur approximative B dans les termes petits du second membre :

'•-B[l + A(i 3sin»-/) + |^cos-^/]. (2)

Le problème est ainsi complètement résolu.

2°. — Explicitons les données expérimentales.

La pesanteur n'est pas exactement dirigée suivant le rayon.

Mais peu s'en faut; on a donc approximativement :

OV GMr, , 3A,, o ■ ,n '"''•' o,l ,0

g = -^=— [i + ^.(l-osm-/)-^-^jCos-^J. v3)

Remplaçons r par B dans cette équation; g prend la forme :

Le rapport u de la force centrifuge équatoriale à la pesanteur équatoriale est :

«=B^ G M Enfin, le raj'on équatorial «, le rayon polaire b et l'aplatissement a sont :

""^ a "2B-'^2GM' D'où la célèbre condition de Clairaut-Laplace :

Nous venons de démontrer qu'il n'est pas contradictoire de prendre une certaine forme pour le potentiel d'un sphéroïde, à la condition de lui donner une certaine méridienne et de réaliser entre l'aplatissement y., le coefficient y qui donne la variation de la gravité, et le rapport u de la force centrifuge à la pesanteur équatoriales, la condition :

Pour la Terre : u = 0,00347 = 1 : 289.

Bien entendu, nous ne pouvons pas remplir notre sphéroïde d'une manière quelconque; le problème reste entier de savoir quelle doit être la distribution intérieure des densités. Il fait la joie des mécaniciens depuis Clairaut; nous en dirons encore quelques mots un peu plus loin.

COORDINATIOS DES MESIUES DE LA PESAyTEVR 401

3°. — Remauquks.

La formule (2) a un curieux coroUairer

Supposons le sphéroïde immobile ((.) = 0); étudions donc l'allraction due à la gravité seule. QuanS la condition : 1 — 3siu-Z=:0, est réalisée, on a :

L'attraction est alors la même que si toute la masse du sphéroïde était réunie en son centre. Connaissant G, g, r, on peut calculer la masse du sphéroïde.

Nous n'utilisons que le premier des polvTiômes de Legendre; il est tout aussi légitimo d'en utiliser /; ; a priori rien ne dit ((u'il soit suffisant de se limiter au premier.

La formule V n'a donc rien d'aijsoluinent nécessaire.

278. Formules pour un ellipsoïde constitué par des couches de densité variable.

i". — La théorie précédente laisse en suspens la loi de distribution des densités à l'intérieur des sphéroïdes. Indépendamment de toute théorie, nous pouvons considérer la Terre comme formée de couches respectivement de densité uniforme, séparées les unes des autres par des ellipsoïdes de révolution d'aplatissement z : rt (1 — a) = i, {a — i) : ft=:a;

a est le demi-grand axe équatorial, h est le demi-grand axe polaire.

La densité p et l'aplatissement :; sont donc des fonctions de la variable a.

Prenons pour unité le ra^-on extérieur équatorial : quand nous passons du centre de la Terre à sa surface, a varie donc de 0 à 1.

Exprimons les quantités dont nous aurons besoin en ne conservant que les termes principaux.

2°. — Le volume c d'un ellipsoïde de révolution et ses moments d'inertie G par rapport à l'axe polaire, A par rapport à un diamètre équatorial sont :

i' = ~a-b, C=T^ T.pa'b, A:=-r^zza-b(a- + b-).

3 lo lo ' ^ '

Ne conservant que les termes principaux, nous calculons la masse M et les moments d'inertie comme s'il s'agissait d'une sphère. D'où :

M = 4r / pa-Ja, C=^-^ / :«'

la.

Sous le signe somme, a est le demi-grand axe variable des ellipsoïdes qui séparent les couches de densité uniforme. La densité moyenne a pour expression :

A„, = -: / za'-da.

402 GÉOGRAPHIE MATUÉM ATI QUE

Nous avons pour la Terre entière (§ 2'1\] :

.9°. — La théorie de la précession et de la nutation (Voir Dijnnjuiquc générale) introduit le rapport (C — A) : C.

Calculons-le; ici nous devons conserver les termes en 2.

C — A = -rr- a-b [a- — b-)^=-^a'».

quand lellipsoïde est homogène.

Pour un ellipsoïde de densité continûment croissante, nous aurons donc les variations de a étant très petites) :

— P — ^ / ^oLa^da: 1 pa'da.

Si l'aplatissement a est constant (ellipsoïdes semblables), on a simplement :

La théorie de la précession impose la valeur numérique : (C — A): G = 1:305,5,

nombre qui diffère peu de l'aplatissement superficiel donné par les mesures géodésiques :

Par conséquent a doit être peu cariable du centre de l'ellipsoïde à la surface; sa valeur moyenne est plus petite que la valeur superficielle.

'1". — Le rapport u de la force centrifuge équatoriale à la pesanteur équatoriale (calculé comme pour une sphère) a l'expression : , /GM\ a\^'- 3„r V a- ) GM 4zGA,„

(OOItDlN ATIOS DF.S MESURES DE LA PESANTEUU 40:t