Théorie de Clairaut

1". — Les calculs piv-ccilciits sont ulilcs pour fixer les idées et préciser le peu crinduence (ju'a l'héléiogénéité sur la valeur du rapport (G — A) : C. Quelle que soit la loi de variation des densités, si raplalisseiiicnt des couches reste le niènie, le rapport en question a la même valeur que si le sjjliéroùlc était homogène.

Clairaut s'est efforcé d'aller plus loin. Il s'est demandé quelle devait être la loi théorique de variation des aplatissements pour que des couches superposées, liquides et homogènes, soient en équilibre les unes par rapport aux autres quand, en raison des frottements, on leur impose une vitesse angulaire commune. Il est arrivé à une équation différentielle entre l'aplatissement a et le grand axe a de la surface elliptique de révolution correspondante, équation qui contient la densité comme paramètre; elle est célèbre parmi les mathématiciens. '

Je n'exposerai pas ce travail admirable, mais d'une utilité médiocre pour l'élude expérimentale qui nous occupe.

Voici quelques résultats.

Clairaut trouve, ce qui du reste est évident, que l'aplatissement X croît du centre à la surface du spliéroïde. D'où résulte immédiatement ([ue le rapport (G — A) : G est plus petit que l'aplatissement superficiel. C'est conforme à l'expérience.

Comme nous le disons plus haut :

(G — A): C= 1:305, a superficiels 1 : 293.) 2°. — L'aplatissement superficiel doit être compris entre u:2 et 5m : 4. D'où résulte (sj 277) que le coefficient y de la formule du pendule doit être compris entre ou : 4 et 2u.

Introduisons la valeur zi=0,00347 = l : 289; on a :

Conformément à ce résultat, on a trouvé :

La limite : a=Y=-T-

suppose l'homogénéité (§ 275).

L'autre limite : a=.y, '(=^2u,

correspond à une loi de décroissance rapide de la densité; on peut dire qu'elle suppose toute la masse concentrée au centre.

3°. — Une conséquence de la théorie de Clairaut est exprimée par la relation :

GÉOGRAI'HIE SA TU EMATIQUE

qu'on peut écrire :

■=:La — ;^j / ^a'da: 1 pcMcL,

c^=(^-ljf-;/ ?^'

(la.

Toutes les quantités qui entrent dans cette formule, sauf la dernière intégrale, sont fournies par l'expérience. D'où :

^= / paVrt = 0,048

Cest le rapport du moment d'inertie à la cinquième puissance du rayon équatorial.