LIVRE VINGT-NEUVIÈME

Suite de la Théorie de la Géographie. — Des Cartes géographiquet et bydrographlqaef par conique et cylindrique. •— Det Projections par parties proportionnelles.

« Parmi tous les corps qui peuvent être exactement retracés sur un plan , le cône et le cylindre ont le plus d'affinité avec la sphère ; le cône surtout offre l'avantage qu'une petite zone conique ne diffère presque pas d'une zone sphérique. Aussi ce sont les développements coniques qui fournissent les meilleures projections des cartes géographiques spéciales , et même , à l'aide de quelques modifications , pour des parties considérables du globe. C'est donc par l'explication de ces sortes de cartes que nous allons commencer.

»» Dans la projection conique pure, on considère une zone sphérique comme se confondant avec la surface d'un cône tronqué qui lui est tangent. Si on développe cette surface , les parallèles deviennent des cercles droits du sommet du cône , pris pour centre ; les méridiens sont des droites qui passent toutes par ce même point et se dirigent vers la base du cône. Afin de mieux fixer les idées à cet égard , ayons recours à la figure 31. Soit PC le rayon de la sphère , M un lieu situé à la latitude EM , et OM la cotangente de cette latitude. Le développement du parallèle moyen a pour rayon la cotangente de sa latitude , et pour amplitude l'arc égal à la circonférence dont MR est le rayon.

» Bu point 0 , pris pour centre {fig. 32) et avec le rayon OM , nous décrirons un arc in-

défini NN', et prenant OG pour le méridiendB milieu de la carte , nous ferons l'angle NOM égal à la moitié du nombre de grades contenus dans le parallèle moyen. Supposons, par exemple , que ce parallèle comprend 25 de^ sur le globe , et que la différence en latitude des parallèles extrêmes soit de 30 degrés, le parallèle moyen aura sur la carte un nombre

de degrés exprimés par^ 25 degrés. Telle

OM' est l'amplitude de cet arc , puisque les nombres de degrés contenus dans deux arcs de même longueur sont entre eux comme leurs rayons.

MR

Ainsi l'angle MON étant égal a ^.^^ > i>

est évident que les projections des méridiens feront entre eux des an^es moindres que sur le globe , puisque MO est toujours plus grand que MR. Par conséquent, les parallèles de la carte , tant supérieurs qu'inférieurs au parallèle moyen , excéderont ceux du globe dont ils sont les projections ; et plus on étend la carte dans le sens des latitudes , plus les deux extrémités offriront une proportion inexacte. Pour marquer dans la projection ces parallèles extrêmes , on prend sur l'axe de la carte OG,

(I) Lambert, Mémoires sur les matbémaUqott mixtes, III, p. 106 (en allemand). EuUr,Uim.tvt les solides développables, dans les iVovi CommpU' Pftrop., XVI, î.

GEOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

deux parties Ma et M6 égales à la moitié de différence de latitude des parallèles extrêmes, par exemple à 15 degrés dans le cas proposé. On représente ensuite ces parallèles par les arcs Diy et EE', et on finit par partager en parties égales le méridien du milieu et le pa* rallèle moyen, ce qui donnera la graduation de la carte.

» Les défiauts de cette projection sont de ne point conserver Tégalité entre les espaces et de ne donner les distances justes que dans le sens des méridiens. Pour y remédier , on a essayé deux moyens : Tun consiste à prendre , au lieu du cône tangent , un cône inscrit en totalité ou en partie ; Tautre , c*est d'altérer la projection rectiligne des méridiens.

» Si , en place de Tare ab , fig. 32 , on prend la corde qui le sous-tend pour le côté du cône à développer, les rayons des projections des parallèles extrêmes seraient aO et bO , et la carte aurait une exactitude rigoureuse sur ces parallèles; mais ceux qui se trouveraient intermédiaires pécheraient un peu par défaut. Cette méthode n'est donc bonne que pour une zone de peu de largeur.

» L'astronome Delisle de La Croyère , qui ftit chargé de construire une carte générale de Tempire de Russie , carte qui , stéréographiquement tracée , of ù*ait des difformités choquantes , fit choix de la projection conique ; mais , pour la perfectionner, il imagina de faire entrer le cône dans la sphère de manière qu'il la coupât suivant deux parallèles placés chacun à égale distance du parallèle moyen , et de Tun des deux parallèles extrêmes. La carte avait, par ce moyen, sur les deux parallèles dont on vient de parler, la même dimension que la partie correspondante du globe ; et son étendue totale différait peu de celle du pays qu'elle devait représenter, parce que l'excédant qui se trouvait aux deux extrémités de la carte était au moins compensé en partie par le défaut qu'avait , à l'égard de la zone sphérique , la portion inscrite du cône. La carte comprenant depuis le 40« degré de latitude jusqu'au 70« , le parallèle moyen répondait à 55*, les parallèles communs avec la sphère étaient ceux de 47' 30' et 62" 30'. Cette projection offre beaucoup d'avantages pour les cartes générales d'une étendue considérable , et dont 16 but principal est

de montrer l'ensemble tf un vaste empire (*)• » Le célèbre Euler a fait des recherches profondes sur cette méthode de projection ; il y substitue, à la détermination des parallèles qui doivent être communs avec la sphère, celle du point de concours des lignes droites qui représentent les méridiens , et de l'angle qu'elles font entre elles lorsqu'elles comprennent un degré de longitude. Ses calculs sont appuyés sur les conditions suivantes : 1<> que les erreurs soient égales aux extrémités méridionale et septentrionale de la carte; 2® qu'elles soient aussi égales à la plus grande de celles qui ont lieu vers le parallèle moyen de la carte. Il en conclut que le point de concours des méridiens doit être placé au-delà du pôle , d'une quantité égale à 5® de latitude , et que l'angle de deux méridiens consécutifs doit être de 48' 44". Ce géomètre cherche ensuite de combien les arcs des grands cercles qui mesurent les distances sur le globe , diffèrent des lignes droites qu'on leur substitue sur la carte; et il trouve qu'un arc de 90® aurait sur la carte une longueur de 90^,79, exacte à moins d'un centième près (^j. » Un géomètre anglais , Murdoch , a proposé trois méthodes différentes pour rendre la projection conique plus conforme aux conditions d'une bonne carte (^). Ce savant s'étant expliqué d'une manière laconique et peu exacte, ses projections ont été moins appréciées à leur juste valeur que vantées ou blâmées sur parole. Nous en devons \m exposé critique aux recherches des deux géomètres allemands (*). Mais nous nous écarterions de notre méthode générale de ne point parler le langage abstrait des mathématiques , si nous voulions donner une idée complète de toutes les règles de ces projections. La première présente deux parallèles parfaitement semblables à ceux de la sphère et une surface conique égale dans sa totalité à la surface sphérique ; mais elle resserre les distances vers le milieu et les agrandit aux extrémités ; les espaces mômes ne sont point égaux , en partageant la carte par deux ou plusieurs zones (5). Cette projection offre ce-

(') Mayer, Introduction à la construction des cartes , §S 31 , 32. — M Euler , Acta acad. Pelropol. I, pag. 1. - (^ ;Philosoph. Transact. vol. L., pari. II. pag. ôMet'suiv. — (*) Mayer, Inlrod., p. 298-311, Albers dans Zach, Correspondance aslron., XI, 98-114, 240-260.

(5) « Soit dans la fiyure 33 , C le centre de la lerrc, Q un point de Véqualeur , P l'un des pOles , QMP un

UVRE YINOT^MEnyiÈMB.

pendant nne rq^résentations^isibleinent fidèle, lorsqu^on n*en fait l'application qu*à des zones de 8 à 10 degrés de latitude. La seconde projection de Murdoch a pour but d'obtenir Texaetitude de la perspective , en plaçant ToeU au centre du globe comme dans la projection centrale; mais, pour que cette condition se trouve remplie , il &ut que la carte soit pliée en forme conique comme le sont les cotUglebia célestes, publiés en Allemagne par Funk. Cette dernière projection est susceptible d'une échelle croissante comme les cartes hydrographiques de Mercator, dont nous parlerons ci-après. La

méridien, A et B les poinU dMotersectlen de deai parillèlef. Supposons QA = « = 70 degrés de latitude (ane. mes.) e( QB = |3 = 10<». QM = ^ = \ ( « + 13) sera = 40*. Il faul maintenant que la zone delà sphère, limitée par A et B, soU représentée sur une surface conique égale en étendue à la zone spbérique, et de manière que la largeur de la zone spbérique soit égale à Tare BA. En d'autres termes, on cherche le quadrilatère NO o n qui, en tournant autour de Taxe o n , décrira une surface conique égale i la surface sphérique décrite par la révolution du segment BA a /3, de manière que NO dans le cAne reste égal à Tare BA. »

« On voit que la ligne NO coupe l'arc BA dans les deux points ( et n qui sont déterminés par les angles C CM et it CM , dont la somme est égale chacune A i. Si on prend le ra jon de la sphère = 67^29677 degrés

= p, on troQven cos ê =

ginî(«~P)

« On en conclut Kp = B, le demi-diamètre de la projection en degrés de latitude B = Kp = p. cotang fi. cos ^; ou, si l'on suppose p. 15 =t), en milles géographiques B = r. cor /a. cos i, »

« Dans l'exemple donné , nous aurons S = 17<» te\ par conséquent >i = /x, + # = 40» -}- 17» 16' = 57o 16 , et Ç= f* — ^ = 40» — 17M6' = 22o 44', enân B := 978,1 milles géographiques.

« Gomme en outre KO =MA=30<> = 30. 15 =450 milles géogr. et KN= MB = SQo =30. 15 = 450 milles géographiques, on connaît les deux extrêmes cercles de la zone conique par leurs demi -diamètres, savoir î pO = R — KO = 978,i — 450= 528,1 milles géographiques et pN = R + KN = 978,1 4, 450 =: 1418,1 milles géographiques. »

« La fig, 34 représente une projection conforme é ces données et comprenant 110 degrés; mais on n'y connaît encore que les demi-diamètres pour les lati- « tudesdelO»=pN,de40=Rel de70»=pO. Il est évident que les deux triangles pkK et CFM sont semblables, puisque les angles Jlr et F sont tous les deux = 9O0 et l'angle p = MCF = 90» — MCp. On en lire facilement la proportion CM : MF=pK : ÏU, et comme CM = sinus total := 1 et MF =zsin f*, nous substituerons A pK une longitude géographique quel-

troisitoie prqjection de Muidedi ne pfqratt riea offKr d'avantageux*

. » Quelque ingénieuses qae soient les modifications par lesquelles on a essayé de perfectionner la projection conique, il est évident qu'elles aboutissent toutes à faire perdre à cette projection sa simplicité et sa facilité priQutives, sans obtenir complètement les autres avantages qu'on voudrait lui donner. Dansiez projections d'après Murdodi et Euler, il y a toujours quelque partie de la carte où les espaces sont un peu trop grands ou un peu trop petits ; les erreurs sur les distances, dans la première proconque , pour laquelle on veut ealeuler r«Dgle SpW = X , et à Kjk , rangle cherché SpW , on aura la pror portion 1 î «in f* = X : SpW, c'esl-à- dire : SpVf^ >. sin fx.

» Dans notre carte qui doit comprendre 1 10 degrés de longitude , l'angle SpW sera = 110. wif ;i. Donc

logX=logn0 =2,04189Î7 + log«tt|*=log«it 40^=9,8080675— 10

log SpW 1,8494602 =log 70,7066

et par conséquent l'angle SpW=70'» 4î' puisqu'il n'y a pas d'inconvénient à négliger les 0,0066 qui font 24".

» On partage maintenant l'angle SpW sur l'arc SW en onze parties égales , et par lA on détermine les méridiens de la carte de 10» en 10\ » [Albert, loc. cit.)

Cet auteur montre ensuite comment , en prenant un méridien principal « 1, on peut calculer les itoints d'intersection de tous les méridiens avec les parallèles extrêmes.

Il donne ensuite pour la détermination des parallèles restants la méthode suivante, conforme aux conditions que Murdoch s'est imposées.

« K VI est = K Ç. Dans le triangle CIL vj qui est rectangle en K le côté K t) = r. sin KCiq = r , sin i ; et de même dans le triangle CKÇ, le côté K Ç= r. sin ê. Pour notre carte nous aurons

log r = log (57,29... X 15)

= log 859,4366 = 2,9342139 + log«n^=log«fil7o 16' = 9,4724922 — 10

log K t) = log K Ç = 2,4067061 =log255, t.

Donc K Yj = K Ç= 255,1 milles géographiques. D'on l'on conclut facilement p>i = pK— Ktieip Ç = pK

Mais Murdoch se contente de tracer les parallèles en divisant TS ou VW , flg, 34 , en parties égales , procédé irrégulier, contraire aux conditions du problème, et qui cependant diminue les défauts de la carte. M. Albers a cherché et découvert une loi géométrique pour tracer les parallèles de manière é rendre partout les espaces égaux à ceux de la sphère. Voyez le Mémoire complet & Albers , dans le vol. XII des Annales des Voyages et de la Géographie,

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

jectjon de Murdoch , peuvent aller à ^ . II est vrai que cette projection, corrigée par Albers (*), ofïre des proportions telles que dans le pins petit carré, circonscrit par deux parallèles etdeux méridiens, les défauts en plus ou en moins se détruisent les uns les autres , de sorte quf'les espaces sont partout dans la Juste proportion; cependant les distances, prises dans le sens direct de quatre points cardinaux, ne se trouvent point avec une exactitude rigoureuse, et la configuration des pays est altérée dans ces mêmes directions.

» Les géographes ont donc cherché, pour leurs cartes spéciales, des projections plus commodes et qui ne se rapportent que très indirectement au développement d'une figure régulière quelconque.

«Il suffit, dit un illustre géomètre, pour » l'exactitude mathématique d'une carte, que » les parallèles et les méridiens y soient tracés » d'après une loi géométrique constante quel- » conque (^j. » On peut donc imaginer un grand nombre de projections parmi lesquelles il- suffit d'en remarquer quelques unes.

» La première méthode proposée par Ptolémée pour dessiner le monde connu de son temps, est une altération de la projection conique, assez rapprochée de la méthode de DelisU (')• Il place l'œil dans le plan d'un méridien quelconque de l'hémisphère, contenant le monde connu , et sur le prolongement du rayon de la sphère qui coupe ce méridien à 45^ lat. N. Il fait ensuite « tourner le globe, de » sorte que les méridiens se présentent succes- » sivementà l'œil comme des lignes droites, se » réunissant au pôle, et que les parallèles se H montrent comme des arcs de cercle, ayant » leur partie convexe tournée au midi. » Ces mots prouvent qu'il n'est pas du tout question d'une perspective stéréographique; la position de Vœil n'est indiquée que pour démontrer la possibilité de. voir les méridiens projetés par une ligne droite. Les rapports qu'ont les arcs des parallèles dans cette projection, fig. 35, sont déterminés par des règles mathématiques arbitraires, dont le résultat est de rendre l'arc de méridien PF = 40,000 stades, exactement proportionrié à l'arc de parallèle de latitude de Rhodes HKL = 72,000 stades. Le parallèle de

(«) Voyez le Mém. cité. — (•) Lagrange, Mém. sur la conslrucUondes carte* , V «ect. — (^) PtoL Géogr. I, cap. XXI.

latitude de Thulé OPQ et Téquateur RST ont aussi entre eux la même proportion que sur le globe , mais ils sont trop grands comparés à HKL. Comme Ptolémée étendait le monde connu à 16 degrés et demi au sud de l'équateur, il trace à cette latitude V antiparallèle de Méroé, lieu situé à 16® i au nord de l'équateur; il divise cet arc comme celui qui passe par Méroé et marque les méridiens en tirant des droites entre ces points de division et ceux de l'équateur. Cette projection n'est , comme on voit, qu'une altération grossière de la projection conique. Aussi Ptolémée lui préfère une autre méthode dont nous allons donner un aperçu rapide (*).

» L'œil est placé dans le plan du méridien qui partage par le milieu le monde connu , et sur le prolongement du rayon de la sphère, tiré par la commune intersection de ce méridien avec le parallèle de Syène, censé être le parallèle moyen du monde connu. Soit par conséquent ABCD, fig. 36, le grand cercle qui circonscrit l'hémisphère contenant le monde connu de Ptolémée; soient A et C les pôles, BFD l'équateur, AFC le méridien moyeu du monde connu et E son point d'intersection avec le parallèle de Syène ; alors une ligne tirée du centre T par £ en S sera la ligne dans laquelle se trouve l'œil. Si maintenant on tire par £ un grand cercle dont BED est la moitié, l'œil se trouvera aussi dans son plan , parce qu'il est dans sa commune intersection avec le plan du méridien A£C. D'où Ptolémée conclut « que » les demi-cercles B£D et AFC se montreront » comme des lignes droites, se coupant à angles I» droits; qu'au contraire l'équateur et tous ses » parallèles , attendu que leurs plans ont la » même inclinaison contre le plan du grand w cercle BED dans lequel se trouve l'œil, pa- « raitront comme des arcs des cercles paral- » lèles , ayant leur partie convexe tournée au w sud ; enfin que les méridiens, situés de deux >» côtés, du méridien moyen AEC, seront vus » comme des arcs de cercle dont la concavité » est tournée vers le méridien moyen et qui » deviennent de plus en plus concaves à me- » sure qu'ils s'en éloignent. » Mais au lieu de développer ces principes conformément à la perspective, Ptolémée détermine les lignes de sa projection d'après des proportions arbitraires, combinées de manière à conserver, au-

(') PtoL Géogr. I, c. xxiY-