LIVRE VINGT-NEUVIÈME

tant que possible, la configuration des pays. « Tracez, dit-il, le parallélogramme rectangle >» ABCD, fig. 37, de manière que le côté AB » soit double du côté ED. Coupez-le en deux » également par la perpendiculaire EF , que » vous diviserez en 90 parties. Prolongez cette 0 ligne de 91 parties 7 pour avoir le centre L. M Prenez FG de 16 parties -/r pour tracer de » l'ouverture LF le parallèle de Méroé SX. ») Faites GH de 23 -rrpour avoir avec le rayon » LH le tropique du Cancer TY. Prenez GK de » 63 paities et de KL, décrivez le parallèle de » Thulé QR. Portez sur ces trois parties de M circonférences TY, QR, SX, les degrés con- » vcnables aux parallèles qui leur répondent » et dans les rapports qu'ils ont avec ceux de » réquateur; et par les trois points correspon- » dants QTS, RYX, etc., faites passer des por- »> tions de circonférences , elles seront les mé- M ridiens demandés. »

» Cette projection est encore employée, quoique avec des modifications essentielles , pour figurer des parties considérables du globe. La meilleure des méthodes qui dérivent en quelque sorte de celle de Ptolémée, est celle employée par Flamsteed dans son atlas céleste , et dont , si je ne me trompe pas , le perfectionnement est dû à Bonne , un des plus habiles géographes français. Les principes de ce développement sont de décrire tous les parallèles d*un même centre, pris dans Taxe de la carte, et de prendre ensuite sur chaque parallèle les degrés de longitude tels que les donne la loi de leur décroissement, c'est-à-dire proportionnels au cosinus de leur latitude, et enfin de faire passer par une même série de points de division correspondants, une ligne courbe qui représente le méridien. Quelle que soit la position du centre sur Taxe de la carte, cette projection jouit de la propriété de représenter par des quadrilatères égaux chaque quadrilatère correspondant formé sur la surface du globe par deux méridiens et deux parallèles quelconques (*). Les quadrilatères ont d'ailleurs deux de leurs côtés opposés égaux en longueur aux côtés correspondants sur la sphère, quoique différents par leur courbure. Le premier méridien y est rectiligne et coupe tous les parallèles à angles droits; les suivants sont

(') Mollweide t DémoDStralion analytique de la projection, etc. Zach, (^rrespondance astronomique, X11I.H4.

des courbes qui les coupent plus ou moins o'îllquement à mesure qu'ils s'éloignent du méridien principal ; ce qui fait que les quadrilatères qu'ils comprennent s'allongent dans le sens de l'uge de leurs diagonales et se rétrécissent dans le sens de l'autre. C'est là le principal défaut de ce développement, mais il ne devient sensible qu'à une distance déjà considérable du centre de la carte.

» Ce défaut était très sensible dans l'ailas de Flamsteed, parce que cet astronome, àym prolongé indéfiniment l'axe de sa carte, a tracé les parallèles par des rayons infinis, c'est-àdire qu'elles sont dans la carte des lignes droites , coupant les méridiens de l'extérieur de la carte sous des angles très obliques, d'oè il résulta une grande altération dans la configuration des pays éloignés du centre , ainsi qu'on peut le juger d'après la fig. 38.

» On obvie à cet inconvénient en assujettissant d'abord le parallèle moyen de la carte à être coupé perpendiculairement par tous les méridiens. Pour cela , il suffit de prendre une droite égale à la cotangente de la latitude du parallèle qui divise à peu près égalemcntdans le sens des méridiens la région qu'on se propose de représenter, et avec cette droite, comme rayon, de décrire le parallèle moyen de la carte ; les autres parallèles se décriront du même centre avec le même rayon augmenté ou diminué d'une quantité égale à la partie du méridien , comprise entre le parallèle moyen et celui qu'il s'agit de tracer. Il n'est pas nécessaire de dire qu'on doit Clément faire coïncider le méridien principal de la carte avec celui qui, dans le sens des parallèles, paitage la carte en deux portions égales. Ccst une règle générale dans tous les dével(W^ mcnts du globe.

» La projection corrigée de Flamsteed étant aujourd'bui la plus généralement adoptée, nous croyons devoir en faire connaître en détail les procédés , d'après la méthode adoptée au Dépôt de la guerre (*).

n Proposons-nous d'appliquer ces principes au développement d'un demi-fuseau sphérique dont l'angle est de 100", nouvelle me sure. Le développement sera la projection d'un triangle à ti'ois angles droits ou de la huitième partie de la surface de la sphère. Soit, dans la/î(/. 39, Ca le rayon représentatif de (•) Puissant f^Tr^LÏié de Topograpliic , p. 138.

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

la sphère proposée, et a 0 une ligne perpendiculaire et égale à G a. Si du point a on abaisse sur Go la perpendiculaire ae, elle sera le rayon du parallèle à la latitude de 50° (nouv. mes.) , en prenant P pour le pôle et Q pour un point de Féquateur. Gela posé, on pourra considérer a 0 comme le côté d'un cône tangent à la sphère , et alors la surface près du cercle de contact coïncidera sensiblement avec la surface spbérique. Or, puisque , d'une part, il s'agit de développer seulement le quart de la circonférence dont a e est le rayon , ou , ce qui revient au même, le quart de la surface courbe du cône droit qui a Oa pour côté; et que, d'une auti'c part , a e est le sinus de 50**, lorsque le rayon a G est pris pour le sinus total , on aura le logarithme du sinus de 50** =» 9,8494850 et le sinus de 50^ = 0,70711. Ensuite i de la circonférence qui a pour rayon a e, est = 1,1101627; enfin puisque l'arc a M b (fig>^0] décrit d'un rayon a 0 = 1 , doit avoir pour longueur 1,1 101627, on trouvera le nombre de degiés de cet arc par la proportion que voici :

Telle est la valeur de l'angle aOb on l'amplitude de l'arc ab, figAO. Maintenant, si l'on veut avoir les degrés de longitude de 5 en 5 , on divisera l'arc a 6 en vingt parties égales, et le milieu M de cet arc sera sur l'axe OM de la carte. Mais comme il n'est pas possible de déterminer la position des autres parallèles ainsi qxie la longueur de leurs degi'és respeclife , sans avoir une échelle de parties égales , construites d'après le nombre des mètres contenus dans le rayon moyen a G de la terre, rayon qui, comme on sait, est =6,366198 mètres, on procédera préalablement à la construction de cette échelle. Pour cet effet , on portera sur une ligne indéfinie mG', fig.4ly 636 parties et 75^ de G' en m, et Ton prendra a'G' ^1 au rayon aG, /î^. 39; puis, par tous les points de division de la ligne mG', on mènera parallèlement à àm les droites xœ', yy\ etc. La ligne a'G' étant par ce moyen divisée en parties proportionnelles à mG', on formera sur ce module Téchelle de la fig, 40.

9 Ayant ainsi construit l'échelle de la carte, nous y prendrons une longueur de 50 parties ou myriamètres pour la valeur des degrés du méridien , pris de 5 en 5 , et nous porterons

cette longueur sur Taxe de la carte , dix fois au-dessus et dix fois au-dessous du parallèle moyen ab^ fig. 40, Nous décrirons ensuite du point 0 comme centre, des arcs indéfinis, passant par tous les points de division de l'axe» OM; alors nous aurons les parallèles de 5 en 5**. Enfin , sur chaque parallèle, nous prendrons des distances égales chacune à cinq fois la valeur du degré de longitude, connu par les tables géographiques. Ainsi , sur le parallèle de 55°, la longueur du degré de longitude est de 6 myriamètres , 49 ; par conséquent , il faudra , à partir de l'axe de la carte, et de part et d'autre de cet axe , porter dix fois l'intervalle 6 , 49 X ^ = 32 myriamètres, 45 , pris sur l'échelle. Lorsque tous les points par où doivent passer les méridiens auront été déterminés de cette manière , il est facile de tracer ces courbes.

» Il faut . avouer que l'amplitude de l'arc d'un parallèle quelconque, déterminée par cette méthode, se trouvera un peu plus grande qu'elle ne devrait être , puisque l'on donne à la corde d'un arc de 5 degrés la longueur môme de cet arc ; mais l'erreur qui en résulte est d'autant moindre , que la courbure des parallèles est plus petite. D'ailleurs , pour obtenir une exactitude rigoureuse, on peut déterminer l'amplitude de tous les parallèles comme celle du pai-allèle moyen , par l'angle que forment les deux rayons menés aux extrémités de ce parallèle.

» Au lieu de prendre arbitrairement, comme dans l'exemple donné, le rayon delà sphère, on en fixe le plus souvent la longueur à l'aide d'une échelle construite d'avance , et dont les parties sont dans un rapport déterminé avec le mètre. Par exemple, au Dépôt général de la guerre, l'échelle pour le dessin et la gravure de la carte de chacune des quatre parties du monde est T~TV7, c'est-à-dire que 2,000,000 mètres pris sur le terrain seront représentés sur la carte par unelongueur réelle d'un mètre. D'après cela, lerayon delà terre qui est de6,366l98 mètres, sera seulement sur la carte de ^î^^^~^ = 3™, 18. Ainsi, pour que l'échelle de cette carte soit divisée de 10 en 10 myriamètres ou de 100,000 en 100,000 mètres, il faut que 10 myriamètres aient pour longueur 5 centimètres. Le Dépôt de la guerre observe de même dans ses cartes spéciales une progression décimale de l'échelle, de sorte qnc le degré de latitude d'une carte

UVBE Vlfter^NEUVIEME.

générale étant pris pour unité, celui de la carte ehorographique doit être représenté par Tun des nombres 2, 5, ou 10 qui sont les diviseurs exacts dans le système décimal. Par ce moyen, .les cartes particulières s'enchatnent parfaitement avec les cartes générales , attendu que les proportions de détails croissent d'une à Tautre carte dans des rapports faciles à calculer. Mais Texécution de ces sages vues renchérirait le prix des atlas géographiques, en exigeant le plus grand format.

» Les diverses modifications de la projection conique ayant été sufHsamment expliquées , nous allons considérer les développements cy-^ Hndriques de la surface du globe, et les cartes marines qui en sont déduites (*).

» Les rumbs de vent que suivent les navigateurs, ou les directions indiquées par la boussole, ayant la propriété de couper sous le même angle tous les méridiens qu'ils traversent, et qui , pour cette raison , forment sur le globe la spirale nommée loxodromique f) , se trouvent nécessairement projetés par des lignes courbes du même genre dans toutes les cartes où les méridiens ne sont pas parallèles.

M Cest ce que démontre la fg. 42, dans laquelle ou voit une moitié d'hémisphère projetée sur le plan de l'équateur. Soit P le pôle nord, AMB l'équateur; les droites tirées du centre à la circonférence sont des méridiens , et les cercles concentriques représentent les parallèles. Supposé que le navigateur veuille aller de C , point de l'équateur, droit au nordouest; le cours de son vaisseau doit constamment faire avec la méridienne du lieu ou avec la ligue nord et sud un angle de 45 degrés (anc. mes. ). Arrive-t-il maintenant en G , la ligne méridienne GNP ne conserve plus de parallélisme avec le méridien CG; s'il continue sa route au nord-ouest, en observant toujours l'angle de 46% il parviendra au point H , de là au point I , et il décrira ainsi la courbe loxodromique CGHI qui s'approche constamment du pôle, sans toutefois y atteindre jamais. Plus l'angle constant sous lequel la route coupe les méridiens est grand, plus la courbe loxodromique devient longue, comme on le voit dans

(•) Neptune français, discours préllroln. Betout, Cours des mathém. Marine. Dubourguet, Traité des navigations, etc. — (>) Voyez ci-dessus, Liv, XXVfl. pi, 83.

la fig. 42 , par la ligne CBS. On conçoit que les marins qui doivent diriger leurs courses sur ces lignes , ne peuvent tracer commodément sur ces cartes , ni le chemin qu'ils ont parcouru, ni la route qu'il leur reste à foire, à cause de la difficulté de mesurer avec le compas l'arc d'une courbe ; pour parer à cet inconvénient , ils ont cherché à imaginer une projection de cartes dans laquelle les méridiens fussent des lignes parallèles droites.

» Le développement d'un cylindre sepi^sente aussitôt à l'esprit, comme le moyen d'obtenir une semblable projection. lorsqu'on se borne à retracer une zone de très peu d'étendue en latitude , il est évident que la zone sphérique pourra, sans erreur sensible , être représentée par le développement d'un cylindre , soit inscrit, soitcirconscrità cette zone, et dont l'axe coïncide avec celui du globe. Les méridiens qui résulteront des sections du cylindre par des plans passant par son axe , sont représentés par des lignes droites parallèles à cet axe ; les plans des parallèles coupent le cylindre suivant des cercles parallèles à sa base, et qui deviennent des lignes droites dans le développement. Telle est la construction des cartes plates, donton attribue faussement l'invoitioQ à don Henri, infant de Portugal, puisque Martin de Tyr, antérieur à Ptolémée, en condamne l'usage et en a essayé une modification (»). Leurs défauts sont analogues à ceux de la projection conique ; ils sont même plus considérables ; car dans celle-ci on peut donner à deux parallèles leur véritable longueur par rapport aux degrés de latitude, tandis que sur la carte plate on ne peut observer cette proportion qu'à l'égard d'un seul, savoir: pour l'inférieur dans ie développement du cylindre circonscrit , et pour le supérieur dans le déve» loppement du cylindre inscrit. Il est vrai qu'on pourrait masquer cet inconvénient , si on employait le cylindre construit sur un des parallèles intermédiaires , et qui serait en partie intérieur et en partie extérieure la sphère : de cette manière, l'étendue en longitude se trouverait exacte vers le milieu , mais Terreur serait partagée entre les deux extrémités. On a même essayé des projections cylindriques dans lesquelles le cylindre aurait pour base un ccr-

(•) Marin, Tyr. Ap. Plolém. I, ÎO. Comp. Gortef* lin, Recherches sur la Géographie des Grecs, II, M, m^ If 46-60, elc, etc.

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

cle vertical quelconque (^) , mais nous n*en parlerons pas , et nous nous bornerons à remarquer que l'on peut placer le parallèle qui sert de base au cylindre, de manière tjue Taire du développement soit égale à celle de la zone sphérique.

» Le tracé des cartes plates s'effectue sans peine dès qu'on a fixé la position du parallèle terrestre qu'on développe ; il n'est question que de donner aux degrés de longitude, sur ce parallèle, la grandeur qu'ils doivent avoir par rapport à celle qu'on assigne au degré de latitude.

» La ligne HG, fig. 43, étant supposée parallèle à Taxe CP et ^ale au développement de Tare BF, sera le méridien de la carte destinée à représenter la zone comprise entre les parallèles des points B et F. Le développement du parallèle moyen, 'dont le rayon est Ee, donnera les degrés de longitude. On voit par cette ligure le défaut de la carte sur les parallèles extrêmes, puisque le rayon Gg est plus petit que B6, et le rayon HA plus grand que F^

» Ces cartes ne peuvent convenir qu'à de très petites parties du globe ; les moins défectueuses sont celles qui représentent les régions voisines de réquateur, parce qu'à peu de distance de ce cercle les cosinus de latitude ne varient pas beaucoup, D'Anville s'en est encore servi dans un cas semblable (^) , mais ce cas est presque unique.

» Pierre Nunnez ou Nonnius remarqua, vers le milieu du seizième siècle, les défauts des cartes plates. Mercatar qui venait d'introduire la projection stéréographique pour les mappemondes, considéra que les marins n'emploient pas la carte pour connaître la figure des pays , mais seulement pour y tracer exactement, d'après sa longueur et sa direction, le chemin qu'ils ont fait, et pour déterminer la distaQce où ils sont des divers points des côtes, et la direction qu'ils doivent tenir pour y arriver ou pour les éviter; il imagina d'après ce principe, en 1550, la projection des cartes réduites, qui satisfait parfaitement à ces conditions, et dont les Anglais Wright, Gregory, Halley et autres, ont trouvé long-temps après la théorie mathématique p). Les méridiens y sont des lignes

('] Texfor, duos ZacA, Correspondance, XV III, 190. — (») Carte de Guinée, 1776. D'Anville, Considér. sur la Géog. , p. 30. — (3) MoUweide^ dans Zach, ' Correspondance, XIV , 490.

droites parallèles équldistantes » et coupées à angle droit par les parallèles à l'équateur ; mais les intervalles qui séparent ceux-ci croissent à mesure qu'on s'avance vers les pôles, dans un rapport précisément inverse de celui que suit sur le globe la diminution des degrés de longitude, fig, 44. Il résulte de là que les distances en longitude, mesurées sur chaque parallèle, ont, par rapport aux distances en latitude correspondantes f la même relation que sur le globe.

» Le tracé de ces cartes n*a d'autre difilcultë que la construction de l'échelle des latitudes, pour laquelle on a depuis long-temps des tables calculées avec beaucoup de soin , et même en ayant égard à l'aplatissement de la terre. Elles portent le nom de tables des latitudes crois^ santés, à cause de l'augmentation qu'éprouvç dans ces tables la longueur de chaque degré de latitude, à mesure qu'il approche du pôle. Comme les principes d'après lesquels ces tables sont construites ne peuvent être expliqués rigoureusement qu'à l'aide du calcul intégral , nous nous bornerons à une observation sur la nature des cartes réduites. Il est évident qu'on ne doit y chercher, ni les rapports d'étendue des pays, ni l'exacte image de leur configuration ; car cette projection augmente considérablement les régions qui sont placées vers les pôles, quoique d'ailleurs elle partage avec la projection stéréographique la propriété de conserver aux portions infiniment petites du globe leur similitude ; mais ces défauts n'ont aucun inconvénient pour des cartes, qu'on ne doit regarder que comme des instruments destinés à résoudre graphiquement les principales questions du pilotage ; ce qu'elles font avec la plus grande exactitude et la plus grande facilité, moyennant des procédés géométriques ou des calculs enseignés dans les traités de navigation.

» Il nous reste encore à faire connaître diverses méthodes pour tracer les cartes, méthodes qui n'ont point pour base le développement d'une figure, mais seulement des calculs de proportion.

» La plus remarquable projection de ce genre est celle qu'a inventée le célèbre géomètre Lamr bert (*) , et qu'un auteur italien a depuis exa-

(') Lambert^ Mémoires surTusage des mathématiques, vol. III, observations sur les cartes, $ 89, Mayer, Introduction, etc., $ 52, en ail.