LIVRE VINGT-SEPTIÈME

surant ia distance de Paris à Alger sur le méridien de Paris, quoiqu'il soit à 41' plus à l'occident que celui d'Alger.

>) On doit se garder de prendre la différence de longitude en degrés de deux points situés sur le même parallèle pour la mesure de leur distance ; cela ne peut se faire qu'à l'égard des points de l'équateur, qui est un grand cercle ; mais ses parallèles étant de petits cercles dont le rayon diminue à mesure qu'on l'approche des pôles , il suit du principe énoncé ci-dessus que la longueur absolue de leurs arcs ne donne point la véritable mesure de la plus courte distance des extrémités de ces arcs ; cette distance ne saurait être mesurée que par un grand cercle passant par les deux points extrêmes. En effet, le rayon du parallèle étant plus court que celui du grand cercle, l'arc du parallèle a plus de courbure que celui du grand cercle compris entre les mêmes points , et est par conséquent plus long. En voici un exemple frappant. Pétersbourg est presque sous la même latitude que l'île de Kodiak, dans l'Amérique russe ; la différence en longitude est d'environ 180°, valant sous ce parallèle 1800 lieues marines ; mais la plus courte distance de ces deux lieux est, en comptant sur un méridien qui leur est presque commun , 60° de latitude, valant 1200 lieues. Il est vrai que pour en profiter il faudrait passer par les glaces éternelles du pôle. Ainsi, en géographie comme en politique , le chemin droit n'est pas toujours le plus avantageux.

» Il est donc nécessaire, dans beaucoup de cas, de mesurer les distances sur les parallèles , et , par conséquent , de savoir exactement la valeur des degrés de longitude marqués sur les cercles parallèles. Le globe rend sensible aux yeux la diminution de ces degrés vers les pôles ; nos tables l'indiquent en détail (1). Mais il faut en connaître le principe mathématique. La longueur des degrés marqués sur les parallèles est proportionnelle aux rayons des cercles; or, les rayons de l'équateur et de ses parallèles sont des perpendiculaires abaissées des différents points du méridien sur le diamètre de chacun de ces cercles, comme dans la figure 6 les lignes EG et HK. Si l'on prend par conséquent le rayon EC pour la longueur du degré de l'équateur, et qu'on le divise en vingt parties représentant les lieues

(0 Voye« les TaMes annexées à ce volume.

marines , le nombre de ces parties que pourra contenir le rayon HK du parallèle LM fera connaître la valeur du degré de ce parallèle en lieues. Il s'ensuit que pour déterminer la longueur des degrés sur chaque parallèle , il suflit de décrire sur une ligne EG , qui représente la longueur du degré du méridien ou de l'équateur, un quart de cercle EP, le diviser en degrés et abaisser des perpendiculaires de chaque point de division sur le rayon CP ; ces lignes seront les loKgueurs respectives du degré des parallèles pour toutes les latitudes.

» La ligne HK étant le sinus de l'arc PH et le cosinus de l'arc EH , dont l'un mesure la distance du parallèle HM au pôle, et l'autre la latitude de ce parallèle, on voit qu'en prenant pour unité le degré de l'équateur, celui d'un parallèle quelconque sera le cosinus de la latitude, donné par les tables trigonométriques. Par exemple , la latitude de Paris étant de 48° 50', et le cosinus de cet angle étant 0,658 du rayon ; en multipliant ce nombre par 20 lieues marines , on aura pour la valeur du degré du parallèle 13 heues. A la latitude de Pétersbourg ou 60°, le degré de longitude est réduit à 10 lieues, parce que le cosinus de 60'* est la moitié du rayon.

M Nous avons indiqué ce qu'on doit entendre par nord et sud, est et ouest; c'est en étudiant bien le globe que l'on parvient à saisir parfaitement la valeur de ces termes. Deux endroits terrestres , situés sous le môme méridien , sont directement nord et sud l'un de l'autre , et tous les endroits intermédiaires , c'est-à-dire tous les points de la ligne de distance, sont également nord et sud l'un de l'autre , et tous réciproquement sur la même aire du compas. De même , deux points quelconques, pris sous l'équateur terrestre, sont directement est et ouest l'un de l'autre, et tous les points intermédiaires le sont également et se trouvent réciproquement sur lemêmerumb.

» Si l'on prend deux endroits qui ne se trouvent ni sous le même méridien , ni sous l'équateur, quelle que soit d'ailleurs leur position relative, aucun des points intermédiaires ne sera, par rapport aux autres points, sur la même aire du compas. Gar l'arc du grand cercle qui mesure la distance est un arc de cercle vertical qui passe par le zénith des deux lieux en question ; or, tout cercle vertical qui n'est lui-même ni un méridien ni perpendicuiaire

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

aux méridiens terrestres (comme réquateur) , coupera tous les méridiens intermédiaires sous des angles inégaux entre eux. Mais ce sont ces angles de position qui déterminent l'aire du compas , sur laquelle un endroit est relativement à un autre. Donc , comme tous les endroits intermédiaires entre les deux endroits en question offriront des angles de position inégaux en degrés , chacun d'eux sera sur une autre aire de l'endroit suivant , que l'endroit précédent n'était de lui. Ainsi , en suivant la route la plus courte , entre deux endroits situés hors de l'équateur et sous des méridiens différents , on changerait à chaque pas de rumb. C'est ce que démontre la figure 18 , où PEp représente un méridien, EGI l'équateur, HLQ un parallèle , et HIK le grand cercle perpendiculaire au méridien en H. On peut y remarquer aussi que tous les grands cercles perpendiculaires au même méridien se rencontrent en deux points opposés , I et t , qui sont les pôles de ce méridien. Ces grands cercles s'approchent donc continuellement les uns des autres ; et ce n'est que dans un très petit espace, de chaque côté du méridien PE|> , qu'on peut regarder comme parallèles entre eux les cercles lE* et lUi; ce n'est donc aussi que dans une petite étendue qu'on peut regarder comme parallèles les lignes est et ouest , et les perpendiculaires à la méridienne (•) .

» Le grand cercle IHK , perpendiculaire au méridien p'EP , coupe les autres méridiens , comme pLV , sous des angles différents pour chacun , tandis que le parallèle HLQ les rencontre tous à angle droit. H résulte de là qu'en allant du point H au point L sur le parallèle , on se détourne à chaque instant de l'alignement qu'on avait d'abord suivi , pour se remettre à angle droit avec les divers méridiens sous lesquels on passe , et qui tendent tous au pôle P. Ce n'est donc qu'avec le secours d'une boussole , ou , plus exactement encore , en déterminant de proche en proche la position du méridien , et en se maintenant toujours à la même latitude , qu'on trace sur la surface terrestre un parallèle à l'équateur, ou qu'on s'avance directement, soit à Vest, soit à V ouest.

» Cette différence entre les points est et ouest du monde et ceux de chaque lieu en particulier, influe sur la navigation et sur les cartes mari-

(•) Voyez ci-après: Projeclion de la carte de Casii'ii.

nés. Le navigateur cherche , autant que possible , à naviguer sur le même rumb, du moins pour un certain temps ; il ne peut pas sans cela savoir où il dirige sa course. D'ailleurs, il faut d'abord diriger sa route de sorte qu'on arrive à l'endroit où l'on veut aller ; et secondement, on doit y aller par le plus court détour possible. Si le vaisseau navigue toujours est et ouest sous l'équateur, sa route sera un arc de l'équateur, et, par conséquent, le plus court chemin entre deux endroits situés sous l'équateur. Si le vaisseau est dirigé constamment nord ou sud, il décrira un arc d'un méridien, et en même temps le plus court chemin entre l'endroit de départ et celui d'arrivée. Si le vaisseau , hors l'équateur, navigue constamment est ou ouest, il décrira un parallèle à l'équateur. Donc , si l'endroit de sa destination est à l'est ou à l'ouest de celui du départ, et sous le même parallèle, le vaisseau y arriverait à la vérité, en allant toujours sur le même rumb , mais par un chemin quelquefois très long.

)>Si, au contraire, un vaisseau se dirige constamment vers le même point du compas , ce point n'étant pas un des quatre cardinaux , il décrira sur le globe une courbe qui ne rentre point dans elle-même, mais qui tourne en spirale à l'infini, en s' approchant toujours du pôle sans jamais y arriver. Voilà la définition théorique de la ligne loxodromique. On peut encore la définir ainsi : une courbe qui entoure le globe, à plusieurs révolutions, et dans laquelle chaque point est situé envers tous les autres sur la même aire du compas.

» Cette ligne a été découverte par Pierre Nonnius, mathématicien portugais, auquel un navigateur demanda la cause d'un phénomène qui sans doute étonnerait ceux qui n'auraient point lu ce que nous venons dédire. On demande pourquoi , en se dirigeant constamment sur l'aire d'est pour aller à une place si^ tuée réellement à l'est d'une autre [par la plus courte route) , on ny arrive jamais , et même on s'en éloigne de plus en plus ? La raison est qu'en suivant toujours le même rumb hors l'équateur, et en changeant de méridien , on ne décrira point l'arc du grand cercle qui mesure la distance de deux endroits , mais une spirale ou loxodromique, qui ne passera jamais par l'endroit cherché.

»> Il faut qu'on se dirige sur la loxodromique qui passe par les deux endroits , ou sur