LIVRE VINGT-NEUVIEME

Suile de la Théorie de la Géographie. — Des Cartes géographiques et hydrographiques par développement conique et cylindrique. — Des Projections par parties proportionnelles.

» Parmi tous les corps qui peuvent être exactement retracés sur un plan , le cône et le cylindre ont le plus d'affinité avec la sphère; le cône surtout offre l'avantage qu'une petite zone conique ne diffère presque pas d'une zone spliérique. Aussi ce sont les développements coniques qui fournissent les meilleures projections des cartes géographiques spéciales , et même , à l'aide de quelques modifications , pour des parties considérables du globe. C'est donc par l'expiication de ces sortes de cartes que nous allons commencer.

» Dans la projection conique pure, on considère une zone sphérique comme se confondant avec la surface d'un cône tronqué qui lui est tangent. Si on développe cette surface , les parallèles deviennent des cercles droits du sommet du cône , pris pour centre ; les méridiens sont des droites qui passent toutes par ce même point et se dirigent vers la base du cône. Afin de mieux fixer les idées à cet égard , ayons recours à la figure 31. Soit PC le rayon de la sphère , M un lieu situé à la latitude EM , et OM la cotangente de cette latitude. Le développement du parallèle moyen a pour rayon la cotangente de sa latitude , et pour amplitude l'arc égal à la circonférence dont MR est le rayon.

» Du point 0 , pris pour centre {fig. 32) et avec le rayon OM , nous décrirons un arc in-

défini NN', et prenant OG pour le méridien du milieu de la carte, nous ferons fangle JNOM égal à la moitié du nombre de grades contenus dans le parallèle moyen. Supposons , par exemple , que ce parallèle comprend 25 degrés sur le globe , et que la différence en latitude des parallèles extrêmes soit de 30 degrés , le parallèle moyen aura sur la carte un nombre MR.

de degrés exprimés par -^^ 25 degrés. Telle

est l'amplitude de cet arc , puisque les nombres de degrés contenus dans deux arcs de même longueur sont entre eux comme leurs rayons.

Ainsi l'angle MON étant égal a ^.'-^ , il

est évident que les projections des méridiens feront entre eux des angles moindres que sur le globe , puisque MO est toujours plus grand que MR. Par conséquent, les parallèles de la carte , tant supérieurs qu'inférieurs au parallèle moyen , excéderont ceux du globe dont ils sont les projections ; et plus on éteiKl la carte dans le sens des latitudes , plus les deux extrémités offriront une proportion inexacte. Pour marquer dans la projection ces parallèles extrêmes , on prend sur l'axe de la carte OG ,

(') Lambevt, Mémoires sur les mathématiques mixtes, III, p. 105 (en allemand). Euler , Mém. sur les solides développables, dans les D'ovi Comnnin. Peirop., XVI, ?.

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

deux parties Ma et Mb égales à la moitié de différence de latitude des parallèles extrêmes, par exemple à 15 degrés dans le cas proposé. On représente ensuite ces parallèles par les arcs DD' et EE', et on finit par partager en parties égales le méridien du milieu et le parallèle moyen, ce qui donnera la graduation de la carte.

» Les défauts de cette projection sont de ne point conserver l'égalité entre les espaces et de ne donner les distances justes que dans le sens des méridiens. Pour y remédier , on a essayé deux moyens : l'un consiste à prendre , au lieu du cône tangent , un cône inscrit en totalité ou en partie ; l'autre , c'est d'altérer la projection rectiligne des méridiens.

» Si , en place de l'arc ab, fig.S2^ on prend la corde qui le sous-tend pour le côté du cône à développer, les rayons des projections des parallèles extrêmes seraient aO et bO , et la carte aurait une exactitude rigoureuse sur ces parallèles ; mais ceux qui se trouveraient intermédiaires pécheraient un peu par défaut. Cette méthode n'est donc honne que pour une zone de peu de largeur.

» L'astronome Delisle de La Croyère , qui fut chargé de construire une carte générale de l'empire de Russie , carte qui , stéréographiquement tracée , offrait des difformités choquantes , fit choix de la projection conique ; mais , pour la perfectionner, il imagina de faire entrer le cône dans la sphère de manière qu'il la coupât suivant deux parallèles placés chacun à égale distance du parallèle moyen , et de l'un des deux parallèles extrêmes. La carte av-ait , par ce moyen , sur les deux parallèles dont on vient de parler, la même dimension que la partie correspondante du globe ; et son étendue totale différait peu de celle du pays qu'elle devait représenter, parce que l'excédant qui se trouvait aux deux extrémités de la carte était au moins compensé en partie par le défaut qu'avait , à l'égard de la zone sphérique , la portion inscrite du cône. La carte comprenant depuis le 40* degré de latitude jusqu'au 70* , le parallèle moyen répondait à 55°, les parallèles communs avec la sphère étaient ceux de 47" 30' et 62' 30'. Cette projection offre beaucoup d'avantages pour les cartes générales d'une étendue considérable , et dont lé but principal est

de montrer l'ensemble d'un vaste empire

» Le célèbre Euler a fait des recherches profondes sur cette méthode de projection ; il y substitue, à la détermination des parallèles qui doivent être communs avec la sphère, celle du point de concours des lignes droites qui représentent les méridiens , et de l'angle qu'elles font entre elles lorsqu'elles comprennent un degré de longitude. Ses calculs sont appuyés sur les conditions suivantes : P que les erreurs soient égales aux extrémités méridionale et septentrionale de la carte ; 2^ qu'elles soient aussi égales à la plus grande de celles qui ont lieu vers le parallèle moyen de la carte. Il en conclut que le point de concours des méridiens doit être placé au-delà du pôle , d'une quantité égale à 5^ de latitude , et que l'angle de deux méridiens consécutifs doit être de 48' 44". Ce géomètre cherche ensuite de combien les arcs des grands cercles qui mesurent les distances sur le globe , diffèrent des lignes droites qu'on leur substitue sur la carte ; et il trouve qu'un arc de 90® aurait sur la carte une longueur de 90^,79, exacte à moins d'un centième près p).

» Un géomètre anglais , Murdoch , a proposé trois méthodes différentes pour rendre la projection conique plus conforme aux conditions d'une bonne carte p). Ce savant s'étant expliqué d'une manière laconique et peu exacte, ses projections ont été moins appréciées à leur juste valeur que vantées ou blâmées sur parole. Nous en devons un exposé critique aux recherches des deux géomètres allemands [^) . Mais nous nous écarterions de notre méthode générale de ne point parler le langage abstrait des mathématiques , si nous voulions donner une idée complète de toutes les règles de ces projections. La première présente deux parallèles parfaitement semblables à ceux de la sphère et une surface conique égale dans sa totalité à la surface sphérique ; mais elle resserre les distances vers le milieu et les agrandit aux extrémités ; les espaces mêmes ne sont point égaux , en partageant la carte par deux ou plusieurs zones (s). Cette projection offre ce-

(') 3Iayer, Introduction à la construction des cartes , §§ 31 , 32. — (^) Euler, Acta acad. Petropol. I, pag. 1. - "Philosoph. Transact, vol. L., part. II. pag. 564 et suiv. — (*) Mayer, Introd , p. 298-311, Alùers dsius Zach, Correspondance astron., XI, 98-114, 240-250.

(5) « Soit dans la fi(jure 33, G le centre de la terre, Q un point de l'i^quateur , P l'un des p01«s , QMP uu