LIVRE VlNGT-rsEUVlÈME

pendant une représentation sensiblement fidèle, lorsqu'on n'enfiiit l'application qu'à des zones •de 8 à 10 degrés de latitude. La seconde projection de Murdoch a pour but d'obtenir l'exactitude de la perspective , en plaçant l'œil au centre du globe comme dans la projection centrale; mais, pour que cette condition se trouve remplie , il faut que la carte soit pliée en forme conique comme le sont les coniglobia célestes, publiés en Allemagne par Funk. Cette dernière projection est susceptible d'une échelle croissante comme les cartes hydrographiques de Mercator, dont nous parlerons ci-après. La

méridien, A et B les points d'intersection de deux parallèles. Supposons QA = a = 70 degrés de latitude (anc. mes.) et QB = |3 = 10°. QM = = 1 ( « + 13) sera = 40°. Il faut maintenant que la zone de la sphère, limitée par A et B, soit représentée sur une surface conique égale en étendue à la zone sphérique, et de manière que la largeur de la zone sphérique soit égale à l'arc BA. En d'autres termes, on cherche le quadrilatère NO o n qui, en tournant autour de l'axe o n , décrira une surface conique égale à la surface sphérique décrite par la révolution du segment BA a |3, de manière que NO dans le cône reste égal à l'arc BA. »

« On voit que la ligne NO coupe l'arc BA dans les deux points Ç et vj qui sont déterminés par les angles Ç CM et n CM , dont la somme est égale chacune à S. Si on prend le rayon «le la sphère = 67,29577 degrés

= P , on trouvera cos § = smH« — /3)

o On en conclut Kp = R, le demi-diamètre de la projection en degrés de latitude R = Kp = p. cotang fx. cos ê; ou, si l'on suppose p. 15=vî, en milles géographiques R = r. cot ^. cos 3. »

« Dans l'exemple donné , nous aurons S = 17° 16', par conséquent vj = f*, + cî = 40° + 17° IG' = 67° 16 , et Ç= fx — <5 = 40° — 17° 16' = 22° 44', enfln R = 978,1 milles géographiques.

« Comme en outre KO =:MA=:30° = 30. 15 =460 milles géogr. et KN = MB = 30° = 30. 16 = 460 milles géographiques, on connaît les deux extrêmes cercles de la zone conique par leurs demi -diamètres, savoir:pO=R — KO = 978,l — 460= 628,1 milles géographiques et pN = R + KN = 978,1 4. 450 = 1428,1 milles géographiques. »

« La ftg. 34 représente une projection conforme à ces données et comprenant 110 degrés; mais on n'y connaît encore que les demi-diamètres pour les latitudes de 10° = pN, de 40= R et de 70" =pO. 11 est évident que les deux triangles pkK etCFM sont semblables , puisque les angles kelF sont tous les deux = 90o et l'angle p = MCF = 90° — MCp. On en tire facilement la proportion CM : MF=pK : Kk , el comme CM = sinus total = 1 et MF = sin >x, nous substituerons à pR une longitude géographique quel-

troisîème projection de Murdoch ne parait rîrn offrir d'avantageux.

» Quelque ingénieuses que soient les modifications par lesquelles on a essayé de perfectionner la projection conique, il est évident qu'elles aboutissent toutes à faire perdre à cette projection sa simplicité et sa facilité primitives, sans obtenir complètement les autres avantages qu'on voudrait lui donner. Dans les projections d'après Murdoch et Euler, il y a toujours quelque partie de la carte où les espaces sont un peu trop grands ou un peu trop petits ; les erreurs sur les distances, dans la première proconque, pour laquelle on veut calculer l'angle SpW = X , et à K& , l'angle cherché SpW , on aura la proportion 1 : sin fA = X : SpW, c'est-à- dire : SpW=: A. sin p..

» Dans notre carte qui doit comprendre 110 degrés de longitude, l'angle SpW sera = 110. sin fx. Donc

logX= log 110 =2,0413927 4- log«m/i = log«m 40° =9,8080675 — 10

log SpW 1,8494602= log 70,7066

et par conséquent l'angle SpW= 70° 42' puisqu'il n'y a pas d'inconvénient à négliger les 0,0066 qui font 24".

y> On partage maintenant l'angle SpW sur l'arc SW en onze parties égales, et parla on détermine les méridiens de la carte de 10* en 10°. » [Albers, loc. cit.)

Cet auteur montre ensuite comment , en prenant un méridien principal st,on peut calculer les points d'intersection de tous les méridiens avec les parallèles extrêmes.

Il donne ensuite pour la détermination des parallèles restants la méthode suivante, conforme aux conditions que Murdoch s'est imposées.

« K V) est = K Ç. Dans le triangle CK yj qui est rectangle en K le côté K yî = sin KC vj = r , sin è ; el de même dans le triangle CKÇ, le côté K Ç=y. sin ê. Pour notre carte nous aurons

log r =log (67,29... X 16)

= log 869,4366 = 2,9342139 + Iog5m<î=logsml7° 16' = 9,4724922 — 10

log K 75 = log K Ç= 2,4067061 =log256,l.

Donc K YJ = K Ç = 266,1 milles géographiques. D'où l'on conclut facilement p vj = pK — K vj et p Ç = pK + K »

Mais Murdoch se contente de tracer les parallèles en divisant TS ou VW, fig. 34, en parties égales, procédé irrégulier, contraire aux conditions du problème, et qui cependant diminue les défauts de la carte. M. Albers a cherché et découvert une loi géométrique pour tracer les parallèles de manière à rendre partout les espaces égaux à ceux de la sphère. Voyez le Mémoire complet d' Albers , dans le vol. XII des Annales des p^oyages et de la Géographie.

GÉOGRÂPHTK MATIll^.MATTOUE.

jection de Murdoch . peuvent aller à -rr . Il est vrai que cette projection, corrigée par Albers (*), offre des proportions telles que dans le pins petit carré, circonscrit par deux parallèles et deux méridiens, les défauts en plus ou en moins se détruisent les uns les autres , de sorte que les espaces sont partout dans la juste proportion; cependant les distances, prises dans le sens direct de quatre points cardinaux, ne se trouvent point avec une exactitude rigoureuse, et la configuration des pays est altérée dans ces mêmes directions.

» Les géographes ont donc cherché, pour leurs cartes spéciales, des projections plus commodes et qui ne se rapportent que très indirectement au développement d'une figure régulière quelconque.

« Il suffit , dit un illustre géomètre , pour »> l'exactitude mathématique d'une carte, que » les parallèles et les méridiens y soient tracés » d'après une loi géométrique constante quel- » conque i^l . » On peut donc imaginer un grand nombre de projections parmi lesquelles il suffit d'en remarquer quelques unes.

» La première méthode proposée par Ptolémée pour dessiner le monde connu de son tenrps, est une altération de la projection conique, assez rapprochée de la méthode de Delisle [^], 11 place l'œil dans le plan d'un méridien quelconque de l'hémisphère, contenant le monde connu , et sur le prolongement du rayon de la sphère qui coupe ce méridien à lat. N. Il fait ensuite « tourner le globe, de » sorte que les méridiens se présentent succes- » sivementà fœil comme des lignes droites, se » réunissant au pôle, et que les parallèles se >• montrent comme des arcs de cercle, ayant j) leur partie convexe tournée au midi. » Ces mots prouvent qu'il n'est pas du tout question d'une perspective stéréographique ; la position de l'œil n'est indiquée que pour démontrer la possibilité de voir les méridiens projetés par une ligne droite. Les rapports qu'ont les arcs des parallèles dans cette projection, fig. 35, sont déterminés par des règles mathématiques arbitraires, dont le résultat est de rendre Tare de méridien PF = 40,000 stades, exactement proportionné à l'arc de parallèle de latitude de Rhodes HKL = 72,000 stades. Le parallèle de

(') Voyez le Mém. cité. — (') Lagrange , Mém. sur la construction des carte», 2* sect. — Pcol. Géogr. 1, cap. XXL.

latitude de Thulé OPQ et l'équateur RST ont aussi entre eux la même proportion que sur le globe , mais ils sont trop grands comparés à HKL. Comme Ptolémée étendait le monde connu à 16 degrés et demi au sud de l'équateur, il trace à cette latitude Y antiparallèle de Méroé, lieu situé à 16® ^ au nord de l'équateur; il divise cet arc comme celui qui passe par Méroé et marque les méridiens en tirant des droites entre ces points de division et ceux de féquateur. Cette projection n'est, comme on voit, qu'une altération grossière de la projection conique. Aussi Ptolémée lui préfère une autre méthode dont nous allons donner \m aperçu rapide (*).

» L'œil est placé dans le plan du méridien qui partage par le milieu le monde connu , et sur le prolongement du raj^on de la sphère, tiré par la commune intersection de ce méridien avec le parallèle de Syène, censé être le parallèle moyen du monde connu. Soit par conséquent ABCD, fig. 36, le grand cercle qui circonscrit l'hémisphère contenant le monde connu de Ptolémée; soient A et C les pôles, BFD l'équateur, AFC le méridien moyen du monde connu et E son point d'intersection avec le parallèle de Syène ; alors une ligne tirée du centre T par E en S sera la ligne dans laquelle se trouve l'œil. Si maintenant on tire par E un grand cercle dont BED est la moitié, l'œil se trouvera aussi dans son plan , parce qu'il est dans sa commune intersection avec le plan du méridien AEC. D'où Ptolémée conclut « que » les demi-cercles BED et AFC se montreront » comme des lignes droites, se coupant à angles » droits; qu'au contraire l'équateur et tous ses »> parallèles , attendu que leurs plans ont la » même inclinaison contre le plan du grand » cercle BED dans lequel se trouve l'œil, pa- » raitront comme des arcs des cercles paral- » lèles, ayant leur partie convexe tournée au » sud ; enfin que les méridiens, situés de deux » côtés, du méridien moyen AEC, seront vus » comme des arcs de cercle dont la concavité » est tournée vers le méridien moyen et qui ») deviennent de plus en plus concaves à me- » sure qu'ils s'en éloignent. » Mais au lieu de développer ces principes conformément à la perspective, Ptolémée détermine les lignes de sa projection d'après des proportions arbitraires, combinées de manière à conserver, au- (0 Piol. C^ogr. I , r. XXIV