LIVRE VINGT-NEUVIÈME

tant que possible, la configuration des pays. « Tracez, dit-il, le parallélogramme rectangle r ABCD, fig. 37, de manière que le côté AB » soit double du côté BD. Coupez-le en deux «également par la perpendiculaire EF, que » vous diviserez en 90 parties. Prolongez cette D ligne de 91 parties 7 pour avoir le centre L. » Prenez FG de 16 parties -iV pour tracer de » l'ouverture LF le parallèle de Méroé SX. » Faites GH de 23 — pour avoir avec le raj^on » LH le tropique du Cancer TY. Prenez GK de » 63 parties et de KL, décrivez le parallèle de » Thulé QR. Portez sur ces trois parties de » circonférences TY, QR, SX, les degrés con- >) venables aux parallèles qui leur répondent » et dans les rapports qu'ils ont avec ceux de » l'équateur; et par les trois points correspon- » dants QTS, RYX, etc., faites passer des por- » tions de circonférences , elles seront les mé- » ridiens demandés. »

» Cette projection est encore employée, quoique avec des modifications essentielles , pour figurer des parties considérables du globe. La meilleure des méthodes qui dérivent en quelque sorte de celle de Ptolémée, est celle employée par Flamsteed dans son atlas céleste , et dont , si je ne me trompe pas , le perfectionnement est dû à Bonne , mi des plus habiles géographes français. Les principes de ce développement sont de décrire tous les parallèles d'un même centre, pris dans l'axe de la carte, et de prendre ensuite sur chaque parallèle les degrés de longitude tels que les donne la loi de leur décroissement , c'est-à-dire proportionnels au cosinus de leur latitude , et enfin de faire passer par une même série de points de division correspondants , une ligne courbe qui représente le méridien. Quelle que soit la position du centre sur l'axe de la carte, cette projection jouit de la propriété de représenter par des quadrilatères égaux chaque quadrilatère correspondant formé sur la surface du globe par deux méridiens et deux parallèles quelconques (^). Les quadrilatères ont d'ailleurs deux de leurs côtés opposés égaux en longueur aux côtés correspondants sur la sphère , quoique différents par leur courbure. Le premier méridien y est rectiligne et coupe tous les parallèles à angles droits; les suivants sont

(') Mollweide y Démonstration analytique de la projection, etc. Zach, Correspondance astronomique, Xill . 144.

des courbes qui les coupent plus ou moins obliquement à mesure qu'ils s'éloignent du méridien principal ; ce qui fait que les quadrilatères qu'ils comprennent s'allongent dans le sens de l'une de leurs diagonales et se rétrécissent dans le sens de l'autre. C'est là le principal défaut de ce développement, mais il ne devient sensible qu'à une distance déjà considérable du centre de la carte.

» Ce défaut était très sensible dans l'atlas de Flamsteed, parce que cet astronome, ayant prolongé indéfiniment l'axe de sa carte, a tracé les parallèles par des rayons infinis , c'est-àdire qu'elles sont dans la carte des lignes droites , coupant les méridiens de l'extérieur de la carte sous des angles très obliques, d'où il résulte une grande altération dans la configuration des pays éloignés du centre , ainsi qu'on peut le juger d'après la fg. 38.

» On obvie à cet inconvénient en assujettissant d'abord le parallèle moyen de la carte à être coupé perpendiculairement par tous les méridiens. Pour cela , il suffit de prendre une droite égale à la cotangente de la latitude du parallèle qui divise à peu près également dans le sens des méridiens la région qu'on se propose de représenter, et avec cette droite, comme rayon, de décrire le parallèle moyen de la carte; les autres parallèles se décriront du même centre avec le même rayon augmenté ou diminué d'une quantité égale à la partie du méridien , comprise entre le parallèle moyen et celui qu'il s'agit de tracer. Il n'est pas nécessaire de dire qu'on doit également faire coïncider le méridien principal de la carte avec celui qui, dans le sens des parallèles, partage la carte en deux portions égales. C'est une règle générale dans tous les développements du globe.

» La projection corrigée de Flamsteed étant aujourd'hui la plus généralement adoptée, nous croyons devoir en faire connaître en détail les procédés , d'après la méthode adoptée au Dépôt de la guerre (*).

» Proposons-nous d'appliquer ces principes au développement d'un demi -fuseau sphérique dont l'angle est de 100°, nouvelle mesure. Le développement sera la projection d'un triangle à trois angles droits ou de la huitième partie de la surface de la sphère. Soit , dans la pg, 39, Ca le rayon représentatif de 0) Puissant, Traité de Topographie, p. îlH.

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

la sphère proposée , et a 0 une ligne perpendiculaire et égale à G a. Si du point a on abaisse sur Go la perpendiculaire ae, elle sera le rayon du parallèle à la latitude de ôO*' (nouv. mes. ) , en prenant P pour le pôle et Q pour un point de l'équateur. Gela posé, on pourra considérer a 0 comme le côté d'un cône tangent à la sphère , et alors la surface près du cercle de contact coïncidera sensiblement avec la surface sphérique. Or, puisque, d'une part, il s'agit de développer seulement le quart de la circonférence dont a e est le rayon , ou , ce qui revient au même, le quart de la surface courbe du cône droit qui a 0 a pour côté ; et que , d'une autre part , a e est le sinus de 50°, lorsque le rayon a G est pris pour le sinus total , on aura le logarithme du sinus de 50° = 9,8494850 et le sinus de 50° = 0,70711. Ensuite 7 de la circonférence qui a pour rayon ae, est = 1,1101627; enfin puisque l'arc a M5 [fig.AO] décrit d'un rayon a 0 = 1 , doit avoir pour longueur 1 , 1 101627, on trouvera le nombre de degrés de cet arc par la proportion que voici :

Telle est la valeur de l'angle a 0 & ou l'amplitude de l'arc ah, fig, 40. Maintenant, si l'on veut avoir les degrés de longitude de 5 en 5 , on divisera l'arc a 6 en vingt parties égales, et le milieu M de cet arc sera sur l'axe 0 M de la carte. Mais comme il n'est pas possible de déterminer la position des autres parallèles ainsi que la longueur de leurs degrés respectifs , sans avoir une échelle de parties égales , construites d'après le nombre des mètres contenus dans le rayon moyen a G de la terre , rayon qui, comme on sait, est = 6,366198 mètres , on procédera préalablement à la construction de cette échelle. Pour cet effet, on portera sur une hgne indéfinie mG', fig. 41, 636 parties et ~ de G' en m, et l'on prendra a'C égal au rayon aG, fig. 39; puis, par tous les points de division de la ligne mG', on mènera parallèlement à a'm les droites œx', yy\ etc. La ligne a'C étant par ce moyen divisée en parties proportionnelles à ?nG', on formera sur ce module l'échelle de la fig. 40.

» Ayant ainsi construit l'échelle de la carte, nous y prendrons une longueur de 50 parties ou myriamètres pour la valeur des degrés du méridien, pris de 5 en 5, et nous porterons

cette longueur sur l'axe de la carte , dix fois au-dessus et dix fois au-dessous du parallèle moyen a 6, fig. 40. Nous décrirons ensuite du point 0 comme centre , des arcs indéfinis, passant par tous les points de division de l'axe OM; alors nous aurons les parallèles de 5 en 5°. Enfin, sur chaque parallèle, nous prendrons des distances égales chacune à cinq fois la valeur du degré de longitude, connu par les tables géographiques. Ainsi , sur le parallèle de 55°, la longueur du degré de longitude est de 6 myriamètres , 49 ; par conséquent , il faudra , à partir de l'axe de la carte, et de part et d'autre de cet axe , porter dix fois l'intervalle 6,49X^ = 32 myriamètres, 45 , pris sur l'échelle. Lorsque tous les points par où doivent passer les méridiens auront été déterminés de cette manière , il est facile de tracer ces courbes.

M II faut avouer que l'amplitude de l'arc d'un parallèle quelconque, déterminée par cette méthode , se trouvera un peu plus grande qu'elle ne devrait être , puisque l'on donne à la corde d'un arc de 5 degrés la longueur même de cet arc ; mais l'erreur qui en résulte est d'autant moindre , que la courbure des parallèles est plus petite. D'ailleurs , pour obtenir une exactitude rigoureuse, on peut déterminer l'amplitude de tous les parallèles comme celle du parallèle moyen , par l'angle que forment les deux rayons menés aux extrémités de ce parallèle.

» Au lieu de prendre arbitrairement, comme dans l'exemple donné, le rayon delà sphère, on en fixe le plus souvent la longueur à l'aide d'une échelle construite d'avance , et dont les parties sont dans un rapport déterminé avec le mètre. Par exemple, au Dépôt général de la guerre, l'échelle pour le dessin et la gravure de la carte de chacune des quatre parties du monde est —TTï-, c'est-à-dire que 2,000,000 mètrespris sur le terrain seront représentés sur la carte par une longueur réelle d'un mètre. D'après cela, le rayon delà terre qui est de 6, 366 198 mètres, sera seulement sur la carte de —^^^ == 3"», jg. Ainsi, pour que l'échelle de cette carte soit divisée de 10 en 10 myriamètres ou de 100,000 en 100,000 mètres, il faut que 10 myriamètres aient pour longueur 5 centimètres. Le Dépôt de la guerre observe de même dans ses cartes spéciales une progression décimale de l'échelle, de sorte que le degré de latitude d'une car ^