LIVRE VINGT -NEUVIEME

générale étant pris pour unité, celui de la carte chorographique doit être représenté par l'un des nombres 2, 5, ou 10 qui sont les diviseurs exacts dans le système décimal. Par ce moyen, les cartes particulières s'enchaînent parfaitement avec les cartes générales , attendu que les proportions de détails croissent d'une à l'autre carte dans des rapports faciles à calculer. Mais l'exécution de ces sages vues renchérirait le prix des atlas géographiques, en exigeant le plus grand format.

» Les diverses modifications de la projection conique ayant été suffisamment expliquées , nous allons considérer les développements cylindriques de la surface du globe, et les cartes marines qui en sont déduites (^).

» Les rumbs de vent que suivent les navigateurs , ou les directions indiquées par la boussole, ayant la propriété de couper sous le même angle tous les méridiens qu'ils traversent, et qui , pour cette raison, forment sur le globe la spirale nommée loœodromique , se trouvent nécessairement projetés par des lignes courbes du même genre dans toutes les cartes où les méridiens ne sont pas parallèles.

» C'est ce que démontre la fig. 42, dans laquelle on voit une moitié d'hémisphère projetée sur le plan de l'équateur. Soit P le pôle nord , AMB l'équateur ; les droites tirées du centre à la circonférence sont des méridiens , et les cercles concentriques représentent les parallèles. Supposé que le navigateur veuille aller de C , point de l'équateur, droit au nordouest ; le cours de son vaisseau doit constamment faire avec la méridienne du lieu ou avec la ligne nord et sud un angle de 45 degrés (anc. mes. ). Arrive-t-il maintenant en G , la ligne méridienne GNP ne conserve plus de parallélisme avec le méridien CG; s'il continue sa route au nord-ouest , en observant toujours l'angle de 45**, il parviendra au point H , de là au point I , et il décrira ainsi la courbe loxodromique CGHI qui s'approche constamment du pôle, sans toutefois y atteindre jamais. Plus l'angle constant sous lequel la route coupe les méridiens est grand, plus la courbe loxodromique devieut longue, comme on le voit dans

(') Neptune français, discours prélimin. Bezoïit, Cours des mathém. Marine. Dubourguet , Trailé des navigations , etc. — (^) Voyez ci- dessus, Liv. XXVII, p. 83.

la fig, 42 , par la ligne CBS. On conçoit que les marins qui doivent diriger leurs courses sur ces lignes , ne peuvent tracer commodément sur ces cartes , ni le chemin qu'ils ont parcouru, ni la route qu'il leur reste à faire, à cause de la difficulté de mesurer avec le compas l'arc d'une courbe ; pour parer à cet inconvénient , ils ont cherché à imaginer une projection de cartes dans laquelle les méridiens fussent des lignes parallèles droites.

» Le développement d'un cylindre se présente aussitôt à l'esprit, comme le moyen d'obtenir une semblable projection. Lorsqu'on se borne à retracer une zone de très peu d'étendue en latitude , il est évident que la zone spherique pourra, sans erreur sensible , être représentée par le développement d'un cylindre , soit inscrit, soit circonscrit à cette zone, et dont l'axe coïncide avec celui du globe. Les méridiens qui résulteront des sections du cylindre par des plans passant par son axe , sont représentés par des lignes droites parallèles à cet axe ; les plans des parallèles coupent le cylindre suivant des cercles parallèles à sa base, et qui deviennent des lignes droites dans le développement. Telle est la construction des cartes plates, dont on attribue faussement l'invention à don Henri, infant de Portugal, puisque Martin de Tyr, antérieur à Ptolémée, en condamne l'usage et en a essayé une modification (i). Leurs défauts sont analogues à ceux de la projection conique ; ils sont même plus considérables; car dans celle-ci on peut donner à deux parallèles leur véritable longueur par rapport aux degrés de latitude, tandis que sur la carte plate on ne peut observer cette proportion qu'à l'égard d'un seul, savoir: pour l'inférieur dans le développement du cylindre circonscrit , et pour le supérieur dans le déve-^ loppement du cylindre inscrit. Il est vrai qu'on pourrait masquer cet inconvénient , si on employait le cylindre construit sur un des parallèles intermédiaires , et qui serait en partie intérieur et en partie extérieur à la sphère : de cette manière, l'étendue en longitude se trouverait exacte vers le milieu , mais l'erreur serait partagée entre les deux extrémités. On a même essayé des projections cylindriques dans lesquelles le cylindre aurait pour base un cer-

(') Marin. Tyr. Ap. Plolém. I, 20. Comp. Gossellin, Recherches sur la Géographie des Grecs, II, 33, sqq. 1 , 46-60, etc., etc.

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

cle vertical quelconque (*) , mais nous n'en parlerons pas , et nous nous bornerons à remarquer que l'on peut placer le parallèle qui sert de base au cylindre, de manière que l'aire du développement soit égale à celle de la zone sphérique.

» Le tracé des cartes plates s'effectue sans peine dès qu'on a fixé la position du parallèle terrestre qu'on développe ; il n'est question que de donner aux degrés de longitude, sur ce parallèle , la grandeur qu'ils doivent avoir par rapport à celle qu'on assigne au degré de latitude.

» La ligne HG, fig. 43, étant supposée parallèle à l'axe CP et égale au développement de Tare BF, sera le méridien de la carte destinée à représenter la zone comprise entre les parallèles des points B et F. Le développement du parallèle moyen, 'dont le rayon est Ee, donnera les degrés de longitude. On voit par cette figure le défaut de la carte sur les parallèles extrêmes, puisque le rayon G^ est plus petit queBô, et le rayon Hh plus grand que Ff.

>» Ces cartes ne peuvent convenir qu'à de très petites parties du globe; les moins défectueuses sont celles qui représentent les régions voisines de l'équateur, parce qu'à peu de distance de ce cercle les cosinus de latitude ne varient pas beaucoup. D'Anville s'en est encore servi dans un cas semblable ('^) , mais ce cas est presque unique.

» Pierre Nunnez ou Nonnius remarqua, vers le milieu du seizième siècle, les défauts des cartes plates. Mercator qui venait d'introduire la projection stéréographique pour les mappemondes, considéra que les marins n'emploient pas la carte pour connaître la figure des pays , mais seulement pour y tracer exactement , d'après sa longueur et sa direction, le cbemin qu'ils ont fait, et pour déterminer la distance où ils sont des divers points des côtes, et la direction qu'ils doivent tenir pour y arriver ou pour les éviter; il imagina d'après ce principe, en 1550, la projection des cartes réduites, qui satisfait parfaitement à ces conditions, et dont les Anglais Wright, Gregory, Halley et autres, ont trouvé long-temps après la théorie mathématique P). Les méridiens y sont des lignes

(') Textor, dans ZacA, Correspondance, XVIII, 190. — {") Carte de Guinée, 177G. D'Anville, Considér. sur la Géog. , p. 30. — (3) Mollweide, dans Zach, Correspondance, XIV, 490.

droites parallèles équidistantes , et coupées à angle droit par les parallèles à l'équateur ; mais les intervalles qui séparent ceux-ci croissent à mesure qu'on s'avance vers les pôles, dans un rapport précisément inverse de celui que suit sur le globe la diminution des degrés de longitude, fig. 44. Il résulte de là que les distances en longitude , mesurées sur chaque parallèle, ont, par rapport aux distances en latitude correspondantes , la même relation que sur le globe.

» Le tracé de ces cartes n'a d'autre difficulté que la construction de l'échelle des latitudes, pour laquelle on a depuis long-temps des tables calculées avec beaucoup de soin , et même en ayant égard à l'aplatissement de la terre. Elles portent le nom de tables des latitudes croissantés, à cause de l'augmentation qu'éprouve dans ces tables la longueur de chaque degré de latitude, à mesure qu'il approche du pôle. Comme les principes d'après lesquels ces tables sont construites ne peuvent être expliqués rigoureusement qu'à l'aide du calcul intégral, nous nous bornerons à une observation sur la nature des cartes réduites. Il est évident qu'on ne doit y chercher, ni les rapports d'étendue des pays , ni l'exacte image de leur configuration ; car cette projection augmente considérablement les régions qui sont placées vers les pôles, quoique d'ailleurs elle partage avec la projection stéréographique la propriété de conserver aux portions infiniment petites du globe leur similitude ; mais ces défauts n'ont aucun inconvénient pour des cartes, qu'on ne doit regarder que comme des instruments destinés à résoudre graphiquement les principales questions du pilotage ; ce qu'elles font avec la plus grande exactitude et la plus grande facilité, moyennant des procédés géométriques ou des calculs enseignés dans les traités de navigation.

» Il nous reste encore à faire connaître diverses méthodes pour tracer les cartes , méthodes qui n'ont point pour base le développement d'une figure , mais seulement des calculs de proportion.

» La plus remarquable projection de ce genre est celle qu'a inventée le célèbre géomètre Lambert (^) , et qu'un auteur italien a depuis exa-

(') Lambert, Mémoires sur l'usage des malhémaliques,vol. III, observations sur les caries, § 99. Mayer, Introduction, etc., § 62, en ail.