LIVRE TRENTIÈME

espaces dans lesquels doivcDt nécessairement s'enchâsser les points et les détails intermédiaires ; et si cela n'a pas lieu , l'excès ou le défaut qu'on trouve , étant dû aux erreurs des diversés cartes assemblées , se répartit entre tous les points de chacune , et devient par ce moyen presque insensible, à moins qu'on n'ait découvert quelque raison d'attribuer cette inexactitude à certains points particuliers, auxquels on fait alors supporter toute la correction indiquée par les observations astronomiques.

» Le géographe n'est malheureusement que trop souvent dépourvu d'observations astronomiques et de levés trigonométriques ; il n'y a que peu de pays , la France , par exemple, le Danemark, la Hollande et la Hongrie, qui soient levés trigonométriquement dans toute leur étendue; il y a encore des provinces européennes où les astronomes n'ont pas pénétré. La géographie est donc obligée d'avoir recours aux distances itinéraires , toujours très difficiles à évaluer d'une manière rigoureuse, même quand on connaît exactement la valeur des mesures dans lesquelles elles ont été calculées. Cette connaissance est encore très peu avancée, soit à cause du nombre immense des mesures à comparer , soit à cause des variations auxquelles elles sont soumises, soit enfin, à l'égard de beaucoup de mesures anciennes, parce qu'il nous en manque des modules authentiques (^).

« Nous avons déjà vu P) qu'il y a diverses opinions sur la manière d'évaluer les stades des anciens , et qu'il est encore douteux si l'on doit les considérer comme des modules astronomiques ou comme des mesures locales. Dans la première supposition, nous rencontrons dans les anciens un passage sur trois qui ne se laisse plier à cette explication systématique qu'à force de corrections violentes (3) , ou par l'admission d'un mélange peu vraisemblable de différents stades ; dans la seconde hypothèse , qui nous paraît préférable, on manque d'un principe clair d'où l'on puisse partir ; on marche sur la

(') Traité des mesures itinéraires des anciens, par d'Anville. Observations, etc., par Gossellin, en avant de la traduction française de iS>aZ>o/z. Traité des mesures, par Romé de Clde. Métrologie constitutionnelle, par Paucion. Traité des monnaies, des mesures, etc., par Gérard Kruse , en allemand. Voyez les labiés à la fin de ce volume. — (=») Voyez ci-dessus , p. 62 et 65. — (3) Voyez les notes de la ifaductiou française de Strabon.

bonne route, mais entouré d'une nuit profonde. Au reste , ces obscurités valent mieux que les fausses clartés d'une hypothèse dénuée de preuves ; d'ailleurs, les doutes qui enveloppent la métrologie ancienne peuvent-ils nous étonner, quand nous savons que même les mesures modernes présentent des cas où il est difficile de les réduire ? Sans doute on connaît exactement les rapports des mesures le plus généralement usitées dans les capitales et citées dans les ouvrages des savants ; on sait , par exemple, ce que valent le mille anglais et le mille nautique , le degré du méridien contenant 69,2 des premiers et 60 des seconds ; on sait aussi que le pied anglais étant égal à 0,9384 du pied français , vaut 11 pouces 3 lignes, 1 , et que la verge usitée en Angleterre pour mesurer les petites distances vaut 3 pieds anglais ; on en conclut, par conséquent, que la verge représente 33 pouces 9 lignes, 3 de France. De semblables réductions donnent le moyen de convertir les unes dans les autres les mesures généralement en usage dans les grands États ; mais il y a en outre , dans les provinces , des mesures locales peu connues , et à l'égard desquelles il faut faire des recherches multipliées pour obtenir leur rapport avec les autres, soit en comparant leurs composants aux unités les mieux fixées, soit en partant de quelque distance évaluée en mesure locale et connue en mesures géographiques. En France, par exemple, rien ne variait autrefois plus que la grandeur de la lieue d'une province à une autre ; la perche même , qui sert à l'arpentage , avait tantôt 22 pieds, tantôt 18 seulement. Le nouveau système métrique prévient pour l'avenir une semblable confusion.

» Lorsqu'on connaît la valeur des mesures dans lesquelles un itinéraire est conçu, on marque la direction de la route d'après les aires du compas ou les rumbs de vent. Quand on a la longueur et la direction d'une route partant d'un point dont la position est donnée, on trouve bien aisément celle du point où cette route se termine. D'abord, lorsque la route n'est pas considérable, on peut, dans l'espace qu'elle traverse, négliger la courbure de la terre, c'est-à-dire regarder les méridiens comme parallèles entre eux, et par conséquent les rumbs de vent comme des lignes droites. Pour construire cette route sur une carte plate, il suffit alors de tirer par le point de départ

GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

une ligne qui fasse avec ia méridienne de ce point un angle égal à celui que donne le rumb de vent qui a été suivi , et de porter sur cette ligne un nombre de parties de l'éclielle égal à celui des mesures itinéraiies parcourues : le point où se termineront ces parties sera le point d'arrivée. On peut aussi substituer le calcul à la construction : si de l'extrémité de la route parcourue on abaisse sur la méridienne qui passe par l'autre extrémité une perpendiculaire, il en résultera un triangle rectangle, dans lequel la partie de la méridienne interceptée entre le point de départ et la perpendiculaire menée du point d'arrivée, indiquera la distance de ces points prise sur la ligne nord et sud , ou la différence de latitude exprimée en mesures itinéraires, qu'on réduira ensuite d'après leur valeui", en degrés du méridien, et la perpendiculaire exprimera la distance de ces mômes points prise sur la ligne est et ouest, qui se confond dans ce cas avec la différence de longitude exprimée en mesures itinéraires. Si l'on veut la convertir en degrés, il faut la diviser par le nombre de ces mesures que doit contenir un degré du parallèle du point de départ, ou , si l'on veut plus d'exactitude encore, par le nombre des mesures comprises dans un degré du parallèle qui tient le milieu entre celui du point de départ et celui du point d'arrivée. Toute cette opération revient à diviser le nombre des mesures itinéraires par le cosinus de la latitude du parallèle moyen.

» Il peut se présenter une seconde question : dans le cas où la direction de la route n'est pas connue , on la remplace alors par la latitude du point d'arrivée. La construction sur la carte plate consiste, dans ce cas, à tirer par sa latitude le parallèle du point d'arrivée, à prendre sur l'écbelle de la carte le nombre des mesures assignées à la distance parcourue, et à décrire avec cette distance comme rayon , et du point de départ comme centre , un cercle qui coupera dans le point d'arrivée le parallèle tiré précédemment. Si nous voulons résoudre cette question par le calcul , il faut convertir en mesures itinéraires la différence de latitude entre le point d'arrivée et le point de départ ; nous avons alors dans le triangle rectangle formé par la méridienne du point de départ, la perpendiculaire abaissée du point d'arrivée, et la route, deux côtés connus, savoir, la longueur de la route ou l'hypothé-

nuse , et la partie de la méridienne comprise entre le point de départ et la perpendiculaire du point d'arrivée; en calculant la longueur de cette perpendiculaire, on trouve la distance des points de départ et d'arrivée, prise sur la ligne est et ouest, d'où l'on conclut, comme ci-dessus, la différence de longitude.

» Lorsque la route parcourue est d'une longueur considérable, il devient nécessaire d'avoir égard à la courbure de la terre : la construction des deux problèmes précédents demande, par rapport à la réduction des lieues parcourues dans le sens est et ouest, en degrés de longitude, l'emploi des tables des latitudes croissantes, tables qui contiennent d'avance les résultats du calcul trigonométrique, par lequel le cas pourrait se résoudre (•). Pour la première question dans laquelle la direction de la route est connue, après avoir obtenu, comme ci-dessus, la latitude du point d'arrivée, on prendra dans la table des latitudes croissantes la différence des nombres qui ré-

(■) Voici les principes de ce calcul. Observons que les rumbs coupent tous les méridiens sous le même angle; concevons ensuite la roule parcourue divisée en parties assez petites pour pouvoir être regardées comme droites; puis, que par les extrémités de toutes ces subdivisions, uu même des méridiens et des parallèles, on formera sur chacune de ces parties, prise pour hypolhénuse, un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit seront les diflérences de latitude et de longitude exprimées en mesures itinéraires. Qu'un de ces triangles soit représenté par celui qui e^t marqué ABC dans la figure 49, on aura par les principes de la trigonométrie rectiligne , AB : AC : : 1 : COS. BAC , d'où AG = AB cos. BAC. Mais l'angle BAC étant le même à l'égard de tous les méridiens que traverse sa route, la diflérence de latitude propre à chaque petit triangle comprendra le même facteur ; et la somme de toutes ces différences composant la différence en latitude des points de départ et d'arrivée, sera égale à la somme des portions de la route parcourue, ou à la longueur totale de cette roule , multipliée par le cosinus de l'angle que fait sa direction avec la méridienne, comme dans le cas où l'on néglige la courbure de la terre. La réduction en degrés aura par conséquent lieu de la manière indiquée précédemment.

C'est au moyen de la différence en latitude AC que l'on peut maintenant calculer la différence en longitude correspondante à BG: on a pour cela la proportion.

AC : BC: : 1 : tang. BAC ,

de laquelle il résulte

BC= AC tang.