b sin a' y' 4- 2 l> sin a x' 4- b' > = o

— 2 p cos a' — 2 p cos a — 2 ap J

Pour que l’équation ait la forme demandée, il faut que les indéterminées « , a', b, a, satisfassent aux conditions suivantes :

' sin a = o , sin a sin a' = o , b sin a' — p cosa' = o , 6'- — 2 = o.

La seconde condition étant une conséquence de la première, on n’a que trois relations entre x, oc', b et a. Il existe donc une infinité de systèmes d’axes obliques pour lesquels lequation de la parabole conserve la forme y* — 2 px.

La condition sin a = o montre que l’axe des x de chaque système doit être un diamètre de la courbe; b*- — 2pa~o fait voir que chaque origine est un point

de la parabole; la valeur tang ct' = ^ » déduite de

b sin a' — p cos a! = o ,

prouve que l’axe des y de chaque système doit être une tangente.

En ayant égard aux conditions (2) , l’équation (1) se réduit à

sin1 «'.y’ — 2px'=: o.

DE LA PARABOLE

En supprimant les accents sur les lettres x et y, et divisant par siu! a', l’équation précédente devient

sinJ«

ou, en faisant — p' •

1 sin’ a' '

Le coefficient 2 />' est ce qu’on nomme le paramètre du diamètre auquel la parabole est rapportée.

La valeur tanea,= ~ donne b

. sin' a =

On en déduit

et , par suite ,

h 7 -+- p7 2 pa p7 2 a -f- p

On conclut de là que le paramètre d'un diamètre quelconque est égal à quatre fois la distance du foyer à l'extrémitc de ce diamètre.

L’équation de la parabole restant la même lorsqu’on rapporte cette courbe à ses diamètres ou à son axe , les propriétés indépendantes de l’angle des coordonnées seront communes à ces différents systèmes.

i°. Selon qu’un point est situé sur la parabole, hors de la parabole , ou dans la parabole , on a

20. Les carrés des ordonnées au diamètre sont entre eux comme les abscisses correspondantes.

3°. En désignant par a le coefficient angulaire de la tan-

gentc, on a

UIÀPITHE ONZIEME.

l’équalion de la tangente est

et la valeur de la sous-tangente, ix'\ c’est-à-dire que la sous-tangente est toujours le double de l’abscisse du point de contact.

205. Une droite étant donnée sur le plan d’une parabole, si l'on mène à la courbe une tangente parallèle à cette droite, et le diamètre qui passe au point de contact, l’équation de la parabole rapportée à ce système d’axes sera

jr* = 2 p' x. '

En menant d’un point quelconque (x", y"), de la droite donnée, deux tangentes à la courbe, on à pour déterminer les coordonnées des points de contact , les équations

La seconde indique que la droite qui a pour équation

y" y = p' ix H- *")

passe parles points de contact. L’hypothèse y — o , dans celte équation , donne

Résultat indépendant de y", et qui conduit pour la parabole au théorème déjà trouvé pour l’ellipse et l’hyperbole.

Donc , en général , si de chaque point d'une droite donnée on mène deux tangentes à une courbe du second ordre, et qu’on tire une droite par les deux points de contact, on aura des sécantes qui se rencontreront toutes en un même point situé sur le diamètre qui divise en parties égales les cordes parallèles à la droite donnée.

DE LA PARABOLE

Réciproquement , si par un point donné dans le plan d'une courbe du second ordre, on tire différentes sécantes, et que par les points ou chaque sécante rencontre la courbe , on mène deux tangentes, le lieu des points d'intersection de ces tangentes, ainsi prises deux à deux, sera une droite parallèle aux cordes que divise en parties égales le diamètre passant au point donné.

200. L’équation y'—ip'x, comparée à l’équation y* — 2 px, montre que pour construire une parabole, connaissant un diamètre; le point où il coupe la courbe; le paramètre; et l’inclinaison des cordes correspondantes: il suffit de décrire une parabole sur ce diamètre pris pour axe, avec le paramètre donné ; puis, d’incliner les ordonnées de cette courbe sous l’angle connu, sans changer leurs longueurs.

O11 peut, aussi , déterminer le foyer et la directrice. Soient A'X' (Jig. io5) le diamètre donné ; A’, le point où il coupe la courbe : on mène la droite Y'A'T sous l’inclinaison connue, et celte ligne sera tangente à la parabole au point A'. O11 fait l’angle TA'F égal à Y'A'X', et la ligne A'F passe par le foyer. En prenant A'F égale au quart du paramètre donné, le point F sera le foyer. Si l’on porte sur le prolongement de A'X', la distance A'H= A'F, la perpendiculai re HH' à A'X' sera 1 a directrice.

Remarque . — La perpendiculaire FB, abaissée du foyer sur la directrice HH', est la moitié du paramètre; et le point A, milieu de FB, est le sommet de la courbe.

207. Quand on donne un arc quelconque de parabole, on peut déterminer par la géométrie : l’axe, le foyer, le paramètre relatif à l’axe.

Soit NN' (fig- io5) l’arc donné; si l’on mène les cordes parallèles NN', MM': la droite A'X' qui joint leurs milieux sera un diamètre de la courbe. La parallèle A' Y' à ces cordes

sera tangente à la parabole. Alors, si au point A' on fait l’angle RA'T égal à Y'A'X',la ligne A' K passera par le foyer.

En cherchant un second diamètre, on pourra obtenir une autre droite passant par le foyer 5 ce point se trouvera ainsi déterminé par la rencontre des deux droites.

Si par le point trouvé on mène une parallèle à l’un des diamètres, on aura l’axe. Le sommet s’obtiendra , comme précédemment, en cherchant d’abord la directrice. Le double de la distance du foyer à cette dernière droite sera la valeur du paramètre. 1

Le paramètre d’un diamètre quelconque A'X' s’obtient en prenant quatre fois la distance FA'.

Quadrature de la parabole.

2<)8. Proposons-nous de trouver la surface d’un segment parabolique MA'P (fi g. 106) terminé par le diamètre A'X', et l’ordonnée PM, parallèle à la tangente A' Y'.

Après avoir inscrit un polygone A'M"M'M dans la parabole , menons, par les sommets, les ordonnées PM , P'M', i,,/M",ctc., et les tangentes MT, M'T', M"T", etc. Ces tangentes détermineront par leurs intersections successives des triangles TRT', T'R'T", etc., que nous allons comparer aux trapèzes correspondants PMM'P', P'M'M"P", etc. En abaissant du point R et du point I , milieu de la corde MM', des perpendiculaires RQ, IK. sur A'X', on aura

surface TRT' = ^ TT'. RQ,

.et

surface PMM' P' = PF . IK (* ).

(*) En «(Tel, menons M'O parallèle à P1 P; nous aurons

M'OPP'= PP'x GK, et M'OM = M’O X IG; puisque IG est la moitié de la hauteur du triangle M'OM., relative à la hase M'O qui est égale à PP'. On a donc

PMM'P’ = PP' X’IK