MG = MF

et . d’après la construction,

GMT = TMF

]>E LA PARABOLE

donc MT est perpendiculaire sur le milieu de GF. Actuellement, si d’un point quelconque S pris sur MT, on mène la droite SF au foyer, et la ligue SH perpendiculaire à la directrice , et qu’on joigne SG , on aura

SH < SG ; par suite , SH < SV'.

Donc, chaque point de MT, excepté le point M, est extérieur à la parabole.

Lorsque la tangente doit être menée par un point S, pris hors de la parabole, on observe que si le point M est le point de contact demandé, et MT la tangente: enjoignant MF, et en menant MG perpendiculaire à BL, la tangente doit être perpendiculaire sur le milieu deFG. Les distances SF’, SG, sont égales. Donc , le point G sera déterminé par l’intersection de la directrice et de la circonférence décrite du point S comme centre, avec SF’ pour rayon. On voit, alors, qu’en joignant GF, et en abaissant ST perpendiculaire sur celte droite, la ligne ST sera tangente à la courbe, et le point de contact se trouvera à l’intersection, M, de cette tangente et de la droite MG parallèle à l’axe. Quand le point S est extérieur à la parabole, sa distance au foyer étant plus grande que sa distance à la directrice, la circonférence coupe cette dernière en deux points G, G', et il y a deux tangentes.

Quand le point S est sur la parabole, sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice , le cercle est tangent à cette droite, et le problème n’a plus qu’une solution.

Enfin j lorsque le point S est intérieur, la première distance est moindre que la seconde, la circonférence n’atteint plus la directrice, et il n’y a plus de tangente.

Remarque. — Le point A est le milieu de BF ; donc AY doit passer par le point D milieu de GF; or, la tangente MT passe par ce point , et est perpendiculaire à F’D ; donc :

le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes est la droite menée par le sommet perpendiculairement à l'axe.

202. On vient de voir que par un point extérieur on peut toujours mener deux tangentes à une parabole. Examinons le cas où le point donné est sur la directrice.

Soient G (Jig. to4) le point connu; GM, GM', les deux tangentes. En supposant que F soit le foyer de la courbe, menons les lignes GF, FM, FM', et les perpendiculaires MK, M'K', sur la directrice. Le triangle GMF est égal au triangle GMK; car GM est commun aux deux triangles; MK = MF, et l’angle GMF égale l’auglc GMK. Comme * l’angle GKM est droit, il en est de même de l’angle MFG.

O11 voit, de plus , que l’angle MGK = MGF. L’égalité des triangles M'K' G, M'FG, prouve que l’angle GFM' est droit, cl que M'GK' = M'GF. Les angles MGK, M'GK' 1 étant respectivement égaux aux angles MGF, M'GF, il en résulte que la somme de ces deux derniers angles est égale à un droit, c'est-à-dire que l’angle MGM' est droit. On reconnaît, en outre, que les rayons vecteurs FM, FM', sont en ligne droite. On est donc conduit au théorème suivant, qui mérite d’étre remarqué :

Les tangentes menées à la parabole d’un point de la directrice font entre elles un angle droit, et la ligne qui joint les points de contact passe au foyer, et est perpendiculaire sur celle qui joint le foyer au point d'où parlent les tangentes.

Des diamètres-

203. Prenons l'équation y — ox -+- £ d’une droite quelconque; en la combinant avec celle de la parabole y*— 2 px, et en éliminant x, on aura

Ty + ~r = 0’

DE LA VAllABOLE.

Les racines de cette dernière équation sont les ordonnées des points de rencontre de la droite et de la courbe, et l’ordonnée du milieu de la corde qui passe par ces points est égale à la demi-somme de ces deux racines. De sorte qu’en désignant cette ordonnée par y, on a

Celte valeur ne contient pas S. et reste la même tant que d ne change pas. Il résulte de là que tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l'axe de cette courbe.

Réciproquement, toute droite parallèle à l'axe peut être regardée comme un diamètre , puisqu’on donnant à d une valeur convenable, y devient égal à telle quantité que l’on voudra.

Quand on mène un diamètre à une distance y' de l’axe, on a pour ce diamètre ,

f =Si d’oi* * = jr

Cette valeur est celle de la tangente trigouométrique de l’angle que font avec l’axe des x, les cordes que ce diamètre divise en parties égales. Cette même valeur est aussi égale à la tangente trigonométrique de l’angle que fait avec l’axe la tangente au point d’intersection du diamètre et de la courbe. Donc, les cordes qu’un diamètre divise en parties égales sont parallèles à la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre.

Pour que la tangente d soit infinie, il faut que y'= o; par conséquent, l’axe des abscisses est le seul axe de la parabole. '

La parabole rapportée à ses diamètres.

204. Cherchons les systèmes d’axes obliques pour lesquels l’équatioftv^e la parabole conserve la forme >,s = u px.

A cet effet , employons les formules

x — x' cos a - y' cos a' 4 -a, y = x' sin a 4- y' sin a' 4- b ,

qui servent à passer des axes rectangulaires aux axes obliques.

Les valeurs de X et de y étant portées dans l’équation y* = 2 px ,

donnent ;

si n’a', y* 4- sin’ a. x'1 4- 2 sin a sin a' . x' y' \