L’arc donné est hyperbolique
En opérant comme précédemment, on obtiendra les directions et les longueurs de deux diamètres conjugués, cc qui conduira à la détermination des axes.
3°. L’arc donné est parabolique. La question a été traitée n° 207.
210. En prenant des axes rectangulaires , et en plaçant l’origine à un sommet, les trois courbes du second ordre peuvent être représentées par l’équation
y* ex. 2 px 4- qx2.
On a vu qu’en plaçant l’origine des coordonnées au sommet de l’ellipse situé du côté des abscisses négatives , l’équation de la courbe est
y = —, (^ax — x2), a
On sait également que si l’origine des coordonnées est pla-
cée au sommet de l’hyperbole, situé du côté des abscisses positives, on a pour équation de la courbe :
r = —(*ax + x’)t
ou
jd — - — i- H : -V2.
Si l’on fait — = />, et si l’on désigne généralement par q le
coefficient de x% les deux courbes précédentes seront renfermées dans l’équation
y'z= ipx + qx\
La parabole est visiblement comprise dans cette dernière équation, qui se réduit à
y'z=2px,
lorsqu’on suppose
Quand l’équation représente une ellipse , ou une hyperbole, le coefficient q de x* est le carré du rapport du second axe au premier, ce carré étant pris avec le signe moins pour l’ellipse, et avec le signe plus pour l’hyperbole. Le coefficient 2 p de la première puissance dë x est le paramètre de chacune de ces courbes. 11 est égal à la troisième proportionnelle au premier et au second axe. 11 a aussi pour valeur la double ordonnée du foyer dans chacune des trois courbes.
L équation y° = 2 px 4- qx% ne renferme pas toutes les variétés des courbes du second degré; on n’y trouve que le cercle, le point, le système de deux droites qui se coupent , et une seule droite.
211. Théoiiemf. de jNewtos. — Si par un point quelconque, pris sur la plan d'une courbe algébrique , on mène.
QUESTIONS RELATIVES AUX ÇOURBES DU %r DEGRÉ. 299
deux transversales, parallèles chacune à une direction fixe, le produit des segmènts interceptés entre ce point et les differents points d'intersection de la courbe avec une des transversales , sera uujpro'duit des segments formés de la même manière sur l’autre transversale, dans un rapport constant, quelle que soit la position du point.
Soient XX' et YY' deux droites menéessuivant deux directions quelconques ; O le point de concours de ces droites ; M', M", M'", etc. , les points de rencontre de XX' avec la courbe; N', N", N'", etc.,, les points où Y Y' coupe cette même courbe. ,
Supposons la courbe du degré m, et rapportons-la aux droites XX' et YY' qui se rencontrent au point O; son équation sera de la forme
( 1 ) A ym + ...+• Ha" + . + U = o.
Si Ton fait y o , on aura
OM'.OM'.OM =±n-
L'hypothèse x = o donnera
