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une distance — de cet axe: et ainsi de suite. On voit donc

que la courbe se compose d’une infinité de branches telles que E' A'C' comprises chacune entre deux asymptotes pa-

436 CHAPITRE DIX-H Eli V 1ÈME.

rallèles à l’axe des ordonnées, et à une distance l’une de l’autre égale à n. 11 est d’ailleurs facile de reconnaître que toutes ces branches tournent leur convexité vers l’axe des .r; qu'elles sont tangentes à une parallèle à cet axe aux points A, A', etc. Les droites dirigées suivant les ordonnées de ces points sont des axes de la courbe.

Enfin l’aire du segment OABN correspondant à l’abscisse ON = X d’un point quelconque de l’arc ABC, a pour valeur tang x. En elfet, désignons par <p (.r) la fonction de l’abscisse qui représente la valeur de ce segment, et faisons croître l’abscisse d’une très-petite quantité h. L’accroissement de l’aire du segment sera compris entre h.séc^x et h. séc5 (x -+- h). Le rapport de cet accroissement à celui de la variable x sera de même compris entre séc5 x et séc5 La limite de ce rapport aura donc pour va-

leur séc5 x. Or séc5 x est la dérivée de tang .r ; donc çp ( x ) et tango: ne peuvent différer que par une constante, c’està-dire qu’on a

f (-r) = tang x ■+■ c.

Lorsque x = o, le segment OABN devient nul; par conséquent , c = o. Il en résulte

• OABN = tang x.

C’est ce qu’il fallait démontrer.

Troisième exemple, y — (fig- 161).

La courbe est entièrement située du côté.des abscisses positives.

Lorsqu’on donne à x une valeur OM moindre que l’unité, l'ordonnée correspondante AM est négative; si o: diminue depuis OM jusqu’à o, l’ordonnée correspondante, toujours négative, décroît depuis AM jusqu’à o ; par conséquent, l’origine est un point de la courbe.

Si l’on fait croître l’abscisse x depuis OM jusqu’à OC= i,

FOllME UES COURBES. 4^7

l'ordonnée resle négative et augmente en valeur absolue de AM à l’infini. On détermine ainsi une branche OAD de courbe qui s’arrête à l’origine des coordonnées et s’étend du côté des x positifs , au-dessous de l’axe des x , à une distance infinie de cet axe, en ayant pour asymptote la droite CG', dont l’équation est

Cette branche est tangente à l’axe des y, à l’origine, car l’équation y = donne

X X log X

et l’on sait que le produit x. logx devient nul quand x = o. La première dérivée y' de l'ordonnée est

x . (log a;)2’ log x -+- 2

la seconde dérivée

J x1 (logx)3’ **

elle est positive tant qu’on a

log x 2 <( o ;

nulle lorsque

log x 2 = o ;

change de signe, en devenant négative, dès que log x •+• 2 > o.

Or, l’égalité log x + 2 = o donne

log x — — 2 ,

et, par suite,

d’où je conclut que la branche OAD tourne sa concavité vçrs l’axe des x, depuis l’origine O jusqu’au point A , dont

l’ordonnée est — qu’en ce point il y a inflexion : la concavité se change en convexité par rapport à l’axe des abscisses.

En donnant à x des valeurs croissantes de i à oo , l’ordonnée y diminue de oo à o; on obtient la branche LIH qui, située entièrement au-dessus de l’axe des .r, tourne constamment sa convexité vers cet axe, et a pour asymptote les deux droites CG , CX.

L’origine est, comme on voit, un point d 'arrêt.

Quatrième exemple, y — (fig- 162).

Donnons à x une valeur positive quelconque x'= OM, il

en résultera pour y une certaine valeur - de même po-

sitive. Si x décroit depuis x' jusqu’à zéro, y va aussi en diminuant, et il en est encore de même du rapport de y à x

dont l’expression est — Lorsque X s’annule, le rapport