Construction clc courbes transcendantes
Premier exemple. jc=sin:r.
En faisant croître x de o à -, la valeur de y augmente
de o à i ; on obtient ainsi 1 arc OA {fi g- tSt)), qui tourne * sa concavité vers l’axe des x, puisque la seconde dérivée — sin.r, de l’ordonnée, a un signe contraire à celui de l’ordonnée elle-même.
L’abscisse continuant d’augmenter, de ^ à jr, l’ordonnée
diminue depuis i jusqu’à o; on obtient l’arc AO' égal à OA, et symétrique par rapport à la perpendiculaire AM, abaissée du point A sur l’axe des x. Ce second arc est, comme le premier, concave vers l’axe OX.
I.a tangeute au point A est parallèle à l’axe des x, car la première dérivée de y, qui est cos.r, se réduit, à zéro,
quand x — ~ L’ordonnée de ce point est un maximum.
Les valeurs de x comprises entre r et 2 jr , donnent l’arc O' A' O", égal à OAO', mais situé au-dessous de l’axe des .r \ des valeurs comprises entre 2 tt et 3tt détermineraient un troisième arc égal aux deux premiers, et situé au-dessus de l’axe des abscisses, et ainsi de suite. II est d’ailleurs évident, d’après la forme de l’équation , que l’origiiie des coordonnées est un centre, et qu’en faisant varier x depuis o jusqu’à — co , on trouvera à gauche de l’axe des ) des arcs
égaux à ceux qu’on a trouvés à droite, niais dans une position inverse par rapport à l'axe des abscisses.
On voit aussi que l’origine est un point d’inflexion , car la dérivée seconde de l’ordonnée, — sinx, devient nulle quand x — o , et elle change de signe en passant par zéro. De même, on reconnaît que tous les points auxquels la courbe rencontre l’axe des x, sont des centres et des points d’inflexion, et que toutes les droites dirigées suivant les ordonnées maximum AM, A'M', etc., sont des axes.
Enfin , les tangentes menées à la courbe par ses points d’intersection avec l’axe des abscisses, sont alternativement parallèles aux bissectrices OG, ©G7, des angles YOX, Y'OX,
, puisque le coefficient angulaire de la tangente , cos x, prend, successivement les valeurs -+- 1 , — 1 , quand on remplace x par o , tr , 2 tt , etc.
La surface d’un segment Bli/CC7 de la courbe, compris entre l’axe des x , et les ordonnées B!>7, CG7, de deux points H, C, de l'arc OAO', a une expression très-simple que nousallons faire conuailre.
Considérons la distance OB7 comme une quantité donnée a ; il est clair que la surface du segment BB'CC' sera une certaine fonction o (x) de l’abscisse variable OC7= x. '
Si l’on donne à x un accroissement A aussi petit qu'on .voudra, et que, pour plus de précision , ou. suppose que l’ordonnée augmente avec x., l'accroissement CC'DD'.de la fonction cherchée sera compris entre h x sin x et h X sin (x -f- h) ; par suite , le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable aura une valeur com- . prise entre sin x et sin (x-f-7i); et, à la limite li'~ o, ce rapport deviendra sinx. Ainsi, la dérivée de <f (x) est si h x. Mais on sait que sinx est' la. dérivée de — cos.r, et que deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent différer l’une de l’antre que par une constante; donc .
. of.r)=<f — cosx. .
FORME I1F.S COURBES. 435
Pour dé ter mi lier la constante c , il suffit d'observer que <p(;r) se réduit à zéro, lorsque x = a\ il en résulte
c — cos a ,
et, par conséquent,
y ( x) =: COS fl — COS X,
Ainsi l’aire du segment B1VCC' a pour valeur cos a — cos x.
En posant a = o et .r = r , on trouve
co s a — cos .r = 2 ;
donc la surface du segment compris entre l’axe des X et l’are OAO' est double du carré de l’ordonnée maximum AM. Deuxième exemple, y e= séc* x (Jîg. 160).
I.a courbe est divisée par l’axe des y en deux parties égales et symétriques; elle rencontre cet axe en un point A dont la distance à l’origine est l’unité. Si l’on fait croître x
depuis o jusqu'à l’ordonnée y augmente de i à l’infini ;
on détermine de cette manière un arc ABC qui a pour asymptote la droite FG dont l’équation est
ir
En continuant d’augmenter x de ^ à 7t, on obtient l'arc
E'D'A' qui est encore asymptote à la droite FG, mais de l’autre côté de cette droite. Les valeurs de x, croissantes
de n à —i donnent l’arc A'B'C' égal à ABC et ayant pour
asymptote la droite F' G', parallèle à l’axe O Y et située à
