CE -4- BE = BC
il s’ensuit qu’on a
jr
équation qui, étant résolue, donnera la valeur de x.
On voit que, dans chaque cas, le calcul par lequel on parvient à l'équation est en tout semblable, que l’équation obtenue est toujours la même, avec la seule différence que la même ligne est désignée tantôt par une lettre, tantôt par une autre, selon qu’elle est considérée comme connue ou comme inconnue. 11 est vrai que, selon qu’on prendra la même ligne pour connue ou pour inconnue, il naîtra une différence dans la manière de résoudre l’équation. En effet, l’équation
donne
l’équation
donne
et l’équation
t valeur de AB ;
x = — \lc* — b 1 , valeur de CD ;
JC*
donne
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
valeur de RC ou RI).
Lors donc qu’un problème est proposé, comparez entre elles toutes les quantités qu’il renferme; examinez comment, quelques-unes de ces quantités étant connues, vous pourriez, par un procédé synthétique, parvenir à trouver les autres: pour cela, il n’est pas nécessaire de reconnaître du premier coup d’œil par quelle marche le calcul algébrique conduira des premières quantités aux autres, il sullil de sentir, en général , que les unes peuvent être déduites des autres par un moyen quelconque.
5. Par exemple, si l’on proposait une quesliou qui eût pour objet le diamètre AD ( fig . 4), et les trois cordes AB, BC, CD inscrites dans un demi-cercle; et que, toutes les autres étant données , on cherchât BC ; au premier aperçu , on voit que le diamètre AD détermine nécessairement le demi-cercle, et qu’ensuite les lignes AB et CD, par leur inscription, déterminent aussi les points B et C, et, par conséquent, la ligne BC qu’on cherche. Et cela, par le moyen le plus direct. Mais on ne découvre pas avec la même facilité par quel chemin l’analyse conduit des quantités données à la ligne cherchée BC. Il en serait de même s’il fallait chercher AB ou CD, le reste étant donné.
Mais, si AB, BC, CD étaient données, et qu’il fallût chercher le diamètre AD, on aperçoit à l’instant que le problème n’est pas possible par la synthèse , parce que la distance des points A , D dépend de l’ouverture des angles B, C; que ces angles dépendent du cercle dans lequel les lignes données doivent être inscrites, et que ce cercle n’est pas donné, puisque son diamètre est supposé inconnu.
La nature du problème ne permet donc pas de trouver synthétiquement le diamètre AD; alors il faul traiter la
question comme si le diamètre était connu, pour remonter aux quantités données.
Lorsqu’on aura bien saisi les difl'érents moyens par lesquels chaque terme d’une question peut être déterminé, alors parmi toutes les lignes qui doivent entrer dans l’état de cette question, on regardera comme connues les lignes qui présenteront la route la plus facile pour arriver à la connaissance des autres. C’est toujours par ces lignes que le calcul doit commencer, quoique, dans le cours de l’opération, on puisse en introduire d’autres. Le moyen le plus court est de mettre, pour un moment, de côté la question qu’on veut résoudre, et de s’imaginer qu’il s’agit uniquement de choisir parmi toutes les quantités qui doivent entrer dans le problème , celles qui , étant supposées connues, mèneraient plus facilement à la connaissance des autres.
Ainsi , dans l’exemple précédent, si c’est le diamètre AD que l’on cherche, il est aisé de voir qu’on ne peut pas le trouver par un moyen synthétique ; mais on s’aperçoit bien vite que, si ce diamètre était connu, on arriverait aux autres quantités parla rou te la plus directe; on regarde donc AD comme connu, et l’on établi lie calcul comme s’il l’était véritablement, et qu’il fût question de trouver quelqu’une des lignes données AH., HC ou CD. Par ce moyen, on obtient les rapports qui existent entre les quantités qu’on traite comme connues, et les autres, et l’on arrive toujours à une équation entre deux valeurs d’une même quantité, soit que l’une des valeurs résulte du nom donné à cette quantité au commencement de l’opération et que l’autre ait été trouvée par le calcul, soit que toutes deux aient été trouvées par des opérations différentes d’analyse.
« Au reste, le plus difficile n’est pas de concevoir les re- » lations générales des termes d’une question , mais bien de » saisir certaines liaisons des lignes entre elles, certains
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS. '
» rapports plus propres que d’autres à être soumis au cal- » cul. Car il arrive fréquemment que des relations qui pa- » raissent immédiates au premier coup d’œil , entraînent » dans de longs circuits lorsqu’on les traite analytiquement, » et forcent souvent à recommencer l’opération par de nou- » veaux moyens. 11 ne faut donc employer que les proposi- » lions ou les énoncés les plus propres à être exprimés par » les calculs de l’algèbre. »
Ces propositions sont, en général, celles qui concernent les lignes proportionnelles , et les propriétés du triangle rectangle. Nous supposons, toutefois, qu’il s'agit ici de questions relatives aux lignes; car, si l’on traitait de questions relatives aux surfaces ou bien aux solides, il est clair qu’il faudrait recourir à d’autres propositions de la géométrie élémentaire.
Dans la résolution des questions de la p remi ère - espèce , on est généralement conduit, pour obtenir soit des triangles semblables, soit des triangles rectangles, à employer des lignes auxiliaires. Les problèmes que nous résoudrons offriront des exemples de cette remarque importante.
Maintenant , occupons-nous de la question proposée.
Première solution. — En supposant le problème résolu , menons la diagonale BD ( fig. 4)î et abaissons du point B la perpendiculaire BE, sur le prolongement de DC. Les triangles rectangles ABD, BCE seront semblables : car l’angle A du quadrilatère inscrit ABCD, et l'angle BCE du triangle BEC, ont le même supplément, BCD.
Cela posé , désignons par a , b , c les cordes AB , BC , CD , et par x le diamètre AD ; on aura
ad : ab : : BC : CK , on x : n y. b : ce = — ;
d'où l’on déduit
nb
DK = DC + CE = c H
Le triangle rectangle BCE donne
BC— CÈ=BE, ou l>‘ — — - = BE.
Le triangle rectangle BDE donne
BD — DÊ’= BË’;
mais, le triangle rectangle BAD conduisant à BD' = AD’ — AB ’= x* — a \
11 vient
x! — n' — + =BE.
Egalant les deux valeurs de BE , on obtient 1 équation
I 2 f i ab\% J-
Développant les calculs , on trouve
, , / , 2 abc n2b2\ , a7 b1
Supprimant de part et d’autre — > et réduisant, on a
lequation
x3 — [a2 + b2 + c2)x — iabc — o.
Deuxième solution. — Soit encore
AD = x , AB = a, BC«= b, CD = c.
Alors
BD = AD — AB = x3 — a2, CE —
ab
comme précédemment. L’angle BCD étant obtus, on a, d'après une proposition connue ,
BD* — BC -f- CD -t- 2 CD CE,
ou
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
labc
d’où l’on tire facilement
• x* — (à1 -f- b' -+- c1) x — 2 abc ~ o.
Troisième solution. — Soit encore
AD = x , KR — a , BC = b , CD = c.
Par une propriété connue (lu quadrilatère inscrit, on a AD.BC 4- AB. CD = AC. BD.
Mais
AC = sjx* — et BD = V^xî — »
donc
bx -f- oc — six'1 — c1. sjx1 — a’.
Elevant au carré les deux membres de cette équation , il vient
b1. r2+ 2 abcx a,c 1 — x' — («’■+■ c ’) x 1 -4- à’c1.
Ordonnant, on a
x{ — (a’ -( - b1 + c1) x 1 — 2 abcx = o.
Supprimant la solution x = o, qui ne peut convenir, on arrive à l’équation déjà obtenue
x3 — (a! 4- b1 -4- c1) x — 2 abc = o.
On voit, par cet exemple, comment on peut souvent varier les solutions d’un problème.
