Proposons-nous encore le problème suivant
Par un point C , pris sur la bissectrice de l'angle droit IIAL (fig. 5) , mener une droite, CEF, de manière que la partie EF de cette droite comprise entre les côtés de l’angle droit prolongés , s’il est nécessaire , soit égale à une ligne donnée.
>2 CrtAPITBE PREMIER.
Première solution. — Faisons AF ;= x , et formons le carré ABCD , dont nous désignerons le côté par a ; représentons la longueur donnée EF par b. Nous aurons
BF = x-f-fl, AE — ^b* — x1, et la proportion
AF : AE :: BF : BC, ou x : — x1 :: x -+- « : «;
ce qui donne
(x--+- a) — ■ x* = rtx.
Elevant au carré et ordonnant, il vient
(l) x‘ -f- 2 flX1 — ( b ’ — 2 fl’) x’ — 2 flô’ X — fl’ b1 — O,
équation complète du quatrième degré.
Deuxième solution. — Formons le carré AlîCD, et divisons la droite EF en deux parties égales au point G ; faisons
CD = a, EG ou FG = b et CG = x; nous aurons
CE — x — b , CF = x -+- b.
Ensuite, comme CF = BC -f- BF , il viendra BF = \l{x -t - by — a’,
et à cause des triangles semblables CDE, FBC , on a
ce : cd : : cf : bf, ou x — b : « x -4- b : ^(x -t- 6 y — n’;
d'où l’on tire
ax + a b — (x — b) y/(x +- !>)’ — a’.
Elevant chaque membre au carré et ordonnant, on a , x1 — 2 (rt’-t-P)x’ — 2 fl’ b- -t- h' = o,
équation bicarrée , et de laquelle on tire
r x: dh \ fl’ -t- b ' ± y(fl‘ "1“ 4 •
DES PROBLÈMES DÉTEKM1KÉS.
Troisième solution. — En remarquant que le point G [Jig. 5 ) est à la circonférence d'un cercle décrit dupoint A commecentrc avec un rayon égal àGE, on pourrait abaisser la perpendiculaire GK sur la diagonale AC , et chercher AK ou CK , AK par exemple; car, si celte longueur était trouvée, on élèverait la perpendiculaire KG, et son point de rencontre avec la circonférence décrite du point A servirait, avec le point C, à Ijxcr la position de la droite CF, et le problème serait résolu.
Posons donc
AK ~ x et AC = p, EG = b.
Sur EF comme diamètre, décrivons une demi-circonférence qui passera par le point A, et coupera le prolongement de CA au point M. L’angle FAM = BAC est égal à la moitié d’un droit; donc l’arc FM compris entre ses côtés est égal au quart de la circonféreuce ; il en résulte que l’angle au centre FGM est droit. Dans le triangle rectangle MGC, on a
Gm’= MK X MC;
9 * mais
GM = G E = b, MK = AK = x,
donc
x ( 2 .r -4- e ), ou
équation complète du second degré.
Quatrième solution. — Élevons au point F, sur CF (Jig. 6), la perpendiculaire FG, qui rencontre en G le prolongement de CD ; et du point F menons FL perpendiculaire sur CG ; faisons
DG = x, CD == a, F.F = b.
Le triangle rectangle CFG donne
Cg’= CF V FG et CG X FL = CF X FG.
l4 - CHAPITRE PREMIER.
Multipliant par i les deux membres de la seconde égalité, et retranchant de la première, il vient
(i) CG (CG — 2 FL) = (CF — FG)S;
orr
CG = GD 4- DC = x 4- a, CG — 2 FL = (x-+- «) — 2a — x — a.
FG étant égal à CE , à cause de l égalité des triangles rectangles FGL , CDE , on a
CF — FG = EF = b ;
substituant ces valeurs dans l’égalité (t), on trouve
x'1 — a'1— b1, ou x'-a'+b-,
équation binôme du second degré.
7. Par l’exemple qui vient d’ètre traité, on peut reconnaître de quelle importance est le choix de l’inconnue. Dans la première solution , en prenant pour inconnue la distance AF (Jîg . 5 ), nous sommes parvenus à une équation complète du quatrième degré. Ce résultat pouvaitètre prévu : en effet, d’après les conditions générales de l’énoncé, la longueur donnée, en la supposant suffisamment grande, peut être comprise dans chacun des trois angles MAL, UAL', Il'AL; et, dans le premier de ces trois angles, on peut mener par le point C deux droites E"C F", E'"CF'", égales à cette même ligne donnée; ce qui fait généralement quatre solutions. Or, si au lieu de choisir AF pour inconnue, on prenait AF', l’équation à laquelle on serait conduit , ne différerait de la première, qu’en ce que x serait remplacée par — x , comme on peut s’en assurer par le calcul ; et il en serait encore de même , si l’on prenait pour inconnue AF" ou AF'". D’après cela, on voit que les distances AF', AF", AF'" représentent des racines négatives de l’équation à laquelle on parvient en posant AF = x: d’ail-
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
leurs AF est racine positive de cette équation ; cette dernière devait donc être du quatrième degré.
Dans la seconde solution, nous avons pris pour inconnue la distance CG, du point C au milieu de EF. En supposant que CEF réponde à la question , si l’on prend AF' = AE, et que l’on mène la ligne CE'F', elle fournira une seconde solution. Nous ferons remaïquer également que si E"CF" donne une solution, en prenant AF"' = AE", et menant la ligne F "'CE'", elle conviendra au problème-, mais , ici , les distances CG, CG' sont égales entre elles, et il en est de même de CG" et CG'", les points G', G", G"' étant les milieux des droites E'F', E"F", E'"F". On ne devra alors trouver pour l’inconnue que deux valeurs différentes-, ce qui est conforme au résultat obtenu, l’équation étant bicarrée.
Dans la troisième solution , la valeur de l’inconnue AK ( fig . 5 ) est évidemment la même pour les deux lignes CEF , CF'E'; la même remarque s’applique aux deux lignes E"CF", E'"CF'". On obtient donc seulement deux valeurs pour l’inconnue, ce qui est indiqué par l’équation trouvée qui est du second degré.
O11 peut démontrer, de la même manière , que dans la quatrième solution l’inconnue 11’est susceptible que d’une seule valeur.
De cette discussion résulte cette conséquence importante, qu’il faut choisir pour inconnue celle qui doit avoir le plus petit nombre de valeurs.
8. On peut remarquer, par ces exemples, quelle variété de moyens on a pour résoudre une question; mais on doit observer en même temps que parmi tous ces moyens, il en est de bien plus expéditifs que d’autres. Nous trouvons ici l’occasion de donner une règle sur le choix des inconnues.
Lorsque deux quantités ont une telle ressemblance de
rapports avec les autres quantités de la question , qu’en prenant l'une ou l’autre pour inconnue , on arrive à des équations entièrement semblables , ou qu’en les prenant toutes deux en même temps, elles soient du même degré et entrent de la même manière dans l’équation finale , ou ne different que parles signes + et — , il faut les rejeter toutes deux également , et prendre à leur place une troisième inconnue qui ait un même rapport avec l'une et Vautre, par exemple leur demi-somme ou leur demi-différence, ou une moyenne proportionnelle, ou enfin telle quantité qu’on voudra qui ait avec elles une même relation, pourvu que celte quantité soit la seule qui jouisse de cette propriété,
§11. — Construction des expressions algébriques.
9. La résolution d’un problème de géométrie {par le moyen de l’algèbre se compose de trois parties principales : il faut premièrement mettre le problème en équations; 2°. résoudre l’équation ou les équations du problème; 3°. construire les valeurs obtenues. Nous avons déjà fait connaître la méthode à suivre pour traiter la première partie; la deuxième est du ressort de l’algèbre. Nous sommes donc conduits immédiatement à nous occuper de la troisième. Nous allons considérer les expressions que l’on peut construire avec la règle et le compas. Il est bien entendu que ces expressions représenteront des droites.
Lorsque l’expression est rationnelle et entière, c’est-àdire quand on a , par exemple ,
x = a — b c — il. .
a,b,c, d, etc., représentant des lignes : à partir d’un point O ( Jig . 7), pris sur une droite indéfinie X'X , on porte, les unes à la suite des autres, les lignes a, e, etc., dans le sens ÜX ; ce qui donne une certaine longueur OD. Puis,
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 17
à partir de l’extrémité D , dans le sens DX', on porte également les lignes b , d , etc. Si la somme de ces dernières ligues est plus petite que DO, et se termine en H,ladroiteOH représentera la valeur de x. Dans le cas où la seconde somme J + d + etc. est plus grande que la première a -+- c -+- etc., le point H tombe en un certain point II' situé à gauche du point O, et la valeur absolue de x est représentée par OH'. Quand l’expression est rationnelle et fractionnaire, on
ramène sa construction à celle d’expressions de la forme — >
— qui sont, l’une une quatrième proportionnelle aux lignes
c, a, b , et l’autre une troisième proportionnelle aux lignes c, a.
Supposons d’abord que les deux termes de la fraction soient des monômes; qu’on ait, par exemple,
Cette fraction revient à
azbcd
f'gh'
7x-,x-xTxT
Le premier facteur — est une troisième proportionnelle, «,
aux deux lignes y et a. Il en résulte
x— 7X-XtXt'
Le facteur ^ est une quatrième proportionnelle, a', aux lignesy, a, «; et, par suite,
De mè
meme
bu'
d’où
Posant
on a
quatrième proportionnelle aux lignes connues h, d, a!".
On voit, par cet exemple, que, quels que soient les nombres des facteurs des deux termes, on construira l’expression en cherchant autant de quatrièmes proportionnelles qu’il y a de facteurs dans le dénominateur, en supposant, comme nous l’avons fait, que le nombre des facteurs du numérateur surpasse d’une unité le nombre des facteurs du dénominateur. Nous verrons bientôt que cette condition est remplie lorsque x représentant une droite , aucune ligne de la question n’a été prise pour unité.
Soit, maintenant,
a 1 bc -+- rPe' — fghk
mnp
ce qui revient à
a*bc d2 e1 fgbk
mnp mnp mnp
Chacune de ces dernières fractions se construira comme précédemment, et, en désignant par a': a", a"\ les trois, lignes représentées par ces trois fractions, on aura
Supposons enfin que les deux termes de la fraction étant des polynômes , on ait
a2 bc <l2 e1 — fghl P m — pqr -f- s1 1
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
Cette expression revient à
fgM\
"(— V+tO
T j. . fl e7 fshh par s7 1
Les fractions monomes —r, — -, ~~ , —, représentant a7 b a7 b l7 t7 r
des lignes qu’on peut désigner respectivementpar «, 6, a', 6', on aura
Or, c 4- a — 6 représentant une ligntf r, et m — a -4- 6' étant aussi une ligne d, on obtiendra
a7 br
fraction dont les deux termes sont des monômes.
On pourrait toutefois ramener le dernier cas à celui qui le précède, en transformant seulement le dénominateur l*m — pqr -h s* t en un monôme l1 d.
Nous allons passer aux expressions irrationnelles du second degré. Le radical du second degré peut toujours se ramener à l’une des trois formes
sfâb, *Ja7 -f- b7, ju7 — b7.
Soit d’abord
On construira le côté d’un carré a* équivalent à la somme des carrés n!, c*, etc. ; puis le côté d’un autre carré ë*, équivalent à la somme des carrés b1, d *, etc. Il en résultera
On voit sans peine que x est le côté de l’augle droit d’un
a» CHAPITRE PREMIER.
triangle rectangle, ayant « pour hypoténuse, et S pour second côté de l’angle droit.
Soit , en second lieu :
ab /a3 b
d'fg
hi
pi
Le terme rationnel — se construit comme on l’a déjà vu. Quant au radical, on peut l’écrire de la manière suivante :
a‘ ab d3 fs m 3 mrt
-X TX7+-X
Chacun des termes du radical , étant un produit de deux lignes , peut être remplacé par un carré. En exécutant les opérations, et en représentant les trois carrés par a* , 6’, le radical deviendra
et rentrera alors dans le cas précédent.
Nous n’avons construit «pie les radicaux du second degré, mais la «piestion ne présenterait pas plus de difficulté si l’indice du radical était une puissance de a. Par exemple, soit
c — ; (Pf'gh -+- l3m3
P <jr
La valeur de x peut être mise sous la forme
d'f'gh a 3 b 3
Faisant
l3 m3 „ qr
DES PROBLEMES DÉTERMINÉS
oïl aura
< la' b'
(c — a -H 6) p(p-hy)
Mais c — a-t-ë, /?-+-'/ sont des lignes que l’on peut représenter par a', ë' ; donc
Et , en observant que ~ X -g- est un produit de deux lignes que l’on peut remplacer par un carré d*, il vient x — y/rtj.
Ou n’a plus qu’à chercher une moyenne proportionnelle entre « et ô.
Nous ne traiterons pas les expressions irrationnelles qui ne sont pas susceptibles d’être ramenées à des radicaux du second degré , parce que ces expressions ne peuvent pas être construites avec la droite et le cercle qui sont les seules lignes dont on s’occupe en géométrie élémentaire.
DE l’iIOMOGÉNÉITÉ.
10. On nomme équation homogène, expression homogène, une équation ou une expression dont tous les termes sont du même degré. Lorsque les lettres représentent des lignes, le degré d’un terme entier est égal au nombre des facteurs algébriques qui entrent dans ce terme. Ainsi , 8 a3b*c est du sixième degré. 0
Lorsque le terme considéré est fractionnaire, son degré est le degré du numérateur diminué de celui du dénomina- 8 asb7c
leur> ^r
Si le terme est irrationnel, on obtient son degré en divi-
est du quatrième degré.
sant par l’indice du radical le degré de la quantité placée
sous ce même radical $
3<i‘ b'c ' 5 df
est du troisième degré.
Il résulte des définitions qui viennent d’être données que si , comme nous l’avons supposé , les lettres représentent des lignes, l’équation
3êx-f
fg
ia 1 b'*’ 3 ///
est homogène, et tous ses termes sont du second degré.
Il est important de faire observer qu’une équation telle que ax-\~s= 3\jvx est encore homogène, si a et a: représentent des lignes , s une surface et v un volume , parce qu’une surface est considérée comme un produit de deux dimensions, et un volume comme un produit de trois dimensions.
11. Principe de l’homogénéité. — Lorsqu’en appliquant l’algèbre à la résolution d’un problème de géométrie, aucune ligne donnée dans la question n’a été prise pour unité, l’équation ou les équations qu’on obtient doivent être homogènes (*).
Ce principe est vérifié par toutes les égalités immédiatement déduites des théorèmes de la géométrie élémentaire. Ainsi, a, A, c, représentant l’hypoténuse et les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, on a l’équation homogène a* = b* -+- c*. De même, si c représente une moyenne proportionnelle entre a et b, on a encore l’équation homogène c* = ab. Ces relations restent les mêmes , quelle que soit la ligne ^ laquelle on ait rapporté celles de la figure.
( * ) il est sous-entendu que les fonctions trigonométriques sont considérées comme des facteurs numériques, et, par suite, ne peuvent entrer dans l’évaluation des degrés des termes. Ainsi les termes c cos a , a * sin’ a ,
— sont respectivement du premier, deuxième et troisième degré.
DÉS PROBLEMES DÉTERMINÉS. . 23
Démontrons maintenant, d'une manière générale, le v principe de l’homogénéité.
11 est clair que toute équation du problème que l’on traite exprime une relation entre certaines grandeurs, et que cette relation est indépendante des unités auxquelles on a comparé ces grandeurs , pour les exprimer en nombres.
Celte équation subsistera toujours quand on rapportera les quantités qu’elles renferment à de nouvelles unités ; or, si une certaine unité devient n fois plus petite, toutes les " quantités de son espèce seront exprimées par des nombres « fois plus grands; de sorte que l’équation dont il s’agit devra subsister encore lorsqu’on y donnera à chacune de ces quantités une valeur n fois plus grande. Alors, chaque terme de l’équation se trouvant multiplié par une puissance de « marquée par le degré de ce terme, tous les termes.du même degré, quelle que soit leur composition, varieront dans le même rapport, tandis que les termes de degrés différents varieront dans d’autres rapports; il faudra donc, pour que l’équation ne soit pas troublée, que tous les termes qu’elle contient soient du même degré , c’est-à-dire que cette équation soit homogène.
12. L’homogénéité cesse d'exister dès qu’on suppose une des lignes données égale à l’unité, car alors les facteurs et les diviseurs égaux à cette ligne disparaissent; mais on peut la rétablir.
En effet, il est aisé de comprendre que réciproquement si, en partant d’une équation ainsi altérée, on veut lui rendre son état primitif, il suffit d’introduire le multiplicateur ou le diviseur i , de manière que tous les termes , en comptant ces facteurs ou diviseurs t, se trouvent être du même degré ; en y remplaçant ensuite , pour plus de clarté, ce signe i par une lettre indéterminée, l’équation sera nécessairement revenue à la forme qu’elle aurait eue 'd’abord, relativement à une unité indépendante des lignes considérées.
On déduit de ce qui précède la règle suivante :
Quand une des quantités qui entrent dans la question aura été prise pour unité, il faudra , pour rétablir l'homogénéité , représenter cette quantité par une lettre et l’introduire comme multiplicateur ou comme diviseur dans les différents termes de l'équation , à des puissances telles que tous les termes aient le même degré. ’ ' *
Supposons qu’ayant pris une certaine ligne pour unité, on ait trouvé
On désignera par l la ligne qui a été prise pour unité et l’on multipliera les quantités sous le radical, par des puissances de l telles que tous les termes placés sous le radical soient du second degré , ce qui donnera
s m. — Des valeurs négatives , ou imaginaires dès inconnues.
13. On a vu, dans l’algèbre, que les questions sur les nombres conduisent quelquefois à des valeurs négatives , soit pour toutes les inconnues, soit pour quelques-unes d’entre elles ; l’interprétation de ces valeurs s’applique , en général , aux problèmes de géométrie qu’on résout par l’analyse. Entrons, à ce sujet, dans quelques développements.
Revenons au problème du n° 3 , dans lequel on propose de diviser une droite AB (Jig. 2) en moyenne et extrême raison , c’est-à-dire, comme on sait, en deux segments ÀC, CB, tels que AC soit moyen proportionnel entre la ligne entière AB et l’autre segment CB.
En posant AB = a-, AC = x. on a
BC — tl — ■ jr,
UES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
et, par suite,
x' — aj^o — x), d’où x ^ zt ^ à' 4-
La première valeur positive et plus petite que a, convient à la question , en déterminant un point C situé entre À et B 5 mais la seconde valeur, qui est négative , ne peut pas être considérée comme une réponse au problème tel qu’il est énoncé. D’après la méthode suivie en algèbre, changeons dans l’équation le signe tie x, elle devient
et conduit à
â-ya,+T
L’équation qu’on vient de résoudre est celle à laquelle on parviendrait si l’on cherchait sur le prolongement de BA un point C' dont la distance au point A fût moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la droite AB; il résulte de là que si l’on porte la valeur positive de x comme on l’a fait de A en C, et la valeur négative de A en C à gauche de A , on aura les deux solutions du problème suivant '..Trouver sur la droite indéfinie qui passe par deux points donnés A et B, un point dont ta distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la longueur connue AB. Enoncé de celte manière, le problème est généralisé, puisque le point que l’on cherche' n’est plus assujetti à la condition visiblement trop restreinte, d’être situé entre A et B; en ell’et, on reconnaît sans peine que la distancé au point A d’un point C' situé sur le prolongement de BA , peut être moyenne proportionnelle entre la distance de ce point C' au point B et la longueur AB. ■ - -,
On aurait pu se proposer d’abord celle question géné-
2 (i CHAPITRE PREMIER.
raie. Alors, en regardant le problème comme résolu, et supposant que le point C fût le point demandé, on serait arrivé en posant AC = x à la même équation
et aux mêmes valeurs de X. Mais on aurait introduit dès le commencement du calcul une restriction que ne comporte pas l’énoncé, puisqu’on aurait supposé le point C situé entre A et B. La valeur positive est la seule qui convienne à cette supposition , et la valeur négative, étant prise positivement et portée du côté AX , opposé à celui où l’on a cherché le point C, détermine la seconde solution du problème.
Il résulte de ce qu’on vient de voir, que la valeur négative sert tantôt à généraliser un problème dont le proposé n’est qu’un cas particulier, tantôt à faire disparaître une restriction , d’abord nécessaire , pour mettre le problème en équation.
Mais il est important de remarquer que la valeur négative prise d’une manière absolue, a été portée en sens contraire à celui dans lequel on a placé la distance cherchée.
De là ce principe adopté :
Lorsqu'on applique l’algèbre à la résolution d’un problème de géométrie et. qu’on prend pour inconnue une distance comptée sur une ligne donnée à partir d’un point fixe situé sur cette ligne , les valeurs négatives de celte inconnue doivent être portées en sens opposé à celui où l’on a supposé que cette distance était placée.
14. L’application de l’algèbre à la résolution d’un problème de géométrie peut donner pour l’inconnue ou les inconnues des valeurs imaginaires. Ces valeurs indiquent souvent l'impossibilité du problème; nous 11e devons pas
DES PROBLEMES DÉTERMINÉS. 2J
dire qu elles indiquent toujours l’impossiblité , car il y a des cas , comme nous allons le faire voir, où ccs valeurs proviennent d’une fausse hypothèse établie pour mettre le problème en équation.
Reprenons le problème du n° 3, et supposons que le point demandé soit situé eu C" (Jtg- 2) du côté BY. Faisons
BC" = x, AB = a ,
AC" sera égal àa + x, et, d’après les conditions de l’énoncé, nous aurons l’équation
(a -(- x)‘ = ax , ou x1 -+- ax -H a5 = o ; ce qui conduit à
valeurs qui sont imaginaires.
Nous savons déjà que la question, en elle-même, n’est pas impossible , puisque nous avons trouvé deux solutions; l’une de ces solutions donnant un point entre A et B , et l’autre un point situé à gauche de A.
L’impossibilité provient ici de la supposition faite en commençant, supposition qui plaçait le point cherché au delà du point B, par rapport au point A. On voit, en efi’et, qu’une telle hypothèse est inadmissible, puisque la distance AC", qui devrait être moyenne proportionnelle entre les longueurs AB, BC", est plus grande que chacune d’elles.
15. Nous devons faire remarquer qu’une valeur positive de l’inconnue ou de l’une des inconnues, n’est pas toujours une réponse à la question qui a fourni cette valeur.
Soit proposé, par exemple, le problème suivant:
Connaissant l'hypoténuse. BC (fig. 8), et la somme AB -f- AC -+- AD des côtés de l'angle droit et de la hauteur d’un triangle rectangle , déterminer le triangle .
Soient BC = n; AB + AC-t-AD = ft. F.n posant AD = .r,
AB = y, il en résultera d'abord
AC — b — x — y.
Le triangle rectangle BAC donnera
y' + (b — x— /)’ = «’, ou
(1) 2/’-+- x* -4- 2 xy — 2 bx — 2 by + b1 — a1 = o.
Déplus, à cause de la similitude des triangles rectangles BAC , CAD , on a
d’où l’on tire
y •' + xy — by -t- ax = o , ou bien, en multipliant par 2,
(2) 2/1)- 21/ — 2 by -4- 2ax = o.
Retranchant l’équation (2) de (1) , il vient
x’ — 2 bx — 2 ax + b1 — a’ = o ;
d’où
x — a+b±^ia7+2 ab.
La première valeur est évidemment positive, la seconde est aussi positive, caria quantité 2a'+ 2 ab pouvant être remplacée par a* -+- a* -f- 2 ab , est plus petite que le carré de (a -+- b) , puisque a , hypoténuse du triangle, est nécessairement moindre que b qui représente la somme des côtés de l’angle droit, augmentée de la hauteur.
La hauteur du triangle étant évidemment plus petite que &, et, h plus forte raison, que a -4- ô, la première valeur de x ne peut être une réponse au problème.
16. On sait que les racines d’une équation du second degré à une inconnue peuvent être imaginaires ou réelles ; proposons-nous de les construire lorsqu’elles tombent dans ce dernier casi L’équation du second degré , en ayant égard
DÈS PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 29
aux signes des termes, peut avoir l’une des formes suivantes :
(1) x, — px + q=o,
(2) x3 — px — q — o ,
(3) i’+/tt + î = o,
(4) - px — q — O.
Lorsque x clp représentent des lignes , il faut, pour l’homogénéité, que le dernier terme q Représente une surface. Désignons par b 3 le carré équivalent. Alors l’équation (i) devient
x ' — px -4- b1 — o ,
d’où l’on tire
On voit que cette équation est la traduction algébrique de l’énoncé du problème suivant : Construire un rectangle , connaissant la surface b* et la somme p des côtés adjacents. .
Prenons AB = p (fg . 9); sur cette ligne comme dia- mètre décrivons une demi-circonférence ; en un point quelconque B, élevons sur AB la perpendiculaire BC = b.$ par l’extrémité C menons CDE parallèle à BA ; et d’un des points de rencontre D de la parallèle avec la circonférence, abaissons DG perpendiculaire sur AB. Nous aurons
AG X GB ™ DG , ou AG ( p - — AG) — ou bien encore
BG(/> — BG) = è»,
Il résulte de là que les segments AG et BG du diamètre sont les racines de l’équation
Si BC = -jAB, ou b* — \-p* la ligue CDE devient, tan-
gente, et les deux segments AG, BG sont égaux à -j p. C’est le cas où les racines de l’équation sont égales. Lorsque BC surpasse ~ AB, la ligne CDE cesse de rencontrer le cercle; cette circonstance répond au cas des racines imaginaires. L’équation (2) revient à
Sous cette forme, on reconnaît la traduction algébrique de l’énoncé du problème suivant: Construire un rectangle , connaissant la surface b2 et la différence p des côtés adjacents.
Sur AB = 7? ( fig. 10), comme diamètre, 011 décrira la circonférence OB. Au point B, on mènera la tangente BC = b, dont on joindra l’extrémité C au centre O, en prolongeant, toutefois , la ligne de jonction jusqu’à son intersection E avec la circonférence. On aura
CE X CD = CB , ou CE (CE — p) = b1, on aura aussi
— CD (— CD — p)=b\
Ce qui prouve que les racines de l’équation sont -+- CE et — CD.
En changeant les signes des racines des équations (1) et (2) qui viennent d’ètre construites, on a évidemment celles des équations (3) et (4)*
^ IV. — Application de l’algèbre à quelques problèmes de géométrie.
17. Reprenons le problème qui a pour objet d’inscrire un carré dans un triangle. En nommant x le côté du carré, et faisant ( fig. 1)
BC = u, AH = /(,
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
on a trouvé (n° 2)
ah
Le carré pouvant s’appuyer sur un quelconque des trois côtés du triangle, nous allons chercher dans quel cas ce carré inscrit est maximum. D’après la forme de la valeur de x , il est visible que quel que soit le côté du triangle, le numérateur de la valeur de l’inconnue représentera toujours le double de la surface du triangle, et le dénominateur, la somme de ce côté et de la hauteur correspondante. Le plus grand carré correspondra donc au cas où la somme dont il s’agit sera la plus petite.
Supposons BC plus petit que AC, ou a<^A, en désignant.par b le second côté AC; nommons h' la hauteur BH' correspondante à b. On aura
En effet , l'égalité ah — bh' donne
on en déduit
Mais a est plus grand que h' -, donc
b — a~^> h — h' , ou a -I- h <^- b -t- //' .
Le carré maximum s'appuiera donc sur le plus petit des trois côtés du triangle.
Remarque. — Si a = b, l’égalité ah == bh' donne// = h', par suite ,
et, dans ce cas, les carrés qui s appuient sur les côtés a et b sont égaux entre eux.
Lorsque deux côtés «, b par exemple, foraient un
angle droit , on a
h = b , h' — a, d’où a -|- h = b + h' ;
il y a donc encore deux carrés égaux.
Mais les hypothèses que nous venons d’établir sont les seules dans lesquelles deux des carrés puissent être égaux entre eux. On voit cflectivement que si aucune de ces hypothèses n’a lieu, on aura
a b et a > h' ,
et, par conséquent, comme on l’a déjà démontré, o -f- h ^ b — t— A •
18. Problème. — Inscrire dans un triangle ABC (fig. 1 1), un rectangle GFED , dont la surface soit égale à ms .
• Soient BC = a , la hauteur AH = h , DE = x , DG =y ; on aura
xy = nO et x\ a \\ h — y ; h,
d’où
h. r ±= a h — ay.
Eliminant x, il vient . . , . hni1
(i) y — AyH = o.
équation qui donne
Lorsque le radical est réel , les deux valeurs de y sont positives; leur somme est h\ et leur produit, représente un carré qui est au carré donné m ’, comme la hauteur h du triangle est à la base a.
Pour construire ces valeurs , on décrit sur la hauteur AH comme diamètre une demi-circonférence; on prend sur la base, à partir du point H , pied de la hauteur, une distance
DBS PROBLÈMES nÉTER MISÉS.
HM égale a» côté du carré on élève ensuite au point M
line perpendiculaire MPI1, rencontrant la circonférence aux points P, P' : les longueurs MP, MP' sont les valeurs de y.
F.n effet, si l’on mène les perpendiculaires PK , P'K'sur AH, on aura
* > Uni1
MK XKA = KP — HM =
D ailleurs,
HK 4- AK = AH = h.
Par conséquent, IIK, AK sont les racines de l'équation (i). On voit facilement que HK' = AK, et, par suite, que HK, IIK' sont les valeurs cherchées.
Il résulte de là qu’il existe deux rectangles DEFG, D' E'F'G', qui répondent à la question.
19. Remarque. — La plus grande valeur de m* est celle pour laquelle on a
hm ' h' ah
c’est-à-dire que la surface du rectangle maximum est égale à la moitié de celle du triangle donné.
20. Problème. — Couper une sphère CM (fig. 12) par un plan , de manière que le segment AMB soit équivalent au cône ayant même base que le segment, et pour sommet le centre de la sphère.
En supposant que H soit le point du rayon CM par le-1 quel le plan coupant doit être mené, désignons par x la distance CH , et par r le rayon de la sphère.
• Puisque les deux volumes doivent être égaux , le cône sera la moitié du secteur CAMB.
Or, le volume du cône a pour expression
j t: AH x — -1 n (r'- — •' x2) x.
Celui du secteur est
j?r2XMH = |itr»(r— x).
On aura donc l’équation
A.* (r? — x2) x = i rr’ (r — x), ou (r-f-x)x = r2.
Ce qui revient à
x2 -+- rjc — r2 =r o,
ou bien encore à
Le point H sera donc déterminé en divisant le rayon de la sphère en moyenne et extrême raison.
21. Donnons, en terminant ce chapitré, les énoncés de' quelques problèmes à résoudre.
I. Connaissant la base d’un triangle, V angle au sommet, et la somme des deux autres côtés, trouver chacun .de ces côtés.
II. Sur une base donnée, construire un triangle dans lequel la somme des ■deux autres côtés soit double de la base, et dont le sommet soit sur une droite donnée de position.
III. Construire un triangle dont la base soit à la hauteur comme p est à q , et qui soit tel que l’aire du plus grand rectangle quon puisse y inscrire, égale m*.
IV. Par un ]>oint donné sur le plan de deux droites indéfinies, mener une sécante telle que l’aire du triangle intercepté égale ms. (Discussion.)
V. Étant donnés la hauteur d'un triangle , le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit , trouver lestrois côtés du triangle.
DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
;Vr»
\1. Connaissant le périmètre d'un triangle , et les rayons des cercles inscrit et circonscrit , trouver les côtés. Quelles relations faut-il établir entre les données pour que le triangle soit équilatéral , pour qu’il soit isocèle, pour qu’il soit rectangle?
VII. Étant donnés les angles 3 la surface et le périmètre d’un trapèze, trouver les quatre côtés.
VIII. Étant données trois circonférences concentriques , trouver le côté du triangle équilatéral , dont les sommets seraient sur ces trois circonférences.
IX. Trouver un triangle semblable à un trianglç donné, et dont les sommets reposent sur trois circonférences concentriques données.
X. Étant donné un cercle sur une sphère, trouver un second cercle parallèle au premier comprenant avec lui
un segment qui soit dans le rapport - avec le cône dont le
sommet serait au centre du premier cercle, et. qui aurait le second pour base. Examiner le cas où p = q -, et celui on l’on a q = 3 p.
XI. Un tronc de cône à bases parallèles étant donné-, mener un plan, parallèle aux bases, qui divise ce tronc en deux parties ayant entre elles un rapport connu.-
XII .'Circonscrire à une sphère donnée un cône dont l’aire totale soit égale à celle d’un cercle donné. Dans quel cas cette aire scra-t-elle minimum ?
XIII. Une sphère et un cylindre étant placés sur un meme plan, couper ces deux corps par un second plan parallèle au premier, de manière que les solides compris entre ces plans parallèles soient entre eux dans un rapport donné. * - '
XI Y. Construire sur un cercla donné un cône tel que la volume de la sphère inscrite soit la n'cmr partie du sien. ( Discussion. — Dans quel cas le volume de la sphère serat-il maximum?)
XV. Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface convexe soit égale à 7r m!. Déterminer la surface
maximum .
XVI. Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface totale soit égale à tt m*. Trouver le maximum de la surface inscrite.
XVII. Trouver parmi tous les cylindres dont la surface totale est donnée , celui dont le volume est maximum.
XVIII. Inscrire dans un cône donné un cylindre dont la surface convexe soit égale àr.ni1 . Déterminer le maximum de la surface du cylindre inscrit.
XIX. Circonscrire à un cylindre donné un cône dont la surface convexe soit un minimum.
XX . Inscrire dans une sphère donnée un cône dont le volume soit un maximum.
XXI. Circonscrire à une sphère donnée un tronc de cône dont le volume soit. Trm’. Déterminer le minimum de ce volume.
XXII. On donne la surface totale et le volume d'un cône, déterminer le rayon de sa base , et sa hauteur.
(Discussion. — Quel est, pour un volume donné, le minimum de la surface Ÿ et pour une surface donnée, le maximum du volume:')
Tlf.S LIEUX GÉOMÉTRIQUES.
