DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L’ESPACE

318. Pour déterminer la position des differents points de l’espace, on les rapporte à trois axes lixes formant un angle polyèdre. Ordinairement, ces plans sont perpendiculaires entre eux; mais nous ne ferons d’abord aucune supposition particulière. Soient ( fig . iy5) XOX', YOY', ZOZ' les intersections deux à deux des plans que l’on considère , et M un point situé comme on voudra dans l’espace. Menons par ce point trois plans parallèles aux trois plans fixes, savoir: MBDC parallèle au plan YOZ, et qui coupe la ligne X'X en D ; MAEC parallèle au plan XOZ , et qui coupe Y' Y en E ; enfin Mb F A parallèle au plan XOY, et qui coupe Z'Z en F. Le point M sera déterminé quand ou connaîtra les points D, E , F ; car en menant par ces points des plans respectivement parallèles aux trois plans fixes, ils se rencontreront au point M. D’une autre part, ces points se déterminent euxmêmes au moyen des distances OD, OE, OF qu’on affecte du signe -p ou du signe — , suivant leur situation à l’égard du point O.

Les distances OD, OE, OF prises avec les signes qui leur appartiennent se nomment les coordonnées du point M. Les droites X'X, Y' Y, Z'Z sont les axes des coordonnées j le point O où elles se rencontrent en est l'origine , et les plans XOY, XOZ, YOZ sont appelés plans des coordonnées ou simplement plans coordonnés. Comme ou désigne les coordonnées d’une manière générale par x, y, z, on dit que X'X , Y' Y, Z'Z sont les axes des x , des y et des z , que XOY est le plan des xy , etc. On comprend sans peine que

les plans et les axes des coordonnées doivent être regardés comme indéCnis.

319. Les trois plans menés par le point M forment avec ceux des coordonnées un parallélipipède; par suite, on peut prendre indifféremment pour les coordonnées du point M , soit les distances OD, OE, OF qui sont sur les axes, soit les distances MA, MB, MC paràllèles aux axes et partant du point M, soit encore les distances OD, CD, CM.

320. Les plans coordonnés, qu’on suppose prolongés indéfiniment, forment évidemment huit angles trièdres. Si l’on regarde comme positives les coordonnées comptées sur les axes OX, OY, OZ, et comme négatives celles qui sont comptées sur les prolongements OX', OY', OZ', en désignant par a , b, c , les valeurs absolues dès coordonnées du point M , quand ce point sera situé dans l’angle

OXYZ, on aura