DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L ESPACE
il est dans le plan des xy. Lorsque doux coordonnées sont nulles, le point est situé sur l’axe de la troisième. Ainsi , en prenant
il sera sur l’axe des x. Enfin, le point est placé à l’origine quand on a en même temps
Les points A , B, C où les lignes menées du point M parallèlement aux axes rencontrent les plans coordonnés , se nomment les projections du point M, et ces projections sont dites orthogonales ou obliques , selon qu’elles sont faites par des perpendiculaires ou par des obliques.
Les coordonnées du point M de l’espace étant a, b, c, il est visible qu’on a
x— a, y = h, 2 = o, pour la projection C sur le plan des xy ;
x — a, y = o, z — c, pour la projection B sur le plan des xz ;
x — o, y= b, z = c, pour la projection A sur le plan des y z .
321. Considérons maintenant une surface quelconque, et supposons qu’on ait pris arbitrairement deux des coordonnées , par exemple
x = OD et y — CD :
en menantla droite CM ( fig . 175) parallèle à OZ, elle ira .rencontrer la surface en un pointM, ou en plusieurs points qui seront complètement déterminés. On conclut de là qu’il doit exister entre x, y , z une relation telle, que deux de ces quantités étant données , on puisse en déduire les valeurs de la troisième. L’équation qui exprime cette relation se
nomme V équation de la surface; et, réciproquement, la surface est le lieu de l'équation.
On est ainsi conduit à regarder une équation entre x , y , z comme représentant une surface. Démontrons cette proposition importante. Soit
l’équation dont il s'agit. Donnons à la variable z , par exemple , une certaine valeur y, et traçons sur le plan des xy la courbe qui est représentée par l’équation résultante
Si par tous ses points nous menons à OZ [Jlg- '*76) des parallèles qui soient égales à y, nous formerons une courbe plane, égale et parallèle à celle que nous .avons tracée sur le plan des xy, et qui sera telle, que les coordonnées de chacun de ses points seront des solutions de l’équation
les points correspondants des deux courbes ayant toujours le même x et le mômej. Si l’on donne à z de nouvelles valeurs y', y", y'", etc., on obtiendra de nouvelles courbes parallèles au plan des xy, et 'qui pourront être aussi rapprochées les unes des autres qu’on le voudra ; par conséquent , le lieu géométrique d’une équation à trois variables > est une surface dont la nature dépend de la forme de la fonction F.
322. Lorsque l’équation proposée ne renferme que deux variables, comme
• • nous ferons remarquer que si l’on ne considère que les [joints du plan des xy, l’équation représente en général, sur ce plan, une ligne CD. En menant par les différents points de cette ligne des parallèles à l’axe OZ, on obtiendra une
DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L ESPACE. tffj
surface cylindrique , dans le sens général de ce mot. Or un "‘'point quelconque H de cette surface, quel que soit lez, aura toujours le même x et le même y que sa projection M ; par conséquent , les coordonnées d'un point quelconque de ce cylindre satisferont à la relation F(*, y) =o,
qui ne contient pas la variable z , tandis que tout point G pris hors de la surface, ayant une projection K qui ne tombe pas sur la courbe CD, ne pourra vérifier par ses coordonnées
x = 01. , y — RL ,
l’équation de la surface. On doit conclure de là que l’équation
représente une surface cylindrique parallèle à l’axe OZ. Une conséquence semblable s’applique aux équations F{x, *• ) — o , F (y, s) = o.
Donc toute équation entre deux variables appartient à une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à V axe sur lequel on compte les coordonnées qui n’ entrent pas dans l' équation , et dont la trace sur le plan des deux autres est représentée par cette même équation. Ajoutons toutefois que si l’on voulait définir analytiquement la courbe CD, il faudrait employer les équations simultanées F(x, y) — o et z = o, •
parce qu’alors il n’y aurait plus, sur tout le cylindre, que les points de sa base qui vérifieraient les deux relations.
323. On peut conclure, comme cas particulier du précédent , que si l’équation à deux variables est du premier degré, c'est-à-dire de la forme
y — ax b ,
elle appartient, non-seulement à une droite RS, dont on sait
déterminer la position sur le plan des xy, mais encore à tous les points du plan RST, mené par cette droite parallè- * lement à l’axe OZ : ce plan, en effet, n’est autre chose qu’un cylindre dont la base serait rectiligne.
Quand l’équation ne contient qu’une coordonnée, comme F(x) = o,
on en tire pour cette coordonnée des valeurs constantes , et chacune de ces valeurs , quand elle est réelle, détermine un plan parallèle à celui des autres coordonnées. En effet, si x ~ a est une de ces valeurs, et si l’on mène, parallèlement au plan des un plan qui rencontre l’axe des x à une distance a de l’origine, à droite ou à gauche, suivant le signe de a , }1 est visible que pour tous les points de ce plan , x est égal à a , et que pour tous les points hors dé ce plan , x est différent de a. Donc toute équation à une seule variable représente un système de plans parallèles aux deux axes dont les coordonnées n'entrent pas dans cette équation.
Il est clair alors que
est l’équation caractéristique du plan XY , et que y — o, x = o
représentent les deux autres plans coordonnés XZ et YZ, On conclut de ce que nous venons de dire que les égalités * x = a, y =b, z = c,
prises séparément, représentent trois plans parallèles à ceux des coordonnées; donc, étant prises simultanément, elles déterminent le point d’intersection des trois plans. Ce point est celui qui a pour coordonnées a, b , c, et, pour cette raison , on dit que
x=x a, y — b, z =zc
sont les équations de ce point.
DES COORDONNÉES ET DES I.IEUX DANS l’eSPACE. $6ç)
324. Une équation à une, deux ou trois variables peut ne représenter qii un système de lignes ou de points isolés, ou même ne rien représenter, suivant qu’elle peut se décomposer en deux ou trois autres, ou qu’elle ne peut être vérifiée par aucun système de valeurs réelles. Ainsi, les équations
ne représentent rien.
L’équation
représente le point (a, b , c); car elle ne peut être vérifiée qu’en posant à la fois
c’est-à-dire qu elle n'admet qu’un système de valeurs réelles. - Mais l’équation
(x — «)3-+- (y — b)'= o étant satisfaite, quel que soit z, par x = a, y = b,
représente par conséquent tous les points qui ont le point (a, b) pour projection sur le plan de ety, c’est-à-dire l’intersection des plans dont les équations sont
325. Actuellement, si l’on considère deux équations simultanées
F(*,/,jî)=o, F, (x, y, z) = o,
c’est-à-dire dans lesquelles les variables seront censées recevoir à la fois les mêmes valeurs, ce qui n'en laisse plus qu'une seule arbitraire, z par exemple, ce système représentera une ligne droite ou courbe, puisqu’il ne pourra convenir qu’aux points situés en même temps sur les deux
surfaces, c’est-à-dire à leur commune section. Réciproquement, le seul moyen qu’ou ait pour définir une courbe dans l’espace étant d’assigner deux surfaces connues dont elle soit l’intersection , on ne pourra représenter analytiquement cette ligne que par deux équations simultanées. Les équations des deux surfaces qui contiennent une ligne, étant prises conjointement, se nomment les équations de cette ligne. Comme il existe une infinité de surfaces différentes qui passent par une même ligne, il y a aussi une infinité de surfaces qui peuvent , prises deux à deux , représenter cette ligne. On fait disparaître l’indétermination en prenant, pour les deux surfaces, des cylindres parallèles à deux des axes coordonnés. Ainsi, pour représenter une courbe MM'M".,. ( fi g. 177) située d’une manière quelconque dans l’espace, on imagine pour tous les points de cette ligue des parallèles à l’axe OZ; ces droites, dont l’ensemble formera bien une surface cylindrique, rencontreront le plan XY suivant une ligne CC'C"..., qui, en général, sera une courbe, et que l’on nomme la projection de WM'M”.., sur ce plan. Si l’on conçoit de même par la ligne MM'M"..., deux cylindres parallèles l’un à OX, l’autre à O Y , on obtiendra les deux autres projections A A' A"..., BB'B"..., et la courbe dans l’espace sera évidemment déterminée dès que l’on donnera deux de ses projections, puisqu’alors elle devra se trouver à l’intersection de deux cylindres connus.
326. Or, les deux projections BB'B"... et A A' A"..., par exemple, sont déterminées par des équations de la forme
ou bien
| /(•*, *) = o, \/i lr* *) = o,
DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS l’esPACE. ' I
lesquelles, dans leur généralité, représentent les deux cylindres projetants qui ont pour bases les courbes 13B" et AA" ; doue la courbe sera déterminée par les équations (i) ou (2).
327. Une ligne étant déterminée quand 011 connaît ses projections sur deux plans coordonnés, sa projection sur le troisième doit s’ensuivre nécessairement. En elïet, soient a, b, c les coordonnées d’un point quelconque de la courbe qui a pour équations
/(x,a) = o et f(jr,z) = o,
a et b seront les coordonnées de la projection de ce point sur le plan XY. Or, si entre ces deux équations ou élimine x, il est visible que l’équation résultante
aura pour solutions tous les couples de valeurs de x et de y, qui , conjointement avec certaines valeurs de z, vérifient les équations proposées ; donc elle est satisfaite par x = a gl y = b , et, par conséquent, par les coordonnées de tous les points de la droite qui projette le point (a, b, c) sur le plan XY; c’est donc l’équation du cylindre projetant de la courbe sur ce plan.
Il résulte delà que, quand on connaîtra les équations de deux surfaces quelconques , il suffira , pour obtenir l'équation du cylindre qui projetterait, leur commune section sur un des plans coordonnés , d'éliminer entre ces équations la variable que l’on compte sur l’axe qui n’est pas dans ce plan.
328. On conclut facilement de ce qui précède, que le moyen le plus simple de représenter une droite située dans l’espace, doit être de se donner les projections de cette droite sur deux des plans coordonnés, sur XZ et YZ par exemple, et comme on sait que ces projections sont des
472 CHAP. DEUX. DES COORDONNÉES ET DES LIEUX , etc.
lignes droites, leurs équations seront de la forme x= az -h P et
(2) y= bz+ q.
Dans ces équations , /> et <7 sont les distances de 1 origine . aux points où les projections de la droite donnée coupent respectivement les axes des x et des y, et a et b sont les tangentes des angles que ces projections font avec celui des z si les coordonnées sont rectangulaires. Dans le cas. où les coordonnées sont obliques, a et b représentent des rapports de sinus.
Si entre les deux équations ci-dessus on élimine z , on trouvera, pour l’équation de la projection de la droite sur le plan XY,
329. Nous devons faire remarquer que les équations (1) ct (2), prises dans toute leur généralité, ne représentent pas seulement les projections de la droite , mais deux plans * respectivement parallèles aux y et aux x. Ils sont les plans projetants de la droite, «t c’est parce qu’ils contiennent cette droite que leur système la détermine.
330. Enfin , si l’on veut trouver la trace d une droite sur un des plans coordonnés, celui des xy par exemple, on se rappellera (n° 323) que l’équation z=o caractérise tous les points de ce plan. Cette condition introduite dans les équations (1) et (2), donnera x = p, y = <7 pour les coordonnées du point cherché.
CIIAP. TROISIÈME, -r PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE,
PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE
331 . Problème I. — Trouver les équations d’une droite assujettie à passer par deux points donnés.
Soient x1, y', z' et x",y", z" les coordonnées des deux points. Les équations de la droite doivent être de la forme
(1) x = az p,
(2) yz=bz-+-q.
Or, les points (x',y\ z'), (x",y", z") appartenant à la droite, leurs coordonnées doivent vérifier les équations (1) et (2), et l’on a les relations
(3) x' = az' -t- p ,
(4) y’=bz'+qi
(5) x"=as"+/>,
(6) ~ f=bz"+q,
desquelles on pourrait' tirer les valeurs des quatre constantes, pour les substituer ensuite dans les équations (1) et (2); mais on arrive d’une manière plus élégante à un résultat équivalent, en suivant la méthode du n" 41 : on trouve successivement
x'— x"=za(z' — z"), y—/'.= b(z' — z'),
d’où
Ces deux dernières équations sont celles de la droite demandée.
Remarque. — Quant aux équations x — x'= a (z — z'),
elles appartiennent à une droite quelconque passant par le. point (.x', y', z '), puisqu’elles sont satisfaites par le système x=zx',y—y', z — z'. Les constantes a et b restent indéterminées, par la raison qu'on peut mener une infinité de droites par un même point.
332. Problème II. — Trouver les équations d’une droite qui passe par un point donné et qui soit parallèle à une droite donnée.
Soient
x = az -{- p , y—bz+q
les équations de la droite donnée, et soient x', y', z' les coordonnées du point; puisque la droite cherchée doit passer par ce point, ses équations pourront se mettre sous la forme
a' et b' étant encore inconnus.
Les droites étant parallèles , les plans projetants de ces droites et, par suite, leurs projections sur chacun des plans * des xz et des yz , sont parallèles. Ainsi on a nécessairement (42)
a’x=a, b' = èy ' /
PROBLÈMES SUR LA LIGNE • DROITE
Ce qui conduit à
x — x' = a (z — z'), y — y = t> [z — z') pour les équations de la droite demandée.
Si le point donné était l’origine, les équations de la ~i seconde droite seraient évidemment x — riz, y — bp,
333. Problème III. — Trouver le point d’intersection de deux droites dont on connaît les équations.
Soient
(1) x=.az-\-p,
(2) y— b* 4- 7, et
(4) yz=b'z->rq'
les équations des deux droites.
Observons d’abord que les variables x cl y prennent, en général , des valeurs très-différentes dans les systèmes (1) et (2) , (3) et (4) pour une même hypothèse z = z' -, néanmoins, si les deux droites se coupent, les coordonnées du point commun devront vérifier à la fois les deux systèmes, et, par conséquent, elles s’obtiendront en regardant .r, y, z comme des inconnues qui ont les mêmes valeurs dans ces quatre équations. Il s’agit de les résoudre sous ce point de vue 5 et comme leur nombre est supérieur d’une unité à celui des inconnues, il devra exister une équation de condition, sans laquelle le problème sera impossible, parce qu’en effet, deux droites dans l’espace ne se rencontrent pas . toujours.
Les équations (1) et (3), (2) et (4), retranchées successivement l'une de l’autre, donnent
d’où
d’où
4j6 CHAPITRE TROISIÈME.
Or cos valeurs de z doivent être égales; on a donc P'—P <l'— 7
a—a'~~b — lf
OU
Telle est la relation qui doit exister entre les constantes pour que les droites se rencontrent.
En supposant cette relation satisfaite , on obtient les coordonnées du point d’intersection par la substitution de la valeur de z , soit dans les équations (i) et (a) , soit dans les équations (3) et ( 4). On trouve ainsi
ap' — p a' a — a'
b g’ — qb' 7 ~ b — b’ ‘
Lorsque l’on a ar= a et b1— b , les droites sont parallèles, l’équation de condition est vérifiée, et les valeurs de X , y, z sont infinies.
334. Problème IV. — Connaissant les équations d'une droite, trouver les angles qu’elle forme avec les trois axes.
Dans ce problème et dans les suivants , nous supposerons les axes rectangulaires. ■
Soient
x = az + p , y — bz + q
les équations de la droite donnée.
Comme cette ligne ne rencontre pas géhéralement les axes, les angles dont il s’agit sont ceux que forment avec ces mêmes axes une droite OD ( fig . 178), menée par l’origine parallèlement à la droite primitive.
Les équations de OD sont (n° 332)
x •= az, y — bz.
PROBLÈMES SLR LA LIGNE DROITE. 4"7
Prenons sur cette ligne line longueur arbitraire OM'= r, et désignons par x',j\ z' les coordonnées de l’extrémité I\ïr, nous aurons, pour déterminer leurs valeurs, les trois équations
x' — az' , y1 — bz' , x17 -t- y'7 + z'1 = r7 j
, nous en tirerons
\Ja7- 1- b7+ 1
br
Cela posé, si nous achevons le parallélipipède déterminé par les trois coordonnées du point M', et si nous désignons par «, /3, y les angles cherchés M'OX , M'OY, M'OZ, nous obtiendrons, par les triangles rectangles M'OA, M'OB, JYPOC, les relations
cos a =
cos y =
OA
