Nous ferons observer
i°. Que ces cosinus contiennent un radical susceptible de recevoir le double signe dr 5 mais on devra tou jours l'affecter du même signe dans les trois cosinus , ce qui 11e fournira que deux systèmes de valeurs répondant aux deux
angles supplémentaires formés par la partie OD, et par son prolongement OE avec les demi-axes positifs, car c’est ainsi qu’on doit mesurer les angles d’une droite avec les axes coordonnés.
a°. Que ce radical pris positivement se rapportera toujours aux trois angles que forme avec les axes la partie OD, qui est au-dessus du plan XY, ou qui fait un angle aigu avec OZ, puisque alors, dans les formules (d), la valeur de cos y étant positive, l’angle y doit être aigu. 11 est clair que, suivant les signes de a et de b, les deux autres angles « et (3 seront aigus ou obtus.
330. En ajoutant les équations (d), après les avoir élevées au carré, on obtient la relation
COS3 a -f- COS3 P -h cos3 7=1, trouvée précédemment (n° 314).
337. Problème V. — Trouver l'angle de deux droites dont on connaît les équations. .
•' Soient - .
a' ■ = az -t- p p y — bz q , et
les équations des deux droites.
Ces lignes ne se rencontrant pas en général , nous leur mènerons par un même point, l’origine des coordonnées, par exemple, des parallèles OD et OD', dont les équations seront (n° 333 )
' x — az,
• r. ’ yz±zbz,
PROBLÈMES SUK LA LIGNE DROITE. 479
Prenons sur ces droites OM'= OM"= i (fig. 178), joignons M7 et M", et représentons par V l’angle cherché DOiy; nous aurons, d’après un théorème connu,
M' M" = OM' -f- OM" — 2 OM' X OM" cos V.
Mais si l’on désigne par x\y', z' et par y", z" les coordonnées des deux points M' et Mw, l’équation deviendra
( x' — x" y -t- [y'— y" )’ 4- (z' — 1" Y = 1 +1 — 2 cos V
= 2 — 2 cos V ;
et en développant les carrés , elle se réduira à (c) cos V = x' x" + y' y" -4- *' z",
puisqu’on a
x'' -h + z'1 = 1 et x"' -t- y'5 z"‘ = i . - ,
Donc maintenant, tout revient à déterminer les valeurs de x\ y', z\ x", y", z".
Or, le point (x\ y', z') étant sur la première parallèle OD, on a les relations
x'=az\ y'—bz',
auxquelles on joint l’équation ' -
Ou obtient sans peine
b1 -fb
\Ja' -4- -t- 1
On trouve de même
Portant ces valeurs dans l’équation (c) , il vient (/) cos V
na' + bb' -t-i
(- 62+ i sja,'l+ 6'’ + i
Les valeurs de z' et de z" ayant été prises positivement, il en résulte que cette formule donne l’angle formé par les parties supérieures des parallèles aux droites proposées, lequel sera aigu ou ôbtus, selon le signe du numérateur aal -4- bV -h t .
Si l’on avait besoin de calculer le sinus de l’angle V, on emploierait la relation
sin V = /i — cos’ V, qui conduirait ici à l’expression
. „ — «')* + (* — *')’+ ( ab ' - ba'ÿ
ya* + ô1-)- i ya’’-+- b'1 -+- i
338. Si l’on veut que les droites soient perpendiculaires, il faut et il Suffit que cos V = o, ce qui entraîne la relation
(g) fia' + bb' + I =r o.
Cette condition ne porte pas avec elle la conséquence que les droites se coupent, elle exprime seulement que les parallèles à ces lignes forment un angle drpit. C’est ce qu’on doit entendre quand on dit que deux droites dans l’espaeç sont perpendiculaires entre elles..
PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE. 48 1
Nous ajouterons que la condition (g), rapportée aux droites OD et Oiy, laisse la seconde en partie indéterminée, lors même que la première est complètement fixée par les ■valeurs de a et de b , puisqu’on n’a ici qu’une relation entre a' et b' ; et il en doit être ainsi, parce que, dans l’espace, il existe une infinité de droites menées par le même O perpendiculairement sur OD. Il résulte de là que, quand une perpendiculaire doit être abaissée sur une droite donnée, il faut joindre à la condition précédente celle qui exprime que deux droites se coupent.
Si les droites'sont parallèles, on doit avoir
V = o ou =1 8o°,
d’où
cos V — ± i ;
donc
± i 1 = aa' + bb'+i.
En élevant au carré et transposant, on trouve ,
{«' — a )*-+-( b'— by + (ab’ — ba'Y= o.
Les quantités a, b, a', b' étant réelles, aucun des carrés qui composent l’équation ne peut être négatif; il faut donc qu’on ait à la fois
a'=a, b'=b, ab'=zba'.
Ces conditions, dont la dernière est une conséquence des deux autres, sont en effet celles qui expriment que des droites sont parallèles.
339. Lorsqu’on fait coïncider la ligne OD' successivement avec chacun des axes , la formule générale (/) doit donner les cosinus des angles « , (3, y, formés par OD avec les trois axes. Les équations de l’axe des x sont * »
,z~ ? rr °* "» . .
48a CHAPITRE TROISIÈME. •
et celles de la ligne OUK peuvent s’écrire sous la forme
donc, pour exprimer qu elle se confond avec 1 axe des x, il faut poser
Mais si l’on écrit (ce qui est permis )
cos V =
les hypothèses ci-dessus conduiront à
cos a =r
On retrouve avec la même facilité les v aleurs de cos (3 et cos y, semblables à celles du problème IV, qui n est alors qu’un cas particulier du suivant.
L’angle que font entre elles les deux droites OD et OD peut être exprimé en fonction de ceux que ces droites forment avec les axes. En effet, soient toujours (fig. 178) a, (3, y les angles de la première droite avec les axes des x, des y et des z, et a', |S', y' les angles de la seconde; on parviendra , comme au n° 338 , à la relation
cos V — x' x" -+-
yy
mais puisque OM’ = OM" — 1, on aura
x' — cos a , y = cos P , a' = cos 7 ,
.r"— cos x', y= cos P', 1" — cos 7',
et, par suite, •
cos V = ços a cos «' -t- Cos fi cos fi' -4- cos 7 cos 7’.-
PROBLÈMES SlIR LA LIGNE DROITE.
340. On pourrait, à l’aide des propositions précédentes, résoudre le problème suivant :
Abaisser cl’ un point donné, dans l'espace, une perpendiculaire sur une donnée , et trouver la longueur de la perpendiculaire.
'En effet, soient
x — az -h p, y — bz 4- <7
les équations de la droite donnée. Si l’on nomme x', y' , z' les coordonnées du point, on a pour la droite cherchée deux équations de la forme
a1 et b' étant les seules- constantes à déterminer.
Or, puisque les deux droites doivent être perpendicu- Uires , on a cette première relation
aa' + bb' 4-1 = 0;
d’ailleurs, pour qu’elles se coupent, il faut qu’on ait
(/- P) (b - b') - W- q) (« - a') = o, ou , en mettant à la place de q’ et de p' leurs- valeurs y' — bz',
(A — az' — p)(b — b') — [y' — bz' — <7) [a — «') = o. Gette équation, combinée avec
aa' 4- bb' 4-1 = 0,
douneraitles valeurs de a' et b', qui conduiraient finalement aux équations de la droite cherchée.
Mais ces calculs , et ceux relatifs à la seconde partie de la question, ne laisseraient pas que d’ètre compliqués. Pious verrons bientôt une solution plus simple du problème proposé.
DU PLAN
3-il. Pour trouver l’équation du plan, nous regarderons cette surface comme le lieu des diverses positions que prend une droite mobile, assujettie à glisser sur une droite fixe , en restant parallèle à une direction donnée. La méthode que nous allons employer pourra s’appliquer à la recherche des équations des surfaces courbes.
Soient donc
(a) y — bz -H q
les équations de la droite fixe qu’on nomme directrice ; représentons la ligne .à laquelle la génératrice doit être coii-t stamment parallèle, par
xxxa'z, X ~ b' t\
les équations de cette génératrice seront de la forme
(3) ' x = a' z -hp',
(4) jr = i's + q\
a' et b' étant des constantes données et invariables; mais p' et q' variant d’une position de la droite mobile à une autre. Pour que cette droite rencontre la directrice , il faut qu’on ait entre leurs coefficients (n° 333) la relation
Cela posé, en donnant successivement à p' des valeurs arbitraires, et en prenant les valeurs correspondantes de q', pour les substituer les unes et les autres dans (3) et (4), on
DU PLAIT
obtiendrait des liquations qui conviendraient à une suite dépositions particulières de la génératrice; mais si, au lieu de fixer ainsi les valeurs de />' et q' , on élimine ces deux quantités entre les équations (3), (4)* (5) qui doivent exister simultanément, l'équation finale en {x,y, z ) conviendra alors à toutes les positions de la directrice, puisqu’elle ne renfermera plus de traces des quantités p' et q' dont les valeurs particulières pouvaient seules distinguer une génératrice d’une autre. Le résultat de l’élimination sera donc l’équation de la surjacc plane. Or, en substituant dans ( 5 ) les valeurs de p' et q' tirées de (3) et (4), on trouve (a: — a' z — p) ( b — b') — {y — b' z — q ) (n — rt') == o, ou bien
(6) (b — b')x-\-(a.' — a)y-+-(ab' — ba')z-\-p{b' — b)-{-q[a — a')=o,.
L’équation du plan est donc du premier degré. Elle renferme généralement les trois variables, c’est-à-dire qu’elle est de la forme -
Ai + B 7 -4- Cz -f- D = o.
342. Réciproquement, toute équation du premier degré telle que
(P) Ai + B/ + Cz + D = o,
appartient à une surface plane. Pour le démontrer, cherchons d’abord la trace de la surface, quelle qu’elle soit ,* sur undes plans coordonnes , XZ par exemple ( fig. 179); nous ferons alors
et nous aurons une droite AC représentée par
(7) 7=0 et A.r -4- Ci-)- I) = o.
Cela posé, coupons la surface inconnue par divers plans parallèles à XY, tels que
486 CHAPITRE yCATRIÈME. “ .
le» sections seront représentées par les équations simultanées
( î=> et Ax 4- U y + Ca 4- D = o,
(8) k z— a.' et Ax+B/ + Ca'+D = o,
qui prouvent que ces diverses sections sont des droites toutes parallèles entre elles; nous ajoutons que chacune a un point commun avec la trace AC; car si , d’après la règle dun° 333, on combine les équations (7) et (8) pour en éliminer y et z , on arrive aux deux équations
A x 4- Ca H- D = o, A X 4- Ca 4- D = o,
qai donnent nécessairement pour x la même valeur. Comme il en serait évidemment de même en remplaçant a par a', a", etc., il en résulte que la surface (P) est le lieu d'une infinité de droites parallèles , qui s’appuient toutes sur une droite fixe AC; donc cette surface est un plan.
343, Lorsque l’équation d’un plan
Ax ~f- B y — t— Cz — f- D m o
est donnée , il est évident que sa trace sur le plan XY est déterminée par le système d’équations
2 = o, 'Ax4-B/4-D = o,
et que les autres traces sont représentées par des systèmes semblables.
Remarque. — L’équation (P) peut n’avoir pas tous ses termes: alors le plan qu elle détermine prend une position particulière par rapport aux axes.
Soit
l’équation (P) devient * . •
Ax 4- B .y 4- Ca = o.
Le plan passe par l’origine; car celte équation est satisfaite
DU PLAN
par les valeurs
On sait (n° 323) qu’une équation de la forme
R j + C: +D rro, ou Cz-t-D = o,
représente un plan parallèle à un ou à deux des axes coordonnés.
344. Nous devons faire remarquer que l’équation (P) pouvant toujours être divisée par le coefficient de l’un de ses termes, il n’y a réellement que trois indéterminées dont on puisse disposer pour assujettir le plan à des conditions données. Toutefois, nous ajouterons qu’il convient en général de conserver à l’équation du plan la forme symétrique que nous lui avons donnée pour qu’elle réponde à tous les cas particuliers. En effet, si on la divise par C, et qu’on écrive alors
z — mx ny p ,
cette dernière forme ne convient plus aux plans parallèles à l’axe des z.
Lorsqu’un plan rencontre les trois axes, son équation prend une forme élégante, si l’on y fait entrer les distances OA, OB, OC ( fig . 179) de l’origine aux trois points d’intersection de ces axes avec le plan. Ces distances s’obtiennent aisément au moyen de l’équation (P). Pour l’intersection avec l’axe des x par exemple, on doit avoir >
ce qui donne
On trouve de même
Eu désignant ces distances a, b, c, ou auia
d’où
Si l’on porte ces valeurs dans l’équation (P) , il vient
JC Y Z - -4-4 + “= Iabc
