ABC
ln prenant pour inconnues les rapports -, g» on rouve
) __ x' y" a"' x'z" y'" -y z'x" y"' — / x" z"' -y / z" x'" — z'y"x'",- A = —y"*"+ z"yw- z'y"'+y'z'"—y'z,/-h z'y", i = — x'z"' -y x'i"— z'x" -y x"z'"— z"x'"-y z'x"',
346. 11 est clair que si l’on assignait seulement un point aar lequel le plan dût passer, on n’aurait que la relation (2) jui servirait alors à éliminer la constante D; et l’équation lu plan prendrait la forme
DU VLAN
dans laquelle il 11e resterait véritablement que deux inconnues.
347. Problème II. — Par un point donné, mener un plan parallèle à un plan donné.
Soient
fi) A x + B ) C s 4- O — o
l’équation d’un plan donné, et (2).. A'x + B' y + C' z -f- n' — o
celle d’un plan parallèle.
Les traces des deux plans sur chacun des plans coordonnés doivent être parallèles. Les équations de ces traces sont :
A x + C z D zzz o ,
sur le plan des xz ;
B/+Cï + D=o,
sur le plan des yz.
Pour que les deux premières soient parallèles et que les deux dernières le soient aussi , il faut qu’on ait
bien
Lorsque les plans rencontrent l’axe des z, ces conditions suffisent pour qu’ils soient parallèles ; car les traces du premier plan se coupent sur l’axe des z, et sont parallèles à celles du second plan, lesquelles se coupent également sur cet axe. Or, deux angles dont les côtés sont parallèles ont toujours leurs plans parallèles.
Si les deux plans sont parallèles à l'axe des z, ce qui re-
4yo CHAPITRE QUATRIÈME.
vient à supposer C = o et CJ= o, la seule condition à remplir, c’est que les traces sur le plan des xy soient parallèles, ce qui conduit à
Ainsi, dans tous les cas, pour ■ que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit que les coefficients des variables dans les équations de ces y dans soient yrroportionnels .
•En supposant que ces conditions soient remplies, si l’on pose
on a
par suite, quand on porte ces valeurs dans l’équation (2) et qu’on divise par y,
D" étant égal à ? ■
Cette dernière équation représente tous les plans parallèles à celui de l’équation (1), et elle ne diffère de celle-ci que par le terme constant D".
Mais si le plan parallèle passe par un point dont les coordonnées soient x',y', z\ on doit avoir
Ax'+ B/+ Cî'-f D"=o;
et, en éliminant ï^^ntre cette équation et la précédente, on obtient pour le plan cherché
Quand le point donné est l’origine , il faut faire x' = o , y' — o, z'= o -, ce qui donne pour le plan parallèle,
A x -)- Bj + C z = o.
DU PLAN
348. Problème III. — Faire passer un plan par un point et par une droite donnés.
Soient x' , y' , z' les coordonnées du point, et '
j x = az -+- p, I y = bz + r/
les équations de la droite donnée; l’équation du plan sera de la forme
(2) A x -t- B y -+- Cz -4- D = o.
La condition de passer par le point donné est exprimée par
(3) Aï'+B/+Cï'+D = o.
■Celle de contenir la droite exige qu’en portant dans l’équation du plan les valeurs de x et de y tirées des équations de la droite , l’équation résultante soit vérifiée , quelle que soit la coordonnée z. Or, en substituant, on trouve
et pour que cette égalité ait lieu, indépendamment de toute hypothèse faite sur z, il faut poser
(5) A/j + Bf/-+-D=o.
Les conditions du problème sont doue renfermées dans les ' équations (3), (4), (5).
L’élimination de D entre (3) et (5) donne
A (x' — p) -t- B (y — y) + Cz'= o;
et en combinant cette équation avec l’équation (4) , on trouve aisément
• 1 (/'— bz’—g) C
b [xJ — p) — a [y' — <7)’
B = (x'-az>-p) C
• b(x' — p) — ii(y— «7) ’
49a CHAPITRE QUATRIÈME.
mais, en retranchant l’équation (3) de l’équation (2), il vient
Remplaçant A et B par leurs valeurs, on arrive à l’équation
(.r'— bz' — q)(x — x') — (x‘ — az' — p){y — /)
qui est celle du plan cherché.
Remarque. — Ajoutons les équations (4) et (5); après avoir multiplié la première par z, nous aurons
A (az p 1 *f- B (As -f- q J -4- C z + D — o .
Cette dernière équation, soustraite de l’équation (1), conduit à
A (x — az — /J ) -t- lï (y — bz — q) =r O.
JJ
En représentant par h le rapport indéterminé - » on
obtient
x — ni — p -4- A [y — bz — q) = o
pour l’équation de tous les plans passant par la même droite. On voit, en effet, que cette équation est satisfaite, quel que soit z, quand on y fait
i = m+/) et y — bz q.
349. Problème IV. — Connaissant les équations fie deux plans, trouver les projections de leur intersection.
On a vu (n° 320) que les variables x et y ont les mêmes Valeurs pour chaque point d’une ligne de l’espâce que pour la projection de ce point sur le plan des xy\ par conséquent, si les équations de deux plans sont
(1) Ax+B/+Cî + D = o,
on aura la projection de leur intersection sur le plan coordonné que nous venons de nommer, en éliminant z entre
DU PLAN
les équations (1) et (2). Le calcul donne
(AC'— CA')x4-(BC'- CB')jr4- DC'— CD' = o.
On trouverait de la même manière les projections sur les deux autres plans coordonnés.
Les équatious des projections sont impossibles si l’on a A B C A'- B'~ <?*
mais alors les plans sont parallèles (n° 347).
330. Problème V.-— Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan dont on connaît les équations.
Soient
(i) Ai + B + Cj + D = o
l’équation du plan donné ,
az 4- p, bz H- q
celles de la droite donnée; on obtiendra le point d’intersection demandé en cherchant les valeurs de x, y, z, qui satisfont aux équations (1) et (2). En effectuant les calculs, on trouve
A et -H B b + C b (A/j 4- B 7 +- D) A a 4- B /j~C ‘
+ Pt
Ces valeurs sont infinies quand A a 4- B A 4- C est nul et que A p 4- B q 4- D ne l’est pas. 11 en résulte que la condition de parallélisme du plan (1) et de la droite (2) est A et 4- B b 4— C ~ o.
Si l’on a , en même temps ,
A/j 4- B n !- D — Oy
4y4 . - chapitre quatrième.
les valeurs de x, y, z sont indéterminées; c'est, en effet, ce qui doit arriver, puisqu’alors la droite est tout entière dans le plan (n° 3-48).
p 351 . Problème \ I. — Connaissant les coordonnées de
deux points, trouver leur distance.
Soient x, y, z, cl x', y', z' les coordonnées des deux ‘ points M et M' ( fig . 1 80) dont on demande la distance MM'. Par chacun de ces points, menons trois plans parallèles à ceux des coordonnées : nous formons ainsi un parallélipipède qui a pour côtés contigus les différences x — x' , y — y', z — z des coordonnées des points M et M'.
Cela posé, si les coordonnées sont rectangles, le parallélipipède l’est aussi; et en désignant par d la diagonale MM', on trouve
Dans le cas où il s’agit de la distance du point M à l'origine O, il suffit d’exprimer que le point M' se confond avec t e dernier point; en posant
il en résulte . ••
352. Supposons maintenant les coordonnées obliques. iSous désignerons par a, {3, y les angles AM'C, EM'C, EM'A; par a, Z», c les arêtes contiguës M'C, M'A, M'E; et par d, d', d" les diagonales MM', CF et BE. La ligure M'CMF étant un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales ; on a donc
Or le triangle AM' F donnant
M' F =/■>’- 1- c1 -+- ?. bc ros y ,
nv PLAN 4
il en résu Ile
. (i) 3 3 -t- S'1 — 2 a' -+- 2 b‘ -+- ï ç3-t- 4 te cos y.
On trouverait de la même manière
(2) 3 3 -H 3"’ = 2 a3 -H 2 b7 -4- 2 cJ H- /\ab cos a
et
(3) 3'* H- 3"3 = 2 ri1 -4- 2 £>’-+- 2 c1 — 4flccos p .
Si l’on ajoute les équations (1) et ( 2), et qu’on en retranche l’équation (3), il vient
a 3 = a* -+- b1 -t- c’-+- 2 ab cos a -+- 2 ne cos p 4- 2 bc cos 7. -
Remplaçant a , />, c parleurs valeurs- (a: — x'), (j'- — y ),
(s — z'), on obtient la formule demandée
' 33 = [x — x')1 -+• [y — (* — s')1-!- 2 (x — x') {y — /') cos a
-t- 2 [x — x') (z — z'jcos p H- 2 (y — y') (z — z') cos 7.
Il cs'l visible qu’en faisant, dans cette formule, a = gon, fJ — 90°, 7 =. 90",
on détermine celle qui convient aux coordonnées rectangulaires. ' . • '• .
#• 353. Problème VII. — D’un point donne abaisser une perpendiculaire sur un plan ; trouver le pied et la grandeur ' de la perpendiculaire (coordonnées rectangulaires).
Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit, en général, que les projections de cette droite soient perpendiculaires aux traces du plan. Cela posé, représentons par x1, y', z1 les coordonnées du point donné, et le plan par l’équation
(1) A x + B y -f- Cz -t- D — o.
Les équations de la perpendiculaire seront de la forme . •
a et b étant deux inconnues. Les traces du plan donné sur
4g6 ' CHAP1THE QUAXIVIÈME.
les plans des xz et des y z ont pour équations
Ai+ Ci + D =o, By Cz 4- D — o.
Mais ces traces doivent être perpendiculaires aux projections de la droite cherchée ; dorçc
fl=c’ b==c\
Ces valeurs portées dans les équations (2) donnent, pour la perpendiculaire ,
On trouverait les coordonnées du pied de celte perpendiculaire, en résolvant les équations (1) et (3) par rapport à x, y, z\ ensuite, pour avoir la longueur de la droite, il suffirait de remplacer ces coordonnées par leurs valeurs dans la formule
Pour plus de simplicité, on calcule immédiatement les différences x — x', y — y’ , z — z' . On est conduit alors à écrire l’équation du plan sous la forme
A {x — a/ ) -f- B (y — f)+ C (2— z7) 4- Aj/ + B/-+- Cz'- h D = o* ou mieux, en posant
Ax'-t- B/ 4- Cz'4- D = D',
sous celle-ci ,
En mettant à la place dex — x'etde^- — y' leurs valeurs tirées des équations (3), on trouve
