On a vu que l’équation

dans laquelle H est positif, représente un hyperboloïde à

une ou à deux nappes, suivant que parmi les coefficients P, P', P", il s’en trouve un ou deux négatifs. Dans ces deux cas, l’équation

représente un cône dont le sommet est à l’origine [*). Car, toute droite AM [Jig. 196), menée de l’origine à un point Mdont les coordonnées «, ê, y vérifient l’équation (1), est entièrement située sur la surface représentée par cette équation. En effet, prenons sur AM un point quelconque M', et nommons r le rapport des distances AM', AM. Les coordonnées de M* seront évidemment otr, ër, yr. Or,Jpar hypothèse,

P a1 4- P'6’ 4- P'V — o ; donc r‘ (Pa! 4- P' 6» 4- P"'/1) = o ,

et, par conséquent, les coordonnées de M' satisfont à l’équation (1).

402. Actuellement, supposons que l’on mène par l’origine A, un plan qui coupe le cône Px* 4- P',/* 4- P" z* = 0, suivant deux génératrices AX', AY' [Jig- iyt>) ; l’intersection de ce plan et de l’hyperboloïde P x* P 'j ’-i- P "zx = H sera une hyperbole ayant pour asymptotes les deux génératrices AX', AY'.

En effet, si l’on cherche l’équation de l’inlersectiou du cône et du plan Y'AX', en prenant pour axes de coordonnées les génératrices AX', AY', les formules de transformation devront réduire le trinôme Px! 4- P 'y1 4- P"z* à la forme puisque l’intersection dont il s’agit élaut

formée des deux axes AX', AY' doit avoir pour équation Xx'j'' = o, X représentant un coefficient invariable. Il

.(*) Si les trois coefficients P, P', P* avaient le même signe, l'équation (1} n’admettrait que la solution

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 545

s’ensuit que l’intersection de l’hyperboloïde Px’+ P'y’-t- P" 3’= H,

et du plan Y'AX', rapportée aux mêmes axes AX', A\ ', sera ^ déterminée par l’équation 'kx'y' — H, qui représente une hyperbole dont les asymptotes sont les axes de coordonnées AX', AV.

Observons que le même raisonnement s’applique sans aucune modification aux hyperboloïdes représentés par ■ l’équation plus générale

Ax’ + A'/1 4- A"z’ 4- 2 Br* 4- 2 B'-rz 4- 2B"xy E = o ;

c’est-à-dire qu’on démontrera comme précédemment que l’équation homogène

Ax! 4- A'/’ 4- A" z* -r- iB/s 4- 2 B'-rz 4- 2 B" xy — o

est celle d’un cône dont le sommet est à l’origine, et qui a pour génératrices les asymptotes des hyperboles déterminées eu coupant l’hyperboloïde par des plans passant par son centre. Cette propriété a fait donner au cône dont il s’agit le nom de cône asymptote.

11 résulte évidemment de la même propriété que la surface du cône asymptote s’approche indéfiniment de celle de l’hyperboloïde , sans que ces deux surfaces puissent avoir un seul point commun. Le cône est entièrement compris dans l’intérieur de l’hyperboloïde à une nappe; et, au contraire, il enveloppe l’hyperboloïde à deux nappes. D’où il faut conclure qu’un plan tangent au cône asymptote coupe nécessairement le premier hyperboloïde., tandis qu’il ne peut avoir aucun point commun avec le second.

403. L’ intersection d’un hyperboloïde à une nappe et d’un plan tangent au cône qui lui est asymptote, se forme de deux droites parallèles à la génératrice de contact du cône , et équidistantes de cette génératrice.

Pour le démontrer, désignons par Y'AX' [fig. 196) le plan tangent au cône suivant la génératrice AY'$ et prenons AY' pour axe des y, et pour axe des x une droite quelconque AX' menée par le centre A de la surface dans le plan tangent. L’équation de l’intersection du cône Par1 -+- P 'y' -+- P"*:* = o, et du plan Y'AX', deviendra , par les formules de transformation , Xx'1 = o , puisque tous les points communs à ces deux surfaces appartiennent à l’axe des y, AY'. Par suite, l’intersection de l’hypcrboloïde Px*-f- P'j* -+- P"*» = H et du plan Y'AX', rapportée aux mêmes axes AY', AX', sera donnée par l'équation Xx'*=H, qui représentera deux droites parallèles à l’axe A Y' et situées de différents côtés de cet axe à des distances égales.

D’après çela , on voit qu’à chacune des génératrices du cône , correspondent deux génératrices rectilignes de l’hypcrboloïde à une nappe , parallèles à celle du cône.

40t. Les sections faites par un même plan dans un hypcrboloïde et son cône asymptote sont des courbes du même genre.

En effet, soient

Par» P 'y- + P'V = H,

les équations d’un hyperboloïde et du cône asymptote. Eu coupant ces deux surfaces par le plan

3 — mx -+- ny -t- /• ,

les équations des projections sur le plan XY ne différeront que par le terme indépendant des variables. Il en résulte alors que ces courbes sont du même genre.

SURFACES Dl> SECOND DEGRÉ.

SECTIONS RECTILIGNES DE l’hYPERBÛLOÏDE A UNE NAPPE.

ON PEUT, SUR LA SURFACE DE l’hyPERBOLOÏDE A UNE NAPPE, TRACER DEUX DROITES PAR CHACUN DE CES POINTS, d’0U RÉSULTENT DEUX SYSTÈMES DE GÉNÉRATRICES REC- TILIGNES DE L’HYPERBOLOÏDE. DEUX DROITES PRISES DANS

UN MÊME SYSTÈME NE SE RENCONTRENT PAS, ET DEUX DROITES DE SYSTÈMES DIFFÉRENTS SE RENCONTRENT TOU- JOURS. TOUTES LES DROITES SITUÉES SUR l’hYPERBO-

LOÏDE ÉTANT TRANSPORTÉES AU CENTRE, PARALLÈLEMENT A ELLES-MÊMES,. S’APPLIQUENT EXACTEMENT SUR LE CONE